非均勻等離子體中的相對(duì)論球形等離子體波

成麗紅,張小波,唐榮安,張愛(ài)霞,薛具奎*

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院,貴州 畢節(jié) 551700；2.西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

隨著激光技術(shù)的發(fā)展,對(duì)等離子體波的理解和等離子體波在實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用都取得了巨大的進(jìn)展.在等離子體中,強(qiáng)激光的非線性效應(yīng)激發(fā)的等離子波,也稱(chēng)為尾場(chǎng)波,可以提供非常強(qiáng)的縱向電場(chǎng),從而加速帶電粒子[1-3],而且實(shí)驗(yàn)上成功實(shí)現(xiàn)了高品質(zhì)、超短電子束的產(chǎn)生[4-5].只有了解了如何在等離子體波的加速場(chǎng)中注入電子,激光等離子體的加速機(jī)制才得以真正揭示.加速過(guò)程中,成功注入同步的電子束,即電子的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持一致,是產(chǎn)生準(zhǔn)單能、低散射高品質(zhì)電子束的關(guān)鍵[2].無(wú)論是在激光尾場(chǎng)加速機(jī)制中,還是在激光直接加速機(jī)制中,恰當(dāng)?shù)碾娮幼⑷攵贾陵P(guān)重要.在激光等離子體加速電子的相關(guān)實(shí)驗(yàn)中,即使沒(méi)有外部電子注入,也會(huì)發(fā)現(xiàn)有電子被加速,這是因?yàn)槔玫入x子體波破裂也可以實(shí)現(xiàn)激光等離子體加速的電子自注入[6].對(duì)于小振幅的電子等離子體波,波形為正弦形式,隨著振幅的增大,等離子體波形發(fā)生變化,像鋸齒形,如果振幅繼續(xù)增大,超過(guò)等離子體波可以承載的最大振幅,就會(huì)出現(xiàn)波破裂.縱向波破裂和橫向波破裂都可以導(dǎo)致電子注入.

許多研究工作說(shuō)明在非球形等離子體波中,波破裂是可控的[4,7-10].在非均勻等離子體中,等離子體波的相速度和電子振蕩的頻率都會(huì)隨位置變化,導(dǎo)致鄰近的電子振蕩方向相反,出現(xiàn)波破裂.沿著激光傳播方向上,無(wú)論是密度增加還是減小,都有利于激光的局域化和電子自注入[4].在以往的球形等離子體波[11-12]研究中發(fā)現(xiàn),相對(duì)論球形等離子體波具有連續(xù)譜的特征,導(dǎo)致出現(xiàn)相混合和波破裂,可用于電子加速過(guò)程中電子自注入[12].

文中將研究密度非均勻?qū)η蛐蔚入x子體波及波破裂的影響.文中第1部分給出物理模型,即研究球形等離子體波的基本方程組；第2部分將利用歐拉法轉(zhuǎn)化為拉格朗日法,得出非均勻等離子體中的波破裂條件以及電子(可以看作為等離子體的流體元)的振蕩軌跡；第3部分研究了等離子體波破裂,并估算了等離子體波破裂的時(shí)間.

1 物理模型

采用電子-離子的雙組分等離子體,初始時(shí)刻電子和離子的密度沿徑向呈現(xiàn)非均勻分布,但是離子近似看作不動(dòng)(mi?me),僅僅提供固定的背景場(chǎng).電子近似看作流體,通常研究等離子體采用歐拉法,也就是用場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)研究電子流體的運(yùn)動(dòng).所以模型采用的方程有麥克斯韋方程組和電子的流體方程組.等離子體的參量和場(chǎng)的變化量都是徑向坐標(biāo)r和時(shí)間t的函數(shù).采用的方程組為無(wú)量綱的形式

Ni0(r)-ne0(r)=0.

(5)

2 球形等離子體波

為了方便研究球形等離子體波,電子的運(yùn)動(dòng)將用拉格朗日坐標(biāo)表示(r0,t),把歐拉坐標(biāo)(r,t)轉(zhuǎn)化為拉格朗日坐標(biāo)(r0,t),具體的關(guān)系式為

r=r0+ξ(r0,t).

(6)

其中，r0為電子的初始位置；ξ(r0,t)為電子相對(duì)初始位置發(fā)生的位置偏移.根據(jù)(6)式,求解密度連續(xù)性方程(1),得到電子的密度分布表達(dá)式

ne(r0,t)=ne0(r)[J(r0,t)]-1.

(7)

ne0(r)=n0(1+br).

(8)

其中，b為密度非均勻參數(shù),b>0表示等離子體密度從球心處沿著徑向線性增加,b<0表示等離子體密度從球心處沿著徑向線性減小.

研究電子的運(yùn)動(dòng),除了需要確定電子的密度分布,還需要確定電子的位移偏移量ξ=ξ(r0,t)的變化率.利用(6)式,方程(2),(3)和(4)在拉格朗日坐標(biāo)下的形式表示為

求解泊松方程(10),得到等離子體波的電場(chǎng)E為

(11)

根據(jù)(11)式,可以看出,電場(chǎng)強(qiáng)度E與電子的初始坐標(biāo)r0和非均勻參數(shù)b有關(guān).

聯(lián)立求解方程(8),(9)和(11),就可以得到電子的運(yùn)動(dòng)積分方程,確定電子的位移偏移量ξ=ξ(r0,t)與初始參量之間的關(guān)系

(12)

(13)

根據(jù)(13)式便可得到電子的動(dòng)量和位移的相平面(p,r)內(nèi)的電子振蕩軌跡圖,如圖1所示.為了對(duì)比,圖中所有的實(shí)線表示密度均勻的等離子體中電子的軌跡圖,電子在初始位置附近做周期性振蕩.其中,圖1a中的虛線表示當(dāng)電子的初始位置r0和初始動(dòng)量p0確定(r0=2,h=5)時(shí),且電子的初始密度沿徑向線性增加時(shí),電子做周期性振蕩,但是振蕩振幅減小.根據(jù)圖1a不同的虛線,隨著b的增加,即非均勻強(qiáng)度的增加,電子的振蕩振幅變小, 但是永遠(yuǎn)無(wú)法到達(dá)中心(r0=2)處, 這是因?yàn)?7)式表示的電子密度演化公式在ξ=-r0存在奇點(diǎn).圖1b與圖1a相比,增大初始動(dòng)量p0(h=15),其他參數(shù)均不變的情況下,電子振蕩的振幅增加.圖1b中的虛線表示和圖1a中相同的結(jié)論,非均勻強(qiáng)度的增加,電子的振蕩振幅變小.

a.r0=2,h=5,b>0; b r0=2,h=15,b>0; c.r0=2,h=5,b<0; d.r0=2,h=15,b<0.

當(dāng)電子的初始密度沿徑向線性減小時(shí)b<0,電子振蕩軌跡如圖1c和圖1d所示,其它參數(shù)均與圖1a和圖1c相同.對(duì)比圖1c和圖1d中不同的曲線,隨著非均勻參數(shù)絕對(duì)值的增大,等離子體密度的變化率增大,電子振蕩的振幅增加.如圖1c和圖1d中短虛線顯示當(dāng)非均勻參數(shù)接近一定值時(shí)b=b*,電子將無(wú)法做周期振蕩.

總結(jié)圖1的現(xiàn)象,均勻等離子體中電子會(huì)在其初始位置附近做周期運(yùn)動(dòng),會(huì)自發(fā)的產(chǎn)生電子振蕩；等離子體密度沿著徑向增加時(shí),電子振蕩的振幅減小；等離子體密度沿著徑向減小時(shí),電子的振蕩振幅逐漸增加.特別是當(dāng)?shù)入x子體密度沿著徑向減小,密度的變化率達(dá)到并超過(guò)一定的臨界值時(shí),電子的周期性振蕩將變?yōu)榉侵芷谡袷?圖2給出了電子的初始密度沿徑向線性減小時(shí)非均勻參數(shù)b的臨界值b*.如圖中藍(lán)色實(shí)線所示,r0=2時(shí),非均勻系數(shù)和電子初始動(dòng)量的參數(shù)空間(b*,h)被分為兩部分,左下部分表示電子做周期運(yùn)動(dòng),即等離子體中存在電子振蕩,右上部分表示電子將做非周期運(yùn)動(dòng).只要給定適當(dāng)?shù)膮?shù),就可以確定電子能否做周期運(yùn)動(dòng).

圖2 r0=2時(shí),非均勻參數(shù)和電子初始運(yùn)動(dòng)的參數(shù)空間(b*,h),電子分別呈現(xiàn)周期性振蕩和非周期振蕩

當(dāng)電子可以做周期振蕩時(shí),通過(guò)求解(9)式可以確定振蕩頻率和周期.在非線性極限近似條件下ξ

(14)

其中，右端的3項(xiàng)為非線性項(xiàng),都與非均勻參數(shù)b有關(guān).右端第1項(xiàng)和第2項(xiàng)可以歸為一類(lèi),源于振蕩的球?qū)ΨQ(chēng)結(jié)構(gòu),第3項(xiàng)是由相對(duì)論效應(yīng)引起的.利用攝動(dòng)法求解(14)式,展開(kāi)位移ξ=ξ0+ξ1+…和振蕩頻率ω=ω0+ω1+….求得零階的解為：

ξ0=κ(r0)cos(ω0t).

(15)

其中,κ(r0)為電子振蕩振幅.假設(shè)振幅κ(r0)不隨初始位置變化,取值κ(r0)≈1,振蕩頻率與初始位置r0、非均勻系數(shù)b關(guān)系表示為

(16)

且關(guān)系如圖3所示.左右圖中黑色實(shí)線說(shuō)明在均勻等離子體中,周期T=2π/ω隨著初始位置r0的增加而增加,頻率ω隨著初始位置r0的增加而減小.

圖3a中,不同的線表示等離子體密度沿徑向增加,隨著非均勻系數(shù)的增加振蕩周期變小,這與圖1a和圖1b的結(jié)論一致,振幅減小,周期自然減小.總之，沿著徑向增加的等離子體密度會(huì)抑制電子的振蕩.

圖3 不同非均勻參數(shù)b下,振蕩周T與電子初始位置r0的關(guān)系

圖3b中,不同的線表示等離子體密度沿徑向減小,隨著非均勻強(qiáng)度的額增加振蕩周期變大.當(dāng)b=-0.08時(shí),密度沿著徑向急劇減小,遠(yuǎn)離球心的電子的振蕩周期急劇增加.綜合圖1c和圖1d與圖3b的結(jié)論,沿著徑向減小的等離子體密度會(huì)增強(qiáng)電子的振蕩,而且對(duì)遠(yuǎn)離球心位置的電子影響變大.

3 球形等離子體波破裂

根據(jù)第2部分中(16)式的結(jié)論,振蕩頻率與初始位置r0、非均勻參數(shù)b均有關(guān).當(dāng)非均勻參數(shù)b確定時(shí),振蕩頻率隨初始位置r0連續(xù)變化,表明電子振蕩具有連續(xù)譜,會(huì)出現(xiàn)相混合,進(jìn)而發(fā)生波破裂[12].為了估算波破裂的時(shí)間,將電子的位移偏移量ξ(r0,t)在r0處進(jìn)行傅里葉展開(kāi)得到

(17)

其中ω(r0,b)由(16)式給出.ξ(r0,t)分別對(duì)r0和t求導(dǎo)可得

并且在t→∞的近似條件下,(18)式右端的第1項(xiàng)明顯小于第2項(xiàng),聯(lián)立(18)式和(19)式得到如下的關(guān)系

(20)

將(7)式得到的波破裂條件?ξ/?r0=-1代入(20)式得到波破裂時(shí)間的估算方法

(21)

在強(qiáng)相對(duì)論等離子體中,電子振蕩速度接近光速c,即ve=?ξ/?t≈1,同時(shí)將(16)式代入(21)式,得到波破裂時(shí)間和初始位置、非均勻參數(shù)的變化關(guān)系,具體如圖4和圖5所示.

圖4 等離子體初始密度沿徑向線性增加時(shí),波破裂時(shí)間tbr與r0和b的關(guān)系

圖5 等離子體初始密度沿徑向線性減小時(shí),波破裂時(shí)間tbr與r0和b的關(guān)系.

圖4a給出了等離子體密度沿著徑向線性增加時(shí),波破裂時(shí)間tbr隨初始位置r0和非均勻參數(shù)b的變化圖.均勻等離子體中(等高圖的左側(cè)邊界),波破裂tbr的時(shí)間隨著初始位置r0的增加而增加,說(shuō)明在靠近球心處容易發(fā)生波破裂.圖4b說(shuō)明,位置確定時(shí),隨著密度的增加,發(fā)生波破裂的時(shí)間明顯變長(zhǎng).對(duì)比不同位置對(duì)應(yīng)的3條線可以發(fā)現(xiàn)，隨著密度的增加,遠(yuǎn)離球心的位置發(fā)生波破裂的時(shí)間明顯變長(zhǎng).密度的非均勻性對(duì)外層電子的影響更大.結(jié)合第2部分的結(jié)論,等離子體密度增加時(shí),電子振蕩的振幅減小,周期變短,電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易發(fā)生改變,發(fā)生波破裂的時(shí)間變長(zhǎng).

圖5a給出了等離子體密度沿著徑向線性減小時(shí),波破裂時(shí)間tbr隨初始位置r0和非均勻參數(shù)b的變化.均勻等離子體中(等高圖的左側(cè)邊界),波破裂tbr的時(shí)間隨著初始位置r0的增加而增加,但是隨著等離子體密度的進(jìn)一步減小,不同初始位置發(fā)生破裂的時(shí)間趨于一致,如圖5b所示.結(jié)合第2部分的結(jié)論,等離子體密度減小時(shí),電子振蕩的振幅增加,周期變長(zhǎng),導(dǎo)致電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更容易發(fā)生改變,發(fā)生波破裂的時(shí)間變短.

4 結(jié)論

理論上研究了相對(duì)論球形等離子體的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),由于球形等離子體波具有連續(xù)波的典型特征,會(huì)產(chǎn)生相混合及波破裂現(xiàn)象.理論研究發(fā)現(xiàn),通過(guò)調(diào)節(jié)等離子體的初始密度分布,可以改變等離子體中電子的振蕩周期和振幅,進(jìn)而調(diào)節(jié)波破裂時(shí)間.當(dāng)?shù)入x子體的初始密度沿徑向線性增加時(shí)且繼續(xù)增加非均勻強(qiáng)度時(shí),電子振蕩振幅減小,周期變短,電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易發(fā)生改變,延長(zhǎng)波破裂時(shí)間.反之,當(dāng)?shù)入x子體的初始密度沿徑向線性減小時(shí),縮短了波破裂時(shí)間.總之,理論研究發(fā)現(xiàn)通過(guò)調(diào)節(jié)等離子體的初始密度,可以實(shí)現(xiàn)調(diào)控球形等離子體波的波破裂時(shí)間,為激光等離子體加速器中注入合適的電子提供了一種方法.