周期函數(shù)的變換與最值問(wèn)題的探究

廣東省中山市桂山中學(xué)(528463) 蔡曉波

1.問(wèn)題的提出

fn(x)=sin((4n+1)x),n ∈N 均在x=處取得最大值.

這個(gè)現(xiàn)象巧妙的地方在于:1.存在一個(gè)x值,使得無(wú)數(shù)個(gè)周期函數(shù)同時(shí)取得最值;2.fn(x),n≥1 實(shí)際上可以看成是由f0(x)伸縮變換得到.十分的巧妙,很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美.那么對(duì)于一般的周期函數(shù)滿(mǎn)足怎樣的變換規(guī)律才能使得多個(gè)周期函數(shù)在同一個(gè)x值取得最大值呢? 本文就如上問(wèn)題展開(kāi)討論,與各位同行共勉.

2.相關(guān)結(jié)論

結(jié)論1函數(shù)f(x)為周期函數(shù),最小正周期為T(mén),且f(x)在(0,T] 內(nèi)僅在a1,a2,a3,···,an取得最值,且0

結(jié)論2f(x)是最小正周期為T(mén)的周期函數(shù)且為奇函數(shù),若f(x)在[0,T)內(nèi)在x=a(0

證明下面僅證x=a為最大值的情況.設(shè)f(a)=M(M >0),則M為f(x) 最大值.由f(x) 為奇函數(shù)可得:f(?a)=?M,故f(?a)=f(T ?a)=?M.由a ∈(0,T) 可得:T ?a ∈(0,T).若在[0,T) 內(nèi)存在x0使得f(x0)=?N 0),則f(?x0)=N >M.故f(T ?x0)=N >M與f(a)=M為最大值矛盾,即f(x)在x=T ?a處取得最小值.x=a為最小值時(shí),證明與上述過(guò)程類(lèi)似,不再贅述.

根據(jù)結(jié)論1 和2,我們可以得出一些推論,在此之前我們先來(lái)看看幾個(gè)引理:

引理1設(shè)數(shù)集A={x|x=k ∈Z},B={0,1,2,···,a ?1},其中a,c ∈N+為常數(shù)且 互質(zhì);b為常數(shù)且b ∈B,則集合A包含的全部整數(shù)元素集合為{x|x=ak+p,k ∈Z,p為常數(shù),且p ∈B},且當(dāng)b取不同的值時(shí)對(duì)應(yīng)的p不相同.

船舶靠離泊過(guò)程中的碰撞事故，可能是由于多種因素而導(dǎo)致的，這些因素類(lèi)型多樣，并且涵蓋多方面內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)充分總結(jié)船舶靠離泊航行過(guò)程中的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。船舶靠離泊航行過(guò)程中的安全事故的產(chǎn)生，很少是由單一因素所導(dǎo)致的，通常是由于多種因素的影響，多種過(guò)失鏈的積累，會(huì)對(duì)船舶靠離泊安全帶來(lái)影響。船舶靠離泊航行安全事故的發(fā)生，基本上都與人為因素息息相關(guān)，而這些人為因素的產(chǎn)生，主要是由于相關(guān)人員責(zé)任意識(shí)的缺乏，專(zhuān)業(yè)技能較差，人員決策能力與指揮能力不足，以及航行經(jīng)驗(yàn)與專(zhuān)業(yè)的不足等因素，這些因素都會(huì)對(duì)船舶靠離泊航行安全帶來(lái)影響。

為證明該結(jié)論,我們先來(lái)看另一個(gè)引理.

引理2a,c ∈N+且互質(zhì),k ∈A={0,1,2,3,···,c ?1},設(shè)ak除以c的余數(shù)為u,則當(dāng)k取不同的值時(shí),對(duì)應(yīng)的余數(shù)u不相同;當(dāng)k取遍集合A中的每個(gè)元素時(shí),u組成的集合為A.

下面證明引理1:

下證當(dāng)b取B中的不同元素時(shí),對(duì)應(yīng)的p不同.

設(shè)b1,b2∈B,b1b2且b=b1時(shí)集合A包含整數(shù)元素集合{x|x=ak+p1,k ∈Z,p1為常數(shù),且p1∈B},上述證明過(guò)程中對(duì)應(yīng)的M=M1,k′=k′1;b=b2時(shí)集合A包含整數(shù)元素集合{x|x=ak+p2,k ∈Z,p2為常數(shù),且p2∈B},上述證明過(guò)程中對(duì)應(yīng)的M=M2,k′=k′2.

綜上所述:集合A包含的全部整數(shù)元素集合為{x|x=ak+p,k ∈Z,p為常數(shù),且p ∈B},且當(dāng)b取不同的值時(shí)對(duì)應(yīng)的p不相同.

結(jié)合以上結(jié)論,我們可得如下推論:

推論1函數(shù)f(x) 為周期函數(shù),最小正周期為T(mén),且f(x) 在(0,T] 內(nèi)僅在有限處取得最值,最大值為M,最小值為?M,則存在x0∈(0,T] 使得對(duì)于任意的n ∈N+,g(x)=|f(nx)|在x0處取得最大值M的充要條件是f(x)在x=0 處取得最值.

為了證明該結(jié)論,我們先來(lái)看看下邊的引理.

引理3設(shè)數(shù)集A={x|x=,k ∈Z},若A包含無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)元素,則p,q必為有理數(shù).

證明1.若p,q僅有一個(gè)為有理數(shù),比如設(shè)p為有理數(shù),q為無(wú)理數(shù),且=m ∈Z,則q=為有理數(shù),與q為無(wú)理數(shù)矛盾.

類(lèi)似的可證得p為無(wú)理數(shù),q為有理數(shù)也不成立,故p,q不可能僅有一個(gè)為有理數(shù).

綜上所述p,q必為有理數(shù).

推論1 的證明充分性.因?yàn)閒(x)在x=0 處取得最值,故|f(0)|=M(M為f(x) 最大值).因?yàn)閒(x) 的最小正周期為T(mén),故|f(nT)|=|f(0)|=M且|f(nx)|≤M,即g(x)=|f(nx)|≤M,所以當(dāng)x0=T時(shí)g(x0)=g(T)=|f(nT)|=M.

必要性.根據(jù)推論1 的大前提,可設(shè)f(x) 在(0,T] 內(nèi)僅在a1,a2,a3,···,am,m ∈N+取得最值,且0

根據(jù){c1,c2,···,cm} ?{1,2,3,···,a ?1},可得cja,結(jié)合引理1 可知集合A不包含形如a′k,k ∈Z 的整數(shù),而集合A′又僅有有限個(gè)整數(shù),故不存在x0∈(0,T]使得對(duì)于任意的n ∈N+,g(x)=|f(nx)|在x0處取得最大值M.故f(x)在x=T處必須是最值,即x=0 處為最值.顯然,我們熟悉的余弦函數(shù)f(x)=cosx就是在x=0 處取得最值,且最大值為1,最小值為?1,故|cosnx|≤1,當(dāng)x=0 時(shí)可讓等號(hào)成立.

推論3若f(x) 是最小正周期為T(mén)的奇函數(shù),當(dāng)x0=(m,n為常數(shù),m,n ∈N+,m

綜上所述當(dāng)u=nk+1或u=nk ?1,k ∈Z 時(shí),g(x)在x0或T ?x0處取得最值.另外,根據(jù)推論3,我們可得如下推論:

設(shè)p=(m,n0為常數(shù),m,n0∈N+,m≤且互質(zhì),n0≥ 2).根據(jù)推論3 可得:當(dāng)u=n0k+1或u=n0k ?1,k ∈Z 時(shí),f(ux)在x0處取得最值.因?yàn)閒(x) 即奇函數(shù)且最大值為M,故最小值為?M,故|f(ux)|≤M,當(dāng)x=x0時(shí),等號(hào)成立.又因?yàn)閷?duì)于任意的n ∈N+,g(x)=|f((2n ?1)x)|在x0處取得最大值M,故{u|u=2k+1,k ∈N}?{u|u=n0k+1或u=n0k ?1,k ∈Z}.故3∈{u|u=n0k+1或u=n0k ?1,k ∈Z}.

綜上所述,n0=4.

3.結(jié)論再拓展

上述的結(jié)論均是周期函數(shù)的變換與最值問(wèn)題相關(guān)的結(jié)論,那么對(duì)于一般的周期函數(shù)的函數(shù)值與變換又有什么關(guān)系呢? 實(shí)際上,根據(jù)上述證明過(guò)程,我們不難發(fā)現(xiàn)可以將其推廣到周期函數(shù)的一般函數(shù)值中去,且證明過(guò)程極其類(lèi)似.

例如結(jié)論1 可以推廣為:

結(jié)論3函數(shù)f(x) 為周期函數(shù),最小正周期為T(mén),且f(x) 在(0,T] 內(nèi)僅在a1,a2,a3,···,an取得函數(shù)值m,且

4.回歸教、學(xué)習(xí)題鞏固