圓錐曲線中一類定點(diǎn)問(wèn)題的探究與思考

四川省名山中學(xué)(625100) 劉艷

定點(diǎn)問(wèn)題的探究一直是高考解析幾何中的一類熱點(diǎn)問(wèn)題,而很多圓錐曲線問(wèn)題的研究都有相通性,為此,筆者在高三復(fù)習(xí)課中,通過(guò)對(duì)一道解析幾何練習(xí)題中一類相交弦的中點(diǎn)連線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的分析和講解,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題的共性特征,從而提高復(fù)習(xí)的有效性.

一、問(wèn)題提出

題目已知圓A:(x+1)2+y2=16,B(1,0),M為圓A上任意一點(diǎn),線段BM的垂直平分線交AM于點(diǎn)N,點(diǎn)N的軌跡為W.

(1)求軌跡W的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)B的直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,k1+k2=?1,l1交W于C、D,l2交W于E、F,線段CD與EF的中點(diǎn)分別為G、H,判斷直線GH是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn),若不過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由.

答案(1)=1;(2)直線GH過(guò)定點(diǎn)

這類已知斜率關(guān)系研究直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是很熟悉的題目了,在引導(dǎo)學(xué)生分析這道題時(shí),提出第(2)問(wèn)中出現(xiàn)的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是否可以一般化? 圓錐曲線中這類問(wèn)題有沒(méi)有統(tǒng)一規(guī)律? 帶著這些問(wèn)題,通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)了一系列有趣結(jié)論.

二、借題發(fā)揮,探究引申

將點(diǎn)B推廣為平面內(nèi)任意一點(diǎn),可以得到以下結(jié)論:

通過(guò)以上探究,發(fā)現(xiàn)當(dāng)k1+k2為非零定常數(shù)時(shí),兩相交弦中點(diǎn)連線GH必過(guò)定點(diǎn).若當(dāng)k1·k2為定常數(shù)時(shí),兩相交弦中點(diǎn)連線是否仍過(guò)定點(diǎn)? 通過(guò)探究我們得到:

特別地,若點(diǎn)B為x軸或y軸上的定點(diǎn)時(shí),我們有:

橢圓中當(dāng)k1+k2和k1·k2分別為定常數(shù)時(shí),這類相交弦中點(diǎn)連線必恒過(guò)定點(diǎn),若將此問(wèn)題拓展引申到雙曲線和拋物線中,結(jié)論如何呢?

經(jīng)過(guò)研究,得到以下結(jié)論.由于證明類似,此處略.

結(jié)論5已知拋物線W:y2=2px(p>0),過(guò)B(x0,y0)的直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,k1+k2=t(t0),l1交W于C、D,l2交W于E、F,線段CD與EF的中點(diǎn)分別為G、H,則直線GH恒過(guò)定點(diǎn)

結(jié)論6已知拋物線W:y2=2px(p>0),過(guò)B(x0,y0)的直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,k1·k2=λ(λ0),l1交W于C、D,l2交W于E、F,線段CD與EF的中點(diǎn)分別為G、H,則直線GH恒過(guò)定點(diǎn)

三、總結(jié)反思,提升素養(yǎng)

以上分別探究了兩種斜率關(guān)系下圓錐曲線中兩相交弦中點(diǎn)連線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.在研究過(guò)程中,體現(xiàn)了圓錐曲線其性質(zhì)的統(tǒng)一性和結(jié)論的相似性,因此在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)時(shí),可以以點(diǎn)帶面,達(dá)到通一點(diǎn)會(huì)一面的目的.同時(shí)在研究過(guò)程中,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的滲透,因此老師在教學(xué)時(shí),要將核心素養(yǎng)以行之有效的載體和方式貫穿于平時(shí)課堂教學(xué)中,才能以潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的方式影響學(xué)生,讓學(xué)生會(huì)探究,會(huì)思考,進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).