隱藏在圓錐曲線中的“恰到好處”

江蘇省南京市燕子磯中學(xué)(210038) 盧榮亮 陳慧

1.橢圓中的恰好相切

以下引理1-5 是為了證明性質(zhì)1 服務(wù)的,其中切割線定理的逆定理比較常見(jiàn),但由于沒(méi)有查到相關(guān)文獻(xiàn),因此筆者給了一個(gè)常規(guī)證明.

引理1[1](圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì))由焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓曲面反射后的光線必經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為橢圓的切線;由焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線曲面反射后的光線所在直線必經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為雙曲線的切線.

引理2[2]如圖1,已知橢圓=1(a >b >0),F1,F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn)(長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)除外),∠F1PF2的平分線交x軸于點(diǎn)Q,過(guò)Q作QM⊥PF1交直線PF1于點(diǎn)M,則PM的長(zhǎng)度為定值

引理3[3]如圖1,已知橢圓=1(a>b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點(diǎn),P是橢圓上不同于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),∠F1PF2的平分線交x軸于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,過(guò)R作RN⊥PF1交直線PF1于點(diǎn)N,則|PN|=a.

圖1

圖2

引理4[4]如圖1,已知橢圓=1(a>b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點(diǎn),P是橢圓上不同于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),∠F1PF2的平分線交x軸于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,則=e(e為橢圓的離心率).

引理5(切割線定理的逆定理)已知?ABT的AB邊延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)P,滿足|PT|2=|PA||PB|,則PT與?ABT的外接圓相切于T點(diǎn).

注該引理還可以用“同一法”進(jìn)行證明,在此不再贅述.

性質(zhì)1已知橢圓=1(a >b >0),F1(?c,0),F2(c,0) 分別是橢圓的左右焦點(diǎn),直線m與橢圓相切于點(diǎn)P(長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)除外),過(guò)點(diǎn)P的直線n垂直于切線m;直線n交x軸于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,則

(1)直線F1R與?PF1Q的外接圓相切于點(diǎn)F1;

(2)直線F2R與?PF2Q的外接圓相切于點(diǎn)F2.

圖3

圖4

2.雙曲線中的恰好相切

以下引理6-8 是為了證明性質(zhì)2 服務(wù)的.

引理6[2]如圖4,已知雙曲線=1(a >0,b >0),F1(?c,0),F2(c,0)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),P是雙曲線上任意一點(diǎn)(兩頂點(diǎn)除外),∠F1PF2的外角平分線交x軸于點(diǎn)Q,過(guò)Q作QM⊥PF1,交F1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則PM的長(zhǎng)度為定值

引理7[3]如圖4,已知雙曲線=1(a>0,b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點(diǎn),P是雙曲線上不同于實(shí)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),∠F1PF2的外角平分線交x軸于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,過(guò)R作RN⊥PF1交直線PF1于點(diǎn)N,則|PN|=a.

引理8[4]如圖4,已知雙曲線=1(a>0,b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點(diǎn),P是雙曲線上不同于實(shí)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),∠F1PF2的外角平分線交x軸于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,則=e(e為橢圓的離心率).

性質(zhì)2已知雙曲線=1(a>0,b>0),F1,F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),直線m與雙曲線相切于點(diǎn)P(兩頂點(diǎn)除外),過(guò)點(diǎn)P的直線n垂直于切線m;直線n交x軸于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,則

(1)直線F1R與?PF1Q的外接圓相切于點(diǎn)F1;

(2)直線F2R與?PF2Q的外接圓相切于點(diǎn)F2.

圖5

3.恰好是離心率

問(wèn)還有其它“恰到好處”嗎?

經(jīng)筆者進(jìn)一步研究,又有新的發(fā)現(xiàn).為介紹這一新發(fā)現(xiàn),我們先由文[4]中性質(zhì)1 和性質(zhì)2 的證明方法,得到如下兩個(gè)引理.

引理9已知橢圓=1(a>b>0)中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點(diǎn),P是橢圓上不同于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),∠F1PF2的平分線交y軸于點(diǎn)R,則F1,F2,P,R四點(diǎn)共圓.

證明[4]設(shè)?PF1F2的外接圓交y軸于點(diǎn)R′,連接F1R′,F2R′;因 為∠R′PF1=∠R′F2F1,∠R′PF2=∠R′F1F2,又F1R′=F2R′,所以∠R′F1F2=∠R′F2F1,從而∠R′PF1=∠R′PF2,即PR′是∠F1PF2的角平分線,因此R′和R重合,所以F1,F2,P,R四點(diǎn)共圓.

引理10已知雙曲線=1(a >0,b >0) 中,F1(?c,0),F2(c,0)為其左右焦點(diǎn),P是雙曲線上不同于實(shí)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),∠F1PF2的外角平分線交x軸于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,則F1,F2,P,R四點(diǎn)共圓.

證明[4]設(shè)?PF1F2的外接圓交y軸于點(diǎn)R′,連接F1R′,F2R′;因?yàn)镕1R′=F2R′,所以∠R′F1F2=∠R′F2F1;因?yàn)椤螿PF1=∠R′F2F1,∠R′PF2=∠R′F1F2,所以∠QPF1=∠R′PF2,從而PR′是∠F1PF2的外角平分線,因此R′和R重合,即F1,F2,P,R四點(diǎn)共圓.

圖6

圖7

這些新性質(zhì)是筆者在閑暇之余意外發(fā)現(xiàn)的,看似“意外”,實(shí)際上意外中蘊(yùn)含著必然.在筆者長(zhǎng)期堅(jiān)持大量閱讀文獻(xiàn)的過(guò)程中,只要時(shí)刻保持對(duì)“研究”的樂(lè)趣,緊隨專家、學(xué)者的步伐,勤于思考,精于演算,總能在紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)規(guī)律,挖掘一點(diǎn)“恰到好處”.人生若只如初見(jiàn),實(shí)際上她早已經(jīng)在那里,寧?kù)o地等待著有緣人地發(fā)現(xiàn),“恰到好處”的不期而遇,是巧合,更是必然.