不定方程x2+y2+z2＝2(xy+yz+xz)的解及其性質(zhì)

李 高，常秀芳

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西大同037003)

對于方程[1－3]

的任意一組解x=a,y=b,z=c可看成是空間一點(diǎn)的坐標(biāo)(a,b,c)。而方程的左端總是正的，結(jié)合右端可知a,b,c同時為正，或同時為負(fù)，二者必居其一。只要把(a,b,c)寫成(｜a｜,｜b｜,｜c(diǎn)｜)即同為正，為此，下面只研究正數(shù)解的情形。若(a,b,c)是方程的解，由方程的對稱性知，則方程一定存在(a,c,b)、(b,a,c)、(b,c,a)、(c,a,b)、(c,b,a)的五組解，這六組解實際是坐標(biāo)a,b,c的不同排列，只與坐標(biāo)值有關(guān)，而與次序無關(guān)，這六組解不妨稱為同組解。在同組解中，已知其中的一個，其余五組解便知。規(guī)定方程的解指的是同組解中的一個，同組解中其余五組解不作探究。

1 關(guān)于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的概念

1.1 鄰解

若(a,b,c)是方程(1)的解，則a是方程

的一個根，則必存在另一個根a′，且滿足

a＋a′＝2(b+c) aa′＝(b-c)2

顯然 a′＞0，(a′,b,c)也是方程(1)的解，則把(a′,b,c)稱為方程解(a,b,c)的a的鄰解，即(a,b,c)與(a′,b,c)互為鄰解。

同理，b和c也有各自的鄰解(a,b′,c)和(a,b,c′)。

1.2 奇解

由于我們研究的是方程的正整數(shù)解，若有一個坐標(biāo)值為零，不預(yù)考慮，應(yīng)把它排除之外。為此我們規(guī)定在方程解(a,b,c)的鄰解中，若有一個坐標(biāo)值為零，則稱(a,b,c)為方程的奇解，否則稱為非奇解。

在方程解(a,b,c)中，若有兩個坐標(biāo)值相等，不妨b=c，可得一解(4,1,1)，則稱(4,1,1)為方程最簡單的解。將b=c=1代入(2)式可得關(guān)于4的鄰解(0,1,1)，顯然(4,1,1)是奇解。

1.3 互質(zhì)解

方程解(a,b,c)的三個坐標(biāo)中，若兩兩互質(zhì)，則稱該解為互質(zhì)解。

2 關(guān)于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的性質(zhì)

性質(zhì)1 若(a,b,c)是方程的解，則(ka,kb,kc)是方程的解[4－5]

性質(zhì)2若方程的解中，若有兩個坐標(biāo)值相等，則必得奇解，且奇解只有一個鄰解。

一般地，非奇解(a,b,c)都有三個鄰解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)，其中 a′,b′,c′可按下式求得

a′＝2(b+c)－a,b′＝2(a+c)－b,c′＝2(a+b)－c。

假如b=c，可得(4b,b,b)，由性質(zhì)1得奇解(4,1,1)，又由

42＋y2＋12＝2(4y+y＋4)

得奇解(4,1,1)一鄰解(4,9,1)。 該鄰解(4,9,1)有除(4,1,1)外，還有(16,9,1)、(4,9,25)的鄰解。

若a與b的公因子d＞1，則d也是c的公因子，這與a,b,c的最大公因子為1相矛盾。故a,b,c兩兩互質(zhì)。

性質(zhì)4 互質(zhì)解的鄰解也是互質(zhì)解。

(a,b,c)是互質(zhì)解，它的三個鄰解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)中，不妨設(shè)(a′,b,c)不是互質(zhì)解，則 a′與b，或a′與c有公因子d＞1，兩者必居其一。 不妨a′與 b 有公因子 d＞1，有 a′＝nd,b＝md。

由根與系數(shù)關(guān)系有 aa′＝(b－c)2，即 aa′＝and＝(bc)2＝(md－c)2＝m2d2－2mde＋c2，所以 d｜c(diǎn)2。從而 b 與 c 有公因子 d＞1，這與(a,b,c)是互質(zhì)相矛盾，故(a′,b,c)是互質(zhì)解。

性質(zhì)5 方程互質(zhì)解中，三個坐標(biāo)必兩奇一偶。

性質(zhì)6 方程互質(zhì)解(a,b,c)中，a，b，c均為平方數(shù)。

此外，每一中不同的用地類型有著不同的生境適宜性，對受生態(tài)威脅的敏感程度也不同，綜合眾多研究成果[26-27]的基礎(chǔ)上，結(jié)合研究區(qū)域生態(tài)環(huán)境的具體情況，將土地利用類型分為人工地類、自然地類兩大類，分別賦值0（人工）、1（自然），從人工地類到自然地類，敏感性由低到高，其取值范圍為0-1，0表示不敏感，1表示高度敏感性。本文對應(yīng)的地類對各威脅因子的敏感度具體如表2所示。

由方程φa(x)＝x2－2(b＋c)x＋(b－c)2＝0，φb(x)＝x2－2(a＋c)x＋(a－c)2＝0?？傻?/p>

因為a，b，c是兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，所以a，b，c必然都是平方數(shù)。

性質(zhì)7 方程非奇解(a,b,c)的三個鄰解中，只有一個解的最大坐標(biāo)比原來的小，另兩個則具有較大的最大坐標(biāo)。

不妨設(shè) a＞b＞c，φa(x)＝x2－2(b＋c)x＋(b－c)2＝0 的兩個根為a和a′。

因為

(b－a)(b－a′)＝φa(x)＝x2－2(b＋c)b＋(b－c)2＝－c(4b－c)＜0,即 b 介于 a與 a′之間，則 a＞b＞a′，故(a′,b,c)的最大坐標(biāo)小于(a,b,c)的最大坐標(biāo)。

同理，由(a－b)(a－b′)＝φb(a)＝a2－2(a＋c)a＋(a－c)2＝－c(4a－c)＜0 可知，a位于 b 與 b′之間，因 a＞b，則 b′＞a，故(a,b′,c)的最大坐標(biāo)就大于(a,b,c)的最大坐標(biāo)。(a,b,c′)的情況與之類似。

性質(zhì)8 方程的任何一互質(zhì)解都可由奇解(4,1,1)推得，即方程的任何互質(zhì)解都與奇解(4,1,1)存在聯(lián)系。

設(shè)(a,b,c)是方程的互質(zhì)解，由性質(zhì)4和性質(zhì)7可知，它必有互質(zhì)的鄰解 (a1,b1,c1)，且具有較小的最大坐標(biāo)。若這個接也是非奇解，則它又能產(chǎn)生互質(zhì)的鄰解(a2,b2,c2)，具有更較小的最大坐標(biāo)。將這個過程繼續(xù)下去，在自然數(shù)范圍能從大到小是不能形成無窮遞減的，所以此過程必在某個互質(zhì)解具有相同坐標(biāo)時停止，即該解為奇解(4,1,1)。從而從奇解(4,1,1)出發(fā)，就能逐步地并且無遺漏地得出方程的全部互質(zhì)解來，再由性質(zhì)2得到方程的全部解。

奇解(4,1,1)的非奇互質(zhì)解是(4,9,1)，而且(4,9,1)是所有非奇互質(zhì)解中最小的。由非奇互質(zhì)解(4,9,1)開始，每兩個坐標(biāo)不變，可得方程全部的互質(zhì)解，如下圖1所示。

圖1 方程的互質(zhì)解譜樹圖

此圖不妨稱為方程的互質(zhì)解譜樹圖，解譜樹圖是很容易上計算機(jī)運(yùn)算的。

性質(zhì)9 在解譜樹圖中，坐標(biāo)反復(fù)輪換的一系列鄰解，其坐標(biāo)平方根序列中，包含著菲波納契(Fibonacci)數(shù)列。

由性質(zhì)6知，解譜樹圖中的任意一解的三坐標(biāo)都是平方數(shù)，故解譜樹圖中的任一解可設(shè)為 (a2,b2,c2)的形式，則a2是二次方程

的一個根。設(shè)另一個根為a′2，有

不妨令 a2＝(b－c)2，a′2＝(b＋c)2，其中 a,a′,b,c＞0，則a＝b－c， a′＝b＋c,

同理，由方程

可得

b′＝a＋c， c′＝a＋b。

設(shè)(a20,b20,c20)是解譜樹圖中的任一解，其三坐標(biāo)中兩坐標(biāo)不變反復(fù)輪換的一連串鄰解為

(a20,b20,c20)→(a21,b20,c20)→(a21,b21,c20)→

(a21,b21,c21)→(a22,b21,c21)→(a22,b22,c21)→…

從而可得其坐標(biāo)平方根序列為

a1=b0+c0b1=a1+c0=b0+2c0

c1=b1+c1=2b0+3c0a2=b1+c1=3b0+5c0

b2=a2+c1=5b0+8c0

…

令F1=b0,F2=c0,F3=a1,F4=b1,F5=c1,F6=a2,F7=b2,F8=c2,…，則有遞推公式Fn=Fn-1+Fn-2。

當(dāng)F1=F2=1，即b0=c0=1時，{Fn}即為菲波納契(Fibonacci)數(shù)列。

[1]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1986.

[2]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：高等教育出版社，1957.

[3]李高，常秀芳.關(guān)于二階變系數(shù)線性微分方程求解法的研究[J].河北北方學(xué)院學(xué)報,2010,26(6)：12-14.

[4]常秀芳.掌握數(shù)學(xué)思想方法培育創(chuàng)新意識：以類比法為例[J].山西大同大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2008,24(1)：85-87.

[5]時寶，康淑瑰.時滯差分方程多重正周期解的存在性[J].山西大同大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2009,25(1):1-2.