淺析數(shù)學(xué)課堂留白的原則與形式

蔡國(guó)發(fā)

甘肅省武威第三中學(xué) 733000

留白作為課堂藝術(shù)的基本表現(xiàn)形式之一，是指教師有意識(shí)地給學(xué)生留出空白時(shí)間與空間，讓學(xué)生有更多思考與嘗試的機(jī)會(huì).格式塔心理學(xué)提出：“我們可將任何事物理解為完整的結(jié)構(gòu)，當(dāng)人們看到該事物有缺陷或空白時(shí)，就會(huì)不由自主地產(chǎn)生一種內(nèi)驅(qū)力，驅(qū)使大腦產(chǎn)生填補(bǔ)與完善的命令，讓該事物趨向完整，以達(dá)到心理的平衡［1］.”教師也應(yīng)抓住學(xué)生的這種心理特征，在課堂中適當(dāng)留白，賦予課堂更多的生命力.

課堂留白的原則

留白雖好，但在何處留、怎么留，是值得探究的問題.留白因課而異、因生而異，但所遵循的原則是一致的.從學(xué)生的認(rèn)知與思維層面來看，課堂留白應(yīng)遵循以下幾個(gè)原則：

1.最近發(fā)展區(qū)原則

課堂留白是為了訓(xùn)練學(xué)生的思維，從表面上來看，是給學(xué)生留下思考的余地，其實(shí)留白所蘊(yùn)含的是學(xué)生的思維發(fā)展.留白時(shí)，應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，只有互相匹配的留白，才能驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生踮起腳尖就能夠得著［2］.但是，教師若提出的是“是不是”“對(duì)不對(duì)”等封閉式問題，不需要學(xué)生加以思考就能回答，這種則不算留白.

2.適用性原則

留白并不是想留就留，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平來決定.如針對(duì)一些基礎(chǔ)差、認(rèn)知水平低的學(xué)生，教師給予留白的時(shí)間就要稍許充足一些，思維的量應(yīng)少一些，必要時(shí)應(yīng)給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與啟發(fā)；針對(duì)基礎(chǔ)扎實(shí)、思維靈活的學(xué)生，則可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，控制留白的節(jié)奏與時(shí)間.

3.探究性原則

高中數(shù)學(xué)中的概念、公式或定理等都比較抽象，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思想.教學(xué)中，教師可以充分挖掘這些深層次的內(nèi)容，利用留白啟發(fā)的方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行局部探究，讓學(xué)生的思維在探究過程中得以發(fā)展與升華.教師應(yīng)把握好概念教學(xué)時(shí)留白的時(shí)機(jī)，給學(xué)生創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過探究拓展思維、提升能力.

4.整合性原則

課堂中，當(dāng)新授內(nèi)容與學(xué)生原有知識(shí)之間存在著一定的聯(lián)系時(shí)，可以暫緩展示新知，而通過各種形式的留白，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)儲(chǔ)備知識(shí)與新知之間存在的區(qū)別與聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)知識(shí)之間關(guān)系的梳理，明晰知識(shí)脈絡(luò)，自主建構(gòu)新的認(rèn)知體系.

課堂留白的主要形式

從留白最初的概念來看，它是指中國(guó)繪畫過程中著墨疏淡，用空白來構(gòu)造一種空靈的韻味，給人留以美的享受.由此可見，留白不僅是一種藝術(shù)，更是一種智慧與審美的表現(xiàn).將它遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅能給學(xué)生創(chuàng)造更多思考的空間，還能有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，為核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).不同的課程類型與授課內(nèi)容，應(yīng)采取不一樣的留白形式.一般情況下，留白存在以下三種形式：

1.顯性留白

顯性留白是指教師呈現(xiàn)出明顯的沉默與停頓，學(xué)生很容易辨別出教師給他們提供了思考的機(jī)會(huì).這種方式也是課堂留白常用的一種，它具有非常明顯的留白痕跡，學(xué)生也有充裕的時(shí)間去思考或探究問題.

案例1“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué).

縱向來看，拋物線的概念學(xué)生在本節(jié)課之前就有所接觸.第一次是初中階段，學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖像時(shí)；第二次是在物理學(xué)科中，學(xué)習(xí)平拋物體或斜拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線的一部分時(shí).因此，課程設(shè)計(jì)可以聯(lián)系學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，選擇將新知納入舊知的形式進(jìn)行教學(xué).

橫向來看，本節(jié)課內(nèi)容隸屬于圓錐曲線與方程的范疇，教師可將本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容與橢圓、雙曲線等知識(shí)聯(lián)系在一起，以期引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間存在怎樣的個(gè)性和共性特征，這涉及三種曲線異同點(diǎn)的區(qū)分.

引導(dǎo)學(xué)生從教學(xué)內(nèi)容的縱、橫兩面入手，不僅能建立完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，還能整合學(xué)生的思維，完善學(xué)生的認(rèn)知體系.本節(jié)課實(shí)施課堂留白，筆者主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

（1）情境導(dǎo)入處留白

留白1：利用多媒體展示彩虹、噴泉的圖片，播放跳水、投籃的視頻.提問：說一說生活中還遇到過哪些拋物線.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧與拋物線相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，切入主題.

留白2：請(qǐng)大家歸納一下，之前我們是從哪些方面著手的？是怎么研究橢圓和雙曲線的？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)橢圓和雙曲線的共性方法：定義—建系求標(biāo)準(zhǔn)方程—認(rèn)識(shí)性質(zhì).

（2）課堂講解處留白

留白3：用幾何畫板展示拋物線的定義，要求學(xué)生根據(jù)定義求曲線方程.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用建系的思想求曲線方程，為接下來的探究活動(dòng)奠定基礎(chǔ).

留白4：通過建系求方程，有沒有什么地方值得注意？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生思考點(diǎn)F是否在直線l上，并通過局部探究來完善認(rèn)知.

2.隱性留白

隱性留白是指不留痕跡地進(jìn)行留白，即教師沒有呈現(xiàn)明顯的停頓，但起到了留白的效果.這種方式在授課中常用，這對(duì)吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生跟上教學(xué)節(jié)奏，啟發(fā)學(xué)生的思維具有重要作用.

如在授課過程中，教師適當(dāng)?shù)販p慢語(yǔ)言速度，讓反應(yīng)較慢的學(xué)生跟上教學(xué)節(jié)奏；教師有時(shí)故意將聲音拖長(zhǎng)，在學(xué)生給出相應(yīng)的反饋時(shí)，再進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)；有時(shí)用呼之欲出的答案引誘學(xué)生接話，等等.

隱性留白由于時(shí)間有限，并不能讓學(xué)生產(chǎn)生較大的思維量，一般以“補(bǔ)白”的形式呈現(xiàn).它的關(guān)鍵作用在于觀察學(xué)生的上課狀態(tài)，具有避免學(xué)生上課開小差、走神等作用，對(duì)提高學(xué)生聽課效率具有一定的影響力.

3.綜合留白

綜合留白是將顯性留白和隱性留白綜合應(yīng)用的一種方式，即結(jié)合教學(xué)需求，靈活應(yīng)用前兩種留白方式，讓課堂具有一定的節(jié)奏感.課堂本就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的活動(dòng)場(chǎng)所，即使是同一個(gè)教師面對(duì)同一群學(xué)生講同樣的內(nèi)容，都會(huì)呈現(xiàn)出不一樣的課堂狀態(tài).因此，留白應(yīng)結(jié)合課堂實(shí)際進(jìn)展，合理選擇留白方式與頻次，并隨著課堂的變化與生成而作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，達(dá)到點(diǎn)撥、啟發(fā)的作用.

案例2“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué).

公式、定理等的推導(dǎo)與證明都具有重要的教育意義，教師可以應(yīng)用綜合留白的方式，引導(dǎo)學(xué)生挖掘其中的數(shù)學(xué)思想，鍛煉學(xué)生的思維.

顯性留白1：這種方法（錯(cuò)位相減法）適用于具備什么特征的數(shù)列求和？

設(shè)計(jì)意圖：留下充足的時(shí)間與空間讓學(xué)生進(jìn)行領(lǐng)悟與觀察，并獲得這樣的理解：“錯(cuò)位相減法除了能求等比數(shù)列前n項(xiàng)和外，還可以用于非等比數(shù)列的求和運(yùn)算，因此這是研究數(shù)列求和的重要方法之一.”

顯性留白2：還有其他推導(dǎo)方法嗎？

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主探究，若學(xué)生感到迷茫，教師可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行啟發(fā)，如“是不是可以類比等比或等差數(shù)列求通項(xiàng)公式進(jìn)行迭乘或迭加？”

隱性留白：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an－1q，等式兩邊分別相加，可得a1+a2+…+an=a1+q（a1+a2+…+an－1）.已知等式的左邊為Sn，那么等式的右邊是……（拖長(zhǎng)聲音）將右邊的式子變形后再觀察它與Sn的關(guān)系（稍停頓），我們要特別留意n≥2這個(gè)條件.

設(shè)計(jì)意圖：此過程呈現(xiàn)出了兩次顯性留白和一次隱性留白，其目的是吸引學(xué)生的注意力，深化學(xué)生對(duì)Sn的理解，等等，尤其是最后一問，是關(guān)鍵的一步.Sn=a1+qSn－1=a1+q（Sn－an），可得（1－q）Sn=a1－qan，求出Sn（q≠1）即可獲得公式.

顯性留白3：我們還有其他推導(dǎo)方法嗎？（適時(shí)啟發(fā)：是否可以從等比數(shù)列的定義與性質(zhì)的角度進(jìn)行思考呢？）（方法略）

設(shè)計(jì)意圖：以此分別引出Sn=（q≠1），Sn=（q≠1）兩個(gè)公式.這種推導(dǎo)方法應(yīng)用了等比數(shù)列的定義與比例的性質(zhì)，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要的啟發(fā)作用.

總之，讓學(xué)生積極參與課堂教學(xué)，并表現(xiàn)出會(huì)思考、愿思考的態(tài)度，是提高教學(xué)效率的關(guān)鍵.留白的方式能有效深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和融會(huì)貫通，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維，為創(chuàng)新意識(shí)的形成奠定基礎(chǔ)［3］.因此，教師應(yīng)有意識(shí)地合理應(yīng)用留白，為學(xué)生的思維發(fā)展提供更廣闊的空間，以彰顯出教學(xué)的機(jī)智性與藝術(shù)感.