對(duì)數(shù)列錯(cuò)位相減法求和的探討

秦文波 重慶市璧山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 402760

劉紅梅 重慶市長生橋中學(xué)校 401336

推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，幾乎所有高中數(shù)學(xué)新教材（2019年及以后出版的）都會(huì)介紹錯(cuò)位相減法，但是，同老教材一樣，新教材并沒有對(duì)錯(cuò)位相減法作更深入的介紹，這在某種程度上給許多師生帶來了一些認(rèn)知上的偏差.下面，筆者結(jié)合自己開展的專項(xiàng)教研活動(dòng)，就數(shù)列錯(cuò)位相減法求和中一些師生關(guān)注的問題作簡要探討.

約定

為了敘述方便，本文有以下兩點(diǎn)約定：

（1）將“一個(gè)非零等差數(shù)列與一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列”簡稱為“差比數(shù)列”.

（2）設(shè)an≠0（n∈N*），｛bn｝是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，｛an·bn｝的前n項(xiàng)和為Sn.

探討

探討1：是不是只有差比數(shù)列才能用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和？

Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①，等式兩邊同乘q得qSn=a1（qb1）+a2（qb2）+…+an（qbn）=a1b2+a2b3+…+anbn+1②，由①－②得（1－q）Sn=a1b1+［（a2－a1）b2+…+（an－an－1）bn］－anbn+1.

不難發(fā)現(xiàn)，能否用錯(cuò)位相減法求Sn的關(guān)鍵是能否求得（a2－a1）b2+…+（anan－1）bn.不妨令Tn－1=（a2－a1）b2+…+（anan－1）bn.如果｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，則Tn－1=d（b2+…+bn），根據(jù)等比數(shù)列求和公式容易求得Tn－1，即可以用錯(cuò)位相減法求得差比數(shù)列｛an·bn｝的前n項(xiàng)和.

如果｛an｝不是等差數(shù)列呢？不妨令an－an－1=cn－1（n≥2），則Tn－1=c1b2+…+cn－1bn.若｛cn｝是等差數(shù)列，則｛cn·bn｝就是差比數(shù)列，就可以用錯(cuò)位相減法求得Tn－1，即可以用錯(cuò)位相減法求得｛an·bn｝的前n項(xiàng)和.另一方面，由于an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）=a1+c1+c2+…+cn－1，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)可知，這里的c1+c2+…+cn－1是關(guān)于n的二次函數(shù)，而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故｛an｝不是等差數(shù)列，因此｛an·bn｝不是差比數(shù)列，但仍然可以用錯(cuò)位相減法求得Sn，只不過需要用到兩次錯(cuò)位相減法.

因此，錯(cuò)位相減法并非差比數(shù)列的專屬求和方法，某些非差比數(shù)列也可用錯(cuò)位相減法求和.

探討2：什么樣的｛an｝可用錯(cuò)位相減法求得｛an·bn｝的前n項(xiàng)和？

由探討1知，當(dāng)｛bn｝是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列且an－an－1=cn－1（n≥2）時(shí)，｛an｝為等差數(shù)列或｛cn｝為等差數(shù)列，都可以用錯(cuò)位相減法求｛an·bn｝的前n項(xiàng)和.

事實(shí)上，當(dāng)｛cn｝為等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)榭捎缅e(cuò)位相減法求得｛cn·bn｝的前n項(xiàng)和，所以也可用錯(cuò)位相減法求得｛an·bn｝的前n項(xiàng)和，此時(shí)an是關(guān)于n的二次函數(shù).同樣地，當(dāng)cn為關(guān)于n的二次函數(shù)時(shí)，由于可用錯(cuò)位相減法求得｛cn·bn｝的前n項(xiàng)和，所以也可用錯(cuò)位相減法求得｛an·bn｝的前n項(xiàng)和，此時(shí)an是關(guān)于n 的三次函數(shù).進(jìn)一步分析不難得到，當(dāng)an是關(guān)于n的多項(xiàng)式函數(shù)，即an=t0+t1n+…+tini+…+tmnm（ti為常數(shù)，m∈N*，i=0，1，2，…，m）時(shí)，均可用錯(cuò)位相減法求得｛an·bn｝的前n項(xiàng)和.

另外，當(dāng)｛cn｝為等比數(shù)列時(shí)，｛cn·bn｝也為等比數(shù)列，an可以寫成an=A+B·（A，B，q1為非零常數(shù)）的形式，根據(jù)an的形式結(jié)構(gòu)可知，｛an·bn｝既可分組求和也可錯(cuò)位相減求和.同樣地，當(dāng)cn形如cn=A+B·時(shí)，an=An+C+D·（A，C，D，q1為非零常數(shù)），｛an·bn｝也可用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.繼續(xù)分析不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)an是關(guān)于n的多項(xiàng)式函數(shù)與形如B·的指數(shù)型函數(shù)的和時(shí)，｛an·bn｝也可用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.

綜上，當(dāng)｛bn｝是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列時(shí)，滿足｛an·bn｝可用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的｛an｝有很多，可以是等差數(shù)列，也可以是多項(xiàng)式數(shù)列（通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式函數(shù)），還可以是多項(xiàng)式數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列（以下簡稱“多項(xiàng)乘比數(shù)列”）或其他數(shù)列，只要｛an｝使得｛cn·bn｝的前n項(xiàng)和能求出來即可.

探討3：用錯(cuò)位相減法求和時(shí)是不是一定要乘公比？

由探討1可知，用錯(cuò)位相減法求差比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，第一步是等式兩邊同“乘公比”，其目的是在“錯(cuò)位”后“對(duì)位”，而“對(duì)位”是為了整體“并項(xiàng)”，“并項(xiàng)”后就可以借助等比數(shù)列的求和公式完成差比數(shù)列求和.因此，“乘公比”是非常重要的操作手段.下面探討 “乘其他實(shí)數(shù)”的情況.

因此，用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，可以在和式兩邊乘不是公比且不等于1的非零實(shí)數(shù)，只不過要多用一次錯(cuò)位相減法.所以，乘公比并非錯(cuò)位相減法求和的必然要求，只是與乘其他實(shí)數(shù)相比，乘公比更簡單.

結(jié)語

一般地，每一種數(shù)學(xué)運(yùn)算方法都有其特定的運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算規(guī)則，錯(cuò)位相減法也不例外.對(duì)運(yùn)算對(duì)象的深入理解和運(yùn)算規(guī)則的牢固掌握是使用運(yùn)算方法進(jìn)行準(zhǔn)確運(yùn)算的前提，每一種運(yùn)算方法的教學(xué)都應(yīng)在這兩方面深入思考、下足功夫，只有這樣，才能幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).前述可知，差比數(shù)列的前n項(xiàng)和雖然是錯(cuò)位相減法基本的運(yùn)算對(duì)象，但教師不能將其“窄化”于此；乘公比雖然是錯(cuò)位相減法最佳的處理方式，但教師不能不講理由地生搬硬套，并且給學(xué)生傳達(dá)錯(cuò)誤的觀念.

另外，錯(cuò)位相減法雖然是差比數(shù)列求和較好的方法，但不是唯一的方法.事實(shí)上，如果設(shè)｛an｝是以d（d≠0）為公差的等差數(shù)列，那么對(duì)于差比數(shù)列｛an·bn｝，由于anbn=［nd+（a1－d）］b1qn-1，所以當(dāng)x=時(shí)，［nd+（a1－d）］·b1qn-1=［x（n+1）+y］qn+1－（xn+y）qn.即對(duì)于差比數(shù)列｛an·bn｝，存在kn=（xn+y）qn，使得anbn=kn+1－kn成立.因此，除錯(cuò)位相減法外，我們還可用裂項(xiàng)相消法求差比數(shù)列的前n項(xiàng)和.特別地，由于等比數(shù)列｛bn｝是特殊的差比數(shù)列，故也可用裂項(xiàng)相消法替代錯(cuò)位相減法推導(dǎo)其前n項(xiàng)和公式.其實(shí)，對(duì)于等比數(shù)列｛bn｝，因?yàn)楫?dāng)kn=時(shí)bn=kn+1－kn，所以b1+b2+…+bn=（k2－k1）+（k3－k2）+…+（kn+1－kn）=kn+1－k1=（1－qn）.