追溯數(shù)列的函數(shù)之源

蔣曉東

北京市朝陽區(qū)教育研究中心 100021

追溯數(shù)列本源

數(shù)列其實是一個很古老的話題，在人類文明誕生最早的四大文明古國——中國、巴比倫、古希臘、古印度的歷史文獻中都有著對數(shù)列的記載.數(shù)列的產(chǎn)生源于人類生產(chǎn)生活的需要，當(dāng)人類的祖先想用一組數(shù)按照一定順序記錄某種變化過程或表示某一類事物時，數(shù)列就產(chǎn)生了.

古往今來，無論東方還是西方，數(shù)列始終是數(shù)學(xué)研究的重要問題之一，教科書上說數(shù)列是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，現(xiàn)在用記號an來表示數(shù)列的第n項，那么數(shù)列一直以來就被視為特殊的函數(shù)嗎？記號an又是怎么來的呢？

在19世紀(jì)末，美國賓夕法尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家費歇爾（G.E.Fisher，1863—1920）等在《代數(shù)基礎(chǔ)》中首次采用了帶有下標(biāo)的記號［1］，將數(shù)列表示為a1，a2，a3，…，an，將等差數(shù)列的通項公式和求和公式分別寫成an=a1+（n－1）d，Sn=n（n－1）d，等比數(shù)列的通項公式和求和公式分別寫成

事實上，在歐拉給出函數(shù)解析式定義并引入函數(shù)記號后的漫長時間里，函數(shù)并非數(shù)學(xué)教科書中的核心概念，而數(shù)列卻始終是代數(shù)教科書的重要內(nèi)容之一，數(shù)列與函數(shù)風(fēng)馬牛不相及.到了20世紀(jì)，函數(shù)概念成了中學(xué)數(shù)學(xué)課程核心概念后，數(shù)列才逐漸被視為特殊的函數(shù).只是當(dāng)數(shù)列被視為函數(shù)后，數(shù)列通項的符號才應(yīng)運而生.

揭示函數(shù)特征

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》把數(shù)列作為函數(shù)主題的內(nèi)容之一，指出：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具，在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用.因為數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，是定義在正整數(shù)集或其子集上的特殊函數(shù)，因此處理數(shù)列的函數(shù)特征——單調(diào)性問題時，可以考察數(shù)列前后兩項的關(guān)系，也可以通過構(gòu)造函數(shù)來處理.

1.數(shù)列的單調(diào)性及最值問題

（1）遞增數(shù)列的定義：如果數(shù)列｛an｝滿足an＜an+1，那么稱數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列；

（2）遞減數(shù)列的定義：如果數(shù)列｛an｝滿足an＞an+1，那么稱數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列.

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其單調(diào)性的判斷與研究也是特別的，只需要研究相鄰兩項之間的關(guān)系即可.解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法：其一，用作差比較法，根據(jù)an+1-an的符號判斷數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；其二，用作商比較法，根據(jù)與1的大小關(guān)系及an的符號進行判斷；其三，結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷，注意自變量取值為正整數(shù)這一特殊條件.

例1已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=，試判斷｛an｝的單調(diào)性.

分析：本題考查前后兩項的大小關(guān)系，可用作商比較法.

點評：數(shù)列單調(diào)性問題的刻畫方式：①考查前后兩項的大小關(guān)系，本題用的是作商比較法；②構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

例2已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=n2+kn+2，且數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列.求實數(shù)k的取值范圍.

分析：本題考查前后兩項的大小關(guān)系，可用作差比較法，也可用函數(shù)的單調(diào)性.

解法1：因為數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，所以an+1-an＞0.于是an+1-an=（n+1）2+k（n+1）+2-（n2+kn+2）=2n+1+k＞0.取n=1，得k＞-3.

解法2：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2+kx+2.因為數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，所以函數(shù)f（x）在［1，+∞）上遞增.由二次函數(shù)的頂點知-，所以k＞-3.

點評：例1用的是作商比較法，而例2用的則是作差比較法.本題容易產(chǎn)生的錯解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2+kx+2，由數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列得函數(shù)f（x）在［1，+∞）上遞增，得出-k≤1，解得k≥-2.事實上，只需-即可.

例3已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=，則它的前n項中最大的項是第幾項？最小的項是第幾項？

分析：要判定數(shù)列項的最大值和最小值，可以先判定數(shù)列的變化規(guī)律，再根據(jù)數(shù)列的變化規(guī)律考慮數(shù)列的最大項和最小項.因為數(shù)列和函數(shù)有很多可以相通的地方，所以數(shù)列問題可以借助函數(shù)進行解決，但數(shù)列并不等同于函數(shù)，因此要注意二者的區(qū)別.若從函數(shù)角度解決問題，則需要將數(shù)列問題抽象為函數(shù)問題，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行解題.

2.可表示為an+1=f（an）形式的遞推數(shù)列的單調(diào)性

定理1：設(shè)an+1=f（an），若y=f（x）在某指定連續(xù)區(qū)間D上單調(diào)遞增，對于任意an∈D.

（1）當(dāng)a1＜a2時，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)a1＞a2時，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞減.

此處用數(shù)學(xué)歸納法來探究：

假設(shè)當(dāng)n=k時，ak+1＞ak成立，由于y=f（x）單調(diào)遞增，可得f（ak+1）＞f（ak），即ak+2＞ak+1；

假設(shè)當(dāng)n=k時，ak+1＜ak成立，由于y=f（x）單調(diào)遞增，可得f（ak+1）＜f（ak），即ak+2＜ak+1.

這說明數(shù)列的單調(diào)性取決于數(shù)列的前兩項a1，a2的大小關(guān)系，所以，當(dāng)a1＜a2時，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增；當(dāng)a1＞a2時，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞減.

定理2：設(shè)an+1=f（an），若y=f（x）在某指定連續(xù)區(qū)間D上單調(diào)遞減，對于任意an∈D.

（1）當(dāng)a1≠a2時，數(shù)列｛an｝為擺動數(shù)列；

（2）當(dāng)a1＜a3時，數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞增，｛a2n｝單調(diào)遞減；

（3）當(dāng)a1＞a3時，數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞減，｛a2n｝單調(diào)遞增.

證明：（1）當(dāng)a1＜a2時，由于y=f（x）單調(diào)遞減，所以f（a1）＞f（a2），即a2＞a3.所以數(shù)列｛an｝為擺動數(shù)列.同理，當(dāng)a1＞a2時，數(shù)列｛an｝為擺動數(shù)列.因此，當(dāng)a1≠a2時，數(shù)列｛an｝為擺動數(shù)列.

（2）當(dāng)a1＜a3時，由f（a1）＞f（a3）知a2＞a4，由于y=f（x）的定義域和值域均為D，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)f（f（x））在D上單調(diào)遞增，所以f（f（a1））＜f（f（a3）），即a3＜a5.又f（a3）＞f（a5），即a4＞a6.由數(shù)學(xué)歸納法易證數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞增，數(shù)列｛a2n｝單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)a1＞a3時，a2＜a4，同（2）可證得數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞減，數(shù)列｛a2n｝單調(diào)遞增.

點評：要注意條件y=f（x）在某指定連續(xù)區(qū)間D上單調(diào)，且任意an∈D，必須保證數(shù)列｛an｝各項范圍的一致性，才能保證數(shù)列的單調(diào)性.

古往今來，數(shù)學(xué)的發(fā)展和人類物質(zhì)文明和精神文明的發(fā)展交融在一起，基于數(shù)學(xué)文化背景下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、思想方法的基礎(chǔ)上進一步從科學(xué)的視角認(rèn)識生活、認(rèn)識國家、認(rèn)識世界，有利于學(xué)生形成正確的世界觀和人生觀.教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng).