變式訓(xùn)練在高一函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣文萃中學(xué) 王永兵

變式訓(xùn)練是高中數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的一種有效教學(xué)方式，尤其是高一新生在學(xué)習(xí)新概念、新公式、新定理以及解決數(shù)學(xué)問題過程中，進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，揭示不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生輕松地建立起知識(shí)點(diǎn)之間的框架結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展，坦然面對(duì)各種復(fù)雜問題，有效解決問題[1].

在單一的例題教學(xué)中引入變式教學(xué)，可以拓展學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生更深刻地理解知識(shí)之間的聯(lián)系，利用已有數(shù)學(xué)知識(shí)探究新題型解題之法.不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式訓(xùn)練可以快速提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，通過合理恰當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，讓學(xué)生深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，有變化的重復(fù)學(xué)習(xí)可以提升解題效率[2]，加快該類題型模型化的程度.

1 利用變式訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

例1關(guān)于x的函數(shù)f(x)，其定義域?yàn)?m,n)，則b>0時(shí)，函數(shù)f(bx)的定義域?yàn)?

分析：函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，抽象函數(shù)f(x)和f(bx)之間因?qū)?yīng)關(guān)系f建立起橋梁，把x換元為bx，其范圍不變(即x的范圍就是bx的范圍)，解不等式可解得函數(shù)f(bx)的定義域.這里要注意的是函數(shù)的自變量的范圍經(jīng)過括號(hào)內(nèi)變換后范圍不同.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?m,n)，所以函數(shù)f(bx)有意義時(shí)，則有m

變式1a>0時(shí)，函數(shù)f(ax)的定義域?yàn)?m,n)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(ax)的定義域?yàn)?m,n),且a>0,所以am

故函數(shù)f(x)有意義時(shí)，則有am

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?am,an).

變式2a>0時(shí)，函數(shù)f(ax)的定義域?yàn)?m,n)，求函數(shù)f(bx)的定義域.

分析：變式2是例1和變式1的綜合題.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(ax)的定義域?yàn)?m,n),且a>0,所以am

故函數(shù)f(bx)有意義時(shí)，則有am

點(diǎn)評(píng)：如果一個(gè)函數(shù)是具體的，它的定義域?qū)W生不難理解，但對(duì)于一個(gè)沒有具體解析式的抽象函數(shù)而言，其定義域就難以捉摸，變式訓(xùn)練可促進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)及其定義域的理解，從而掌握抽象函數(shù)定義域的求法.在對(duì)應(yīng)關(guān)系f下進(jìn)行變換的式子范圍沒有改變，主要體現(xiàn)換元思想，利用不等式求解不同抽象函數(shù)的定義域.抽象函數(shù)雖然定義域發(fā)生了改變，但是值域還是相同的.函數(shù)的定義域始終是自變量的取值范圍，不管抽象函數(shù)的元怎么變，在同一對(duì)應(yīng)關(guān)系下，其制約條件是一致的，即在同一取值范圍內(nèi)，通過換元求得不同函數(shù)的定義域,也可以結(jié)合函數(shù)的圖象，平移伸縮變換說明定義域的變化過程.

2 利用變式訓(xùn)練深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解

例2若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且定義域?yàn)閇a-1,2a]，則a=，b=.

變式已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x2-1，則f(-1)=，f(x)=.

分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，存在-x使得f(-x)=-f(x)，所以f(-1)=-f(1)=-1.又函數(shù)在R上有定義，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以滿足f(0)=0.

解：由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(-x)=-f(x).

所以f(-1)=-f(1)=-1.

設(shè)x<0，則-x>0，滿足

f(-x)=2(-x)2-1.

所以-f(x)=2x2-1，即f(x)=1-2x2.

又因?yàn)楹瘮?shù)在原點(diǎn)處有定義，所以f(0)=0.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的奇偶性，考察函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸的對(duì)稱性.首先必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先原則，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；其次根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x)，若在x=0處有定義，則有f(0)=0.函數(shù)為偶函數(shù)有f(-x)=f(x)，可求得函數(shù)的解析式以及參數(shù)的值.

3 利用變式訓(xùn)練拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

變式函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，若f(1-a)+f(1-a2)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

其次函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(1-a)+f(1-a2)>0 變形為

f(1-a2)>f(a-1).

又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是增函數(shù)，所以1-a2>a-1，解得-2

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍(0,1).

點(diǎn)評(píng)：變式教學(xué)可以促進(jìn)新知識(shí)與已有知識(shí)之間建立聯(lián)系，理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，讓學(xué)生通過自主探究，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的形成過程.偶函數(shù)在其對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性，奇函數(shù)在其對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;通過變式訓(xùn)練讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小、解不等式、求最值等，幫助學(xué)生提高應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.

綜上所述，變式教學(xué)為學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)創(chuàng)設(shè)求異思變的空間，啟發(fā)學(xué)生透過不同現(xiàn)象看透數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，探索數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)理論知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，有利于幫助學(xué)生形成科學(xué)的概念，并對(duì)類型知識(shí)學(xué)習(xí)建立模型提供有力幫助.