江蘇省木瀆高級中學 朱雪民
波利亞認為:“教會學生有目的的思考,是數(shù)學教學的基本目標之一.”[1]思考是思維的一種探究活動,是人類對意向信息進行加工的過程,所有思考的進行都存在聯(lián)想的參與.數(shù)學思考是指從數(shù)學的角度,用數(shù)學的思維對數(shù)學對象進行思考的過程,這種思維方式是形成創(chuàng)新能力的核心.數(shù)學抽象、推理與思維是數(shù)學思考的靈魂,也是形成數(shù)學思想的基礎.高中數(shù)學相對抽象,如何立足于當堂訓練,提升學生的思考能力是筆者近些年一直在研究的問題.本文從以下三點展開闡述.
教學中,不少學生對一些數(shù)學知識處于“能意會,卻無法言傳”的狀態(tài),這種情況常導致學生在解題時出現(xiàn)思維模糊、想著想著就跑偏了的現(xiàn)象.而復述是訓練學生思考能力的基本手段之一,它能讓學生清晰思維、明晰解題思路.
所謂的復述是指將所學內(nèi)容,用自己的語言進行流暢地表達.這種方式能將學生思維的“圖式”呈現(xiàn)出來,讓學生在多次重復的復述訓練中不斷完善并豐富自己的思維結構.相對而言,高中數(shù)學有些語言比較拗口、抽象,要讓學生完整地通過自己的語言準確表達出來,實非易事.但為了啟發(fā)學生對所學內(nèi)容的思考,以訓練學生的思維能力,還需要鼓勵學生勤加訓練,長期堅持才能真正達到啟發(fā)思維的效果.
例1“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念復述.
從字面上來看,這兩個概念異常相近.它們之間到底存在怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?這是本節(jié)課教學的重點與難點.為了讓學生徹底弄清這兩個概念,筆者在教學時先與學生共同探討這兩個概念:
在直角坐標系中,若曲線C上的點和某個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立以下兩點聯(lián)系:①曲線上點的坐標全都是該方程的解;②以此方程的解為坐標的點,這些點均為曲線上的點.那么,此方程為曲線的方程,此曲線為該二元方程的曲線.
學生在課堂上雖對此概念有了一定的了解,但若不加以復述或鞏固,不少學生過兩天就開始混淆,理不清楚其中的關系.為此,筆者在當堂課即帶領學生進行復述訓練,以深化學生對這兩個概念的理解.而復述的過程則體現(xiàn)了思維活躍的過程,此過程能有效地啟發(fā)學生的思考.
復述:
(1)從定義中的兩個條件來復述
這兩個條件反映了曲線上的點和以方程的解為坐標的點,二者是不多不少,恰合適的關系.從第一個條件來看,曲線上的點不多于方程的解為坐標的點,也就是曲線上的點全都符合條件,沒有一點是例外的;從第二個條件來看,曲線上的點不少于方程的解為坐標的點,也就是說所有符合條件的點均于這條曲線上,沒有遺漏.
(2)從集合的角度復述
將曲線理解為點的集合,記作C;將方程的實數(shù)解理解為點的坐標,點集記作F.
也就是C={(x,y)|f(x,y)=0}.
從這兩個角度進行復述的情況來看,復述訓練能有效地啟發(fā)學生的思考,讓學生從自身獨有的思維角度去分析與理解知識的內(nèi)涵.此過程是內(nèi)化新知、建構認知體系的重要過程,亦是賦予所學知識價值的過程.
眾所周知,變式訓練是相對于某種范式的變化形式,是深化學生思考,提升解題能力的重要途徑之一[2].變式一般是將簡單的概念、公式、性質等演變成復雜問題的過程,一旦掌握了變式的基本思想,就能掌握解決問題的基本策略與方法.這種訓練方式,對提高學生的辯證思維能力以及思維的自覺領悟能力具有重要影響.
教學中,我們常涉及到的變式有語言、圖形、概念、定理、公式或題目等,不論是哪種變式的應用,均以知識和文化兩大導向為基礎,以實現(xiàn)教學的三維目標為宗旨.我們接觸最多的是試題的變式,即以一道試題為母胎,為了深化其知識的內(nèi)涵,通過問題條件或結論的變化,呈現(xiàn)出一組新題.通過這組問題的解決,在完善原有認知結構的基礎上深化思考,形成良好的數(shù)學綜合素養(yǎng).
例2已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+1(n∈N*),求該數(shù)列的通項公式.
變式1已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+n(n∈N*),求該數(shù)列的通項公式.
變式2已知在數(shù)列{an}中,a1=2n-1,an+1=an+2n-1(n∈N*),求該數(shù)列的通項公式.
解析:形如an+1=an+f(n)的遞推關系式,可采用疊加的數(shù)學思想,將問題化歸成等比或等差數(shù)列求和.
變式3將原式中an前面的系數(shù)變?yōu)?,也就是an+1=2an+1,求此時數(shù)列的通項公式.
變式4將變式3中的常數(shù)改成冪的形式,如an+1=2an-3n,求此時數(shù)列的通項公式.
解析1:與變式3類似,把遞推公式變形成an+1+3n+1=2(an+3n),從而湊配為等比數(shù)列{an+3n},計算可得an=2n+1-3n.
綜上,想要深化學生對知識縱深的理解,變式訓練是最好的方法之一.通過以上變式的應用,學生不僅對此類問題有了更為深刻的認識,在腦海中建構了一系列求解的通項公式,當再次遇到類似問題時,則能舉一反三,順利解題.在此變式訓練的過程中,學生在獲得知識的同時,還形成了良好的思考能力,為各項數(shù)學能力的提升奠定了基礎[3].
曾子有云:“吾日三省吾身.”反思是促進思維成長的利器,是提高人類各項能力的保障.“悟”即深層次的思考與反思,它是學習者思維能力的體現(xiàn).那么,在數(shù)學課上,學生應該從哪些角度去進行感悟呢?筆者認為有以下幾點:
(1)基礎知識的感悟
教學遵循一個循序漸進的過程.課堂教學一般從基礎的概念、定理或公式出發(fā),這些基礎性的知識雖然簡單,但若扣不住它的核心點,不弄清它的發(fā)展主線,則無法深刻認識其內(nèi)涵與外延.而課堂時間又是有限的,有些問題教師并不能講得非常全面、透徹,尤其是在“以學生為主體”的背景下,更多的是教師的點撥與學生的自我領悟.因此,這就要求學生要擁有“悟”的意識,從不同視角去審視與感悟基礎知識,達到知其然且知其所以然的境界.
(2)解題方法的感悟
數(shù)學能力的高低可在解題中見分曉,良好的解題方法,為思維指明決策程序,為后期學習中的類比提供保障.對解題方法的感悟,最重要的是要注重思考解題方法的主要特征、基本步驟、技巧等,并將這些內(nèi)容內(nèi)化到自己原有的認知結構中,將良好的解題技巧與方法轉化為自己的技能.
(3)數(shù)學思想的感悟
解題方法與技巧屬于實施層面的內(nèi)容,而其背后一般都蘊藏著一定的數(shù)學思想,這些數(shù)學思想則屬于數(shù)學的靈魂.數(shù)學思想決定了數(shù)學學習的整體策略與方法,是學生真正實現(xiàn)觸類旁通的關鍵因素.因此,教學中應注重加強學生對數(shù)學思想方法的感悟.學生一旦領悟了相應的數(shù)學思想方法,則能從真正意義上實現(xiàn)以一通百的能力.
總之,提升學習效率是教學的首要任務,訓練學生的思考能力具有重要的戰(zhàn)略意義.作為教師,應結合學情與教學內(nèi)容,在授學環(huán)節(jié),選擇合適的方式進行思考能力的訓練,讓學生在復述、變式與感悟中不斷地提高自身的學習能力與數(shù)學核心素養(yǎng).