數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用探討

◎盧守業(yè)(山東省日照市莒縣夏莊鎮(zhèn)中心初級中學(xué)，山東 日照 276514)

數(shù)形結(jié)合指將數(shù)學(xué)教育中的“數(shù)”與“形”進(jìn)行結(jié)合，本質(zhì)是將一些晦澀難懂的數(shù)學(xué)抽象知識用幾何圖形進(jìn)行清晰的呈現(xiàn)，把抽象的數(shù)學(xué)思維與形象思維進(jìn)行結(jié)合，將數(shù)學(xué)教學(xué)中的知識以及定義進(jìn)行簡化，形成相輔相成的數(shù)學(xué)教學(xué)方式.

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要性

初中數(shù)學(xué)主要由“數(shù)”與“形”兩個方面構(gòu)成，這兩方面是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)教育以及研究的重要內(nèi)容.在初中數(shù)學(xué)教育中，“數(shù)”主要包含了關(guān)于物體數(shù)量方面的知識，這類知識具有準(zhǔn)確性；“形”主要研究外在的直觀體現(xiàn)，這類知識具有形象性、直觀性.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將數(shù)與形進(jìn)行結(jié)合，能將抽象的數(shù)學(xué)知識用直觀的圖像表達(dá)出來，并使用數(shù)量計算的方式來解決幾何知識.這不僅能夠充分體現(xiàn)出用“數(shù)”進(jìn)行教學(xué)的優(yōu)勢，也能體現(xiàn)出“形”的形象性與直觀性.數(shù)形結(jié)合的最大特點(diǎn)在于，能將單一刻板的數(shù)學(xué)理論變得趣味化和圖形化.一般教師會運(yùn)用板書或多媒體電子信息設(shè)備，為學(xué)生進(jìn)行相關(guān)習(xí)題的圖像展示，以幫助學(xué)生直觀、形象地理解題目.在初中階段數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，教師常常在教授幾何知識時用數(shù)形結(jié)合的方法，該方法能夠大大提升學(xué)生在解題方面的能力，增強(qiáng)學(xué)生在數(shù)學(xué)方面學(xué)習(xí)的綜合質(zhì)量.

二、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教育中的作用

(一)讓學(xué)生使用數(shù)學(xué)思維來理解抽象的數(shù)學(xué)知識，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是理解數(shù)學(xué)中的各種概念，這也是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重點(diǎn).初中的數(shù)學(xué)概念知識晦澀難懂，學(xué)生大多不愿主動接觸這類知識.學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不足，就會導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率降低，而使用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，能夠便于學(xué)生對這部分知識進(jìn)行記憶與理解.例如，在進(jìn)行數(shù)軸知識的教學(xué)過程中，可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的桿秤稱重以及溫度計的溫度讀取的相關(guān)問題來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識.雖然這些內(nèi)容看起來與數(shù)軸沒有什么關(guān)系，但是從與其相關(guān)的數(shù)量關(guān)系與空間知識上看，它們都有相同的度量起點(diǎn)以及數(shù)據(jù)的加減方向.數(shù)形結(jié)合思想也可以培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知與發(fā)展，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)思維，并將各個知識進(jìn)行聯(lián)系形成數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量.

(二)提升學(xué)生的解題能力

當(dāng)前，很多教師都喜歡在教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，根本原因在于數(shù)形結(jié)合能夠?qū)⑸部贪宓闹R點(diǎn)化難為簡，化抽象為具象，所以能很好地幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時集中注意力，帶動學(xué)生在數(shù)學(xué)方面學(xué)習(xí)的興趣和積極性，激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的空間想象能力與分析能力.在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合主要表現(xiàn)在三個方面：一是在解答函數(shù)、代數(shù)、幾何類型的習(xí)題時，使用數(shù)形結(jié)合解題手段能夠直觀地展示習(xí)題中的潛在聯(lián)系，降低解題難度；二是在解答應(yīng)用類習(xí)題時，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題手段能夠擺脫干擾項(xiàng)，增強(qiáng)學(xué)生對習(xí)題的理解；三是在解答方程式、應(yīng)用函數(shù)等習(xí)題時，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題手段能夠使解題過程更簡便，大大提升了學(xué)生的解題效率.

(三)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

在新課改背景下，素質(zhì)教育側(cè)重于借助日常教學(xué)活動加深學(xué)生對知識的掌握與理解，并引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，這一過程是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維形成的過程.斯托利亞爾說：數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是形成和發(fā)展那些具有數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的智力活動結(jié)構(gòu)，并且促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與直覺思維.教師要將數(shù)形結(jié)合思想滲透在日常教學(xué)與實(shí)踐教學(xué)中，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與直覺思維，通過數(shù)與形的結(jié)合，使學(xué)生掌握透過問題表面探究問題本質(zhì)的能力.這樣能夠顯著提升學(xué)生的解題能力，使其在解答數(shù)學(xué)問題時能夠從幾何形象進(jìn)行感知，得到某種推想之后，再進(jìn)行邏輯性的推理與驗(yàn)證.例如，在學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式時，可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式，結(jié)合公式與圖像，使學(xué)生直觀地看到平方差公式，并根據(jù)自己的直覺，使用矩形面積割補(bǔ)的方式將公式表示出來.在證明全等三角形時，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將題目中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖形，通過生動直觀的圖形為學(xué)生呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)問題，降低數(shù)學(xué)問題的難度，再輔以教師的適時指導(dǎo)，學(xué)生能夠快速找到正確的解題思路，實(shí)現(xiàn)知識與應(yīng)用的轉(zhuǎn)化.教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)知識賦予趣味性，同時能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與數(shù)學(xué)思維能力，使他們學(xué)會舉一反三，從而在解決實(shí)際問題時靈活運(yùn)用自己所學(xué)的知識，實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的根本目的.

三、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運(yùn)用

(一)有意識地滲透數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要分為兩大塊，一塊是幾何，一塊是代數(shù)，幾何重在形態(tài)，所以嚴(yán)密性較弱，代數(shù)重在數(shù)量，所以直觀性較弱.因此，教師若能用數(shù)形結(jié)合將兩者進(jìn)行融合，就能很好地將數(shù)學(xué)化難為簡，化抽象為直觀，以此推動學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的質(zhì)量提升，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的良好發(fā)展.

例如，教師可以將數(shù)形結(jié)合用在有理數(shù)方面，讓相反數(shù)與絕對值形成有機(jī)聯(lián)系，以此幫助學(xué)生輕松掌握相關(guān)知識點(diǎn).簡單來說，學(xué)生對絕對值和相反數(shù)的概念常常會混淆，絕對值代表數(shù)點(diǎn)和原點(diǎn)間的距離，相反數(shù)代表原點(diǎn)兩旁兩個點(diǎn)到原點(diǎn)距離相同的數(shù)值.為此教師可以用數(shù)軸進(jìn)行概念表述，以此幫助學(xué)生直觀地分辨出絕對值和相反數(shù).

(二)空間與圖形中的數(shù)形結(jié)合

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在給學(xué)生講授數(shù)形結(jié)合思想時，要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，了解學(xué)生掌握的知識內(nèi)容，從而開展有針對性的教學(xué)，以便學(xué)生能夠全面清楚與掌握數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)以及其在解題中的運(yùn)用.教師可以從初中數(shù)學(xué)的空間與圖形角度展開教學(xué)，為學(xué)生介紹數(shù)形結(jié)合思想.初中數(shù)學(xué)的新課程標(biāo)準(zhǔn)中刪減了大量的幾何知識，削弱了以往使用演繹推理的證明方式，也降低了初中幾何知識對于證明程序化的要求以及證明的難度.在開展課堂教學(xué)時，教師要做好充分的準(zhǔn)備，深度挖掘教材與生活中存在的素材，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)際生活中，回歸數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).例如，教師在教學(xué)中可以為學(xué)生展示以下例題：“一個圖形是由兩個正方形連接到一起組成的，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，使用剪刀剪兩刀，組成一個新的大正方形，如何進(jìn)行裁剪？”學(xué)生在剛剛接觸到題目時，腦海中沒有產(chǎn)生相應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)，就會感到無從下手，甚至有的學(xué)生會直接放棄這道題目.教師在課堂教學(xué)中可以為學(xué)生構(gòu)建這道題目的模型，將抽象的題目轉(zhuǎn)化為具體的模型，以便于學(xué)生直觀地觀察與理解.學(xué)生在觀察圖片時會發(fā)現(xiàn)，雖然圖形的形狀改變了，但是整體圖形的面積并沒有變.教師可以讓學(xué)生通過假設(shè)小正方形的邊長與面積來解題，使學(xué)生明確解決問題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)圖形中的變量以及不變量，這樣學(xué)生在日后遇到類似的問題時就會主動去尋找題目中的變量與不變量，能夠極大地提升學(xué)生的解題效率.

又如，在進(jìn)行課堂教學(xué)中，教師可以給學(xué)生設(shè)置這樣的問題：“使用一塊16 m的木方來制作一個矩形窗子，將窗子的高度設(shè)置為多少米，才能使窗戶透進(jìn)更多的陽光？”學(xué)生在生活中可能沒有接觸過這種現(xiàn)象，有的學(xué)生在審題時就會感到迷茫，不知道如何開展解題過程.教師可以為學(xué)生展示相關(guān)的圖片，讓學(xué)生將抽象的文字轉(zhuǎn)化為具體的圖形，讓學(xué)生能夠清楚地理解題目，進(jìn)而獲得解題的思路.

(三)實(shí)踐活動中引入數(shù)形結(jié)合，活化認(rèn)知與應(yīng)用

大部分初中生已經(jīng)對基礎(chǔ)圖形有了一定的了解，能夠熟練地使用量角器、直尺等工具繪制出輔助圖形.數(shù)學(xué)是一門工具性學(xué)科，與實(shí)際生活有著非常密切的關(guān)系.解決實(shí)際問題時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想提取題目中的關(guān)鍵信息，幫助學(xué)生加深對知識點(diǎn)的理解，發(fā)揮出數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性作用，為未來的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).在實(shí)踐活動中，教師使用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，不僅能大大提升學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的探究意識，還能夠拓寬學(xué)生在解題方面的思路，活化學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的認(rèn)知.

四、數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)實(shí)踐

(一)在應(yīng)用題中的實(shí)踐

如例題：“甲與乙同地同向出發(fā)，前往距自己50 km的地方，乙先出發(fā)1 h，甲每小時走16 km，乙每小時走18 km，甲在走多久之后，兩人之間能夠相距70 km？”這種類型的題目在初中數(shù)學(xué)中十分常見，學(xué)生審題時往往會把握不好數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，導(dǎo)致解題效率較低.針對這種情況，教師可以在黑板上繪制平面直角坐標(biāo)系，為學(xué)生形象地展現(xiàn)甲、乙的行進(jìn)時間以及距離，之后教師再將學(xué)生分組，讓學(xué)生根據(jù)教師繪制的模型深入分析甲、乙兩人數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.教師也可以讓學(xué)生根據(jù)自己的理解來繪制相關(guān)的模型，讓學(xué)生能夠清楚地理解題目中的數(shù)據(jù)關(guān)系.

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行相關(guān)教學(xué)時，教師必須要牢牢地掌握等價轉(zhuǎn)換以及數(shù)形互補(bǔ)的原則.教師在教學(xué)指導(dǎo)中要做到數(shù)中思形，形中有數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造正確的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)，在課堂上使用幾何模型來反映相關(guān)的數(shù)量信息.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師很難將數(shù)與形完全分離，換句話說，幾何問題可以數(shù)字化，數(shù)字問題也可以幾何化，數(shù)與形在相應(yīng)的條件下可以任意地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，彼此之間得到滲透.靈活地使用數(shù)形結(jié)合來解題可以開闊學(xué)生的解題思路，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的思維邏輯，從而提升學(xué)生對題目的分析判斷以及推理能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該積極地滲透這種教學(xué)方式，讓學(xué)生做到見形思數(shù)，見數(shù)想形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維.

(二)在有理數(shù)中的實(shí)踐

有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識中的重要組成部分，同時是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，這部分知識有著較強(qiáng)的基礎(chǔ)性，因此教師在有理數(shù)教學(xué)中可以滲透數(shù)形結(jié)合方法，如在講解有理數(shù)時，可以讓學(xué)生思考有理數(shù)的意義.很多教師都習(xí)慣使用數(shù)軸將有理數(shù)具體化地呈現(xiàn)出來，進(jìn)而將數(shù)形結(jié)合思想落實(shí)到位.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生理解有理數(shù)的意義與相關(guān)知識，使用數(shù)軸能讓學(xué)生直觀地認(rèn)識有理數(shù)，同時讓學(xué)生掌握有理數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并應(yīng)用有理數(shù)解決各種問題.

在有理數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，也可以引入一些其他知識，使學(xué)生更容易掌握新知識.例如，在求數(shù)值大小的題目中，使用常規(guī)的解題方法可能會使簡單的題目變得復(fù)雜.教師在帶領(lǐng)學(xué)生解題時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)軸上通過點(diǎn)的形式呈現(xiàn)出未定的有理數(shù)，繪制完數(shù)軸后，題目的答案就顯而易見了.在有理數(shù)知識教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想不只能夠應(yīng)用在求數(shù)值大小中，對于一些難度較大的題目，也可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想降低題目難度.例如這道題目：已知拋物線y=(x+1)(x-3a)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，求能使△ABC為等腰三角形的拋物線條件.在帶領(lǐng)學(xué)生解題時，教師可以運(yùn)用圖形轉(zhuǎn)化題目中的已知條件，將題目中的已知條件直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生.首先教師繪制出△ABC，結(jié)合題目中“與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)”條件繪制出△ABC，然后帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用相應(yīng)的知識點(diǎn)逐步推算出計算結(jié)果.在計算過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠提升解題速度，降低題目難度，同時加深學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)的掌握程度，使他們在日后再遇到這類題目時能夠熟練使用這種解題方式.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠簡化數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)知識，因此教師要意識到數(shù)形結(jié)合的重要性，積極地使用這種思想進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo)，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，充分發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用與地位.

(三)在幾何教學(xué)中的實(shí)踐

以形變數(shù)思想是初中數(shù)學(xué)要求學(xué)生掌握的基礎(chǔ)思維模式之一，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識、解決幾何問題時需要依據(jù)的重要理論，更是學(xué)生在學(xué)習(xí)更高層次數(shù)學(xué)知識時需要打好的基礎(chǔ).在初中數(shù)學(xué)的幾何教學(xué)中，教師可以結(jié)合幾何教學(xué)的特點(diǎn)使用數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形呈現(xiàn)數(shù)字關(guān)系.例如，在進(jìn)行銳角三角函數(shù)教學(xué)中，教師可結(jié)合生活中的實(shí)際案例，如應(yīng)用多媒體設(shè)備展示比薩斜塔、三角形的旗子等，引入直角三角形勾股定理的內(nèi)容，為學(xué)生解釋說明直角三角形中的三角函數(shù).在學(xué)習(xí)相似三角形、圓形的性質(zhì)時，教師也可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思考，提升數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的效率.

結(jié)束語

使用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，能夠直觀地將數(shù)學(xué)知識體現(xiàn)出來，也便于學(xué)生接受.應(yīng)用該方法可以將不同的知識相結(jié)合，在課堂上產(chǎn)生良好的氛圍，從而開闊學(xué)生的思路，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生嘗試使用不同的方式解題，實(shí)現(xiàn)個體的最優(yōu)化發(fā)展.將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，可培養(yǎng)學(xué)生形成廣闊的思維，對學(xué)生能力的提升有著十分重要的影響.