2021年福建中考數(shù)學(xué)壓軸題的解法探究

束浩東

【摘要】2021年福建省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷的壓軸題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)以及三角形的面積等知識(shí)，尤其是最后一問(wèn)，蘊(yùn)含豐富的高中數(shù)學(xué)思想，對(duì)思維能力以及運(yùn)算能力要求較高，針對(duì)該問(wèn)的求解在這里和大家共同作一番探討.

【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學(xué)；壓軸題；二次函數(shù)；勾股定理

原題再現(xiàn)

已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)P（0，1），求a+b的最小值；

（2）已知點(diǎn)P1（-2，1），P2（2，-1），P3（2，1）中恰好有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線l：y=kx+1與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線y=-1上，且∠MAN=90°，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點(diǎn)B，C.

求證：△MAB與△MBC的面積相等.

分析第一題根據(jù)題干拋物線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，需要我們發(fā)掘出隱藏條件判別式為0，利用Δ=b2-4ac=0，即b2=4ac；又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，1），所以c=1；從而b2=4a，a=b24，即

a+b=b24+b=14（b+2）2-1.

因此當(dāng)b=-2時(shí)，a+b的最小值為-1.

第二題第一小問(wèn)需要我們從二次函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識(shí)出發(fā)，準(zhǔn)確理解圖象上點(diǎn)的特征，最終明確“拋物線上的點(diǎn)只能位于x軸的同側(cè)”.

由于拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，因此拋物線上的點(diǎn)全部位于x軸的同一側(cè)，所以只能是P1（-2，1），P3（2，1）兩點(diǎn)在拋物線的圖象上，代入關(guān)系式可以求得y=14x2.

前兩問(wèn)不作過(guò)多探討，這里我們主要研究最后一問(wèn).

該問(wèn)的常規(guī)思路是把M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，利用已知條件作相應(yīng)轉(zhuǎn)化來(lái)求解點(diǎn)A的橫坐標(biāo).根據(jù)題設(shè)條件我們可以作出相應(yīng)的圖象，如圖1所示.

圖1

不妨設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則有A（m，-1），B（m，14m2），C（m，km+1）.我們的目標(biāo)是證明S△MAB=S△MBC，由圖1我們可以直觀看出△MAB與△MBC的底邊AB，BC位于同一條直線上，因此兩三角形底邊上的高相等，所以我們只需證明底邊AB=BC即可.又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以它們的橫坐標(biāo)相等，因而線段AB的長(zhǎng)度等于B，A兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，即AB=14m2-（-1）=14m2+1；同理BC=km+1-14m2.要證明線段AB，BC相等，很顯然我們需要在k（可以視為已知量）和未知量m之間尋找聯(lián)系.

根據(jù)上述分析，我們的求解目標(biāo)進(jìn)一步明確，接下來(lái)需要解決的就是通過(guò)一系列運(yùn)算將引入的未知量m用k來(lái)表示.

解由題意可設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則y1=kx1+1，y2=kx2+1，

聯(lián)立方程組y=kx+1，y=14x2，得

14x2-kx-1=0，（*）

因?yàn)辄c(diǎn)M，N是直線l：y=kx+1與拋物線y=14x2的交點(diǎn)，

所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程（*）的兩根，

利用韋達(dá)定理我們可以得到

x1+x2=4k，x1x2=-4.

方法1構(gòu)造“K”字型，利用線段比例解題

分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線y=-1的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，如圖2所示.

因?yàn)椤螹AN=90°，

所以∠MAD+∠NAE=90°，

所以∠MAD=∠ANE，

所以△MAD∽△ANE，

故MDAE=ADNE.

圖2

根據(jù)前面所設(shè)各點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度：

MD=kx1+2，

AE=x2-m，

AD=m-x1，

NE=kx2+2，

即kx1+2x2-m=m-x1kx2+2，

所以（kx1+2）（kx2+2）

=（x2-m）（m-x1）.（**）

化簡(jiǎn)得（m-2k）2=0，

所以m=2k.

因此B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

yB=14·（2k）2=k2，yC=2k2+1，

所以AB=yB-yA=k2-（-1）=k2+1，

BC=yC-yB=2k2+1-k2=k2+1，

所以AB=BC，

即S△MAB=S△MBC.

另解由方法1可知∠MAD=∠ANE，

所以在Rt△MDA和Rt△AEN中有

tan∠MAD=tan∠ANE，

即MDAD=AENE.

后續(xù)過(guò)程同方法1，不再贅述.

注因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=-1上，且MA⊥MN，所以我們可以分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線y=-1的垂線，構(gòu)造出為我們熟悉的“K”字模型（“一線三直角”），進(jìn)一步利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比例相等來(lái)構(gòu)造方程，將m用直線斜率k進(jìn)行表示.參考解答中通過(guò)求解方程（*）得到x1=2k-2k2+1，x2=2k+2k2+1，這一做法并不值得提倡，況且求解帶有參數(shù)的一元二次方程對(duì)于大部分同學(xué)而言可能有一定的困難.面對(duì)一元二次方程問(wèn)題時(shí)我們更應(yīng)注重韋達(dá)定理的妙用，將x1+x2，x1x2作為整體帶入（**）中化簡(jiǎn)，可以大大降低運(yùn)算難度.

方法2利用勾股定理搭橋

分析由于本題中涉及的線段長(zhǎng)度均需借助點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，為了簡(jiǎn)化后續(xù)解題步驟，在這里我們先向大家介紹一個(gè)預(yù)備知識(shí)——“兩點(diǎn)間的距離公式”.

定義：對(duì)于平面中任意兩點(diǎn)A，B，它們的坐標(biāo)分別記為（a，b）和（c，d），則兩點(diǎn)之間的距離

AB=（c-a）2+（d-b）2.

圖3

證明如圖3所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作x軸的垂線AC，BD.過(guò)點(diǎn)A作線段BD的垂線AE.

則AE=c-a，

BE=d-b.

由勾股定理可知

AB2=AE2+BE2

=（c-a）2+（d-b）2，

所以AB=（c-a）2+（d-b）2.

說(shuō)明：兩點(diǎn)間的距離公式闡明了兩點(diǎn)之間的距離與它們坐標(biāo)的關(guān)系，其證明過(guò)程也就是套用勾股定理，部分版本的初中數(shù)學(xué)教材在“勾股定理”章節(jié)將它作為一個(gè)拓展內(nèi)容進(jìn)行介紹.

回歸到原題，利用兩點(diǎn)間的距離公式我們可以得到

MA2=（m-x1）2+（-2-kx1）2

=（k2+1）x21+（4k-2m）x1+m2+4，

NA2=（m-x2）2+（-2-kx2）2

=（k2+1）x22+（4k-2m）x2+m2+4，

而MN2=［（kx2+1）-（kx1+1）］2+（x2-x1）2

=（k2+1）（x2-x1）2，

又因?yàn)閤1+x2=4k，x1x2=-4，

結(jié)合完全平方公式可得

（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2

=（4k）2-4×（-4）

=16（k2+1），

所以MN2=（k2+1）（x2-x1）2=16（k2+1）2，

根據(jù)勾股定理有MA2+NA2=MN2，

化簡(jiǎn)可得8k2+2m2-8km=2（m-2k）2=0，

解得m=2k.

后續(xù)過(guò)程同方法1.

注根據(jù)題設(shè)條件∠MAN=90°可知△MAN為直角三角形，因而回歸到勾股定理是我們的一個(gè)自然想法.本題的難點(diǎn)在于引入較多未知量，許多同學(xué)可能因此產(chǎn)生畏難心理而淺嘗輒止，特別是對(duì)拋物線弦長(zhǎng)MN的求解時(shí)有的同學(xué)或許感到一籌莫展，這時(shí)如果我們能夠注意整體思想的運(yùn)用以及借助完全平方公式作相應(yīng)轉(zhuǎn)化，那將會(huì)在山重水復(fù)疑無(wú)路之際，收獲柳暗花明又一村的驚喜！

方法3利用輔助圓

解

由于∠MAN=90°，

所以點(diǎn)A在以MN為直徑的圓周上，如圖4所示.

圖4

所以線段MN的中點(diǎn)即為圓心（設(shè)為點(diǎn)P），

則P點(diǎn)坐標(biāo)為

x1+x22，kx1+1+kx2+12，

因?yàn)閤1+x2=4k，

所以P（2k，2k2+1）.

根據(jù)圓的性質(zhì)可知

PA=PM=PN=12MN，

而MN2=（k2+1）（x2-x1）2

=16（k2+1）2，

PA2=（2k-m）2+（2k+2）2，

由PA2=12MN2，得

（2k-m）2+（2k+2）2=4（k2+1）2，

化簡(jiǎn)得（m-2k）2=0，

所以m=2k.

后續(xù)過(guò)程同方法1.

注當(dāng)試題中出現(xiàn)直角三角形時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一結(jié)論，進(jìn)而以斜邊為直徑構(gòu)造三角形的外接圓.根據(jù)x1，x2，k之間的關(guān)系我們可以表示出圓心的坐標(biāo)，最后利用圓的性質(zhì)建立等量關(guān)系來(lái)消除未知量m.可以發(fā)現(xiàn)，方法2無(wú)論是在求解思路還是運(yùn)算量上均要比前兩種來(lái)得簡(jiǎn)單，這也是輔助圓的魅力所在.

練習(xí)

1.已知直線l：y=kx+1經(jīng)過(guò)第一、二、三象限且與拋物線y=14x2交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)），線段MN的長(zhǎng)度為8.

（1）求直線l的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)A在直線y=-1上且滿足∠MAN=90°，直線l與y軸的交點(diǎn)為F.判斷線段MN與AF之間滿足什么關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖5

2.如圖5，△MNE的頂點(diǎn)M，N在拋物線y=x2上，點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線y=x2均有唯一公共點(diǎn)，ME，NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2，設(shè)M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求m與n的數(shù)量關(guān)系.

答案

（1）y=x+1；

（2）MN⊥AF且MN=AF2.

m-n=2.