以“前數(shù)學(xué)理解”聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的核心問題

林超

［摘 要］數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種探索性的學(xué)習(xí)方式，需要以核心問題的確定，在問題的生成處引發(fā)與之存在邏輯聯(lián)系的支架問題。借助學(xué)生的“前數(shù)學(xué)理解”可有效聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的核心問題，以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生真正意義上的思維活動(dòng)和探究活動(dòng)的融合。

［關(guān)鍵詞］前數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；核心問題

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）26-0035-03

問題是數(shù)學(xué)的心臟，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是解決問題的重要手段。因?yàn)榉椒ㄈ笔У仍颍瑪?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中各要素之間的聯(lián)結(jié)常被割裂，充分挖掘?qū)W生的“前數(shù)學(xué)理解”，使之與推動(dòng)實(shí)驗(yàn)開展的核心問題聯(lián)結(jié)，可以更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探究。

“前數(shù)學(xué)理解”融合了學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)、已有認(rèn)知等各種生長資源，是一個(gè)由已知到未知的聯(lián)結(jié)點(diǎn)；“前數(shù)學(xué)理解”融合了學(xué)生的原生思考、數(shù)學(xué)直覺等各種資源，是一條從片面、感性走向豐盈、深刻，促進(jìn)思維自然生長的路徑。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，知識的呈現(xiàn)常需借助問題的導(dǎo)引，學(xué)生的操作也常伴有問題的介入與解決，因此可以“前數(shù)學(xué)理解”聯(lián)結(jié)核心問題設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)鏈（如圖1），借此突出學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中思維的生長力量，實(shí)現(xiàn)真正意義上的思維活動(dòng)與探究活動(dòng)的深度融合。

一、對接“自然概念”與“數(shù)學(xué)直觀”，使核心問題由獨(dú)立變?yōu)檫f進(jìn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作對象多以半抽象的實(shí)物和抽象的模型為主，若加上學(xué)生已在日常生活中形成的“自然概念”，可幫助學(xué)生清除數(shù)學(xué)化理解的障礙，使其在“動(dòng)手做”中揭開被掩蓋的思維軌跡。學(xué)生的“自然概念”形成于生活并整合了諸多“前數(shù)學(xué)理解”的資源，它們是思維系統(tǒng)中的獨(dú)立表征，需要教師設(shè)計(jì)邏輯遞進(jìn)的核心問題，形成內(nèi)在的前沿后續(xù)的邏輯線索，從而引導(dǎo)學(xué)生高效完成實(shí)驗(yàn)。

以蘇教版教材六年級下冊“動(dòng)手做——簡易杠桿”為例，教材雖然只出示了百字的題干和兩個(gè)問題（如圖2），但其呈現(xiàn)的知識點(diǎn)前后依存的關(guān)系非常明顯，可細(xì)分為介紹簡易杠桿的制作方法，探究在特定條件下杠桿保持平衡的規(guī)律，探究在珠數(shù)不等、距離數(shù)不等的條件下保持杠杠平衡的規(guī)律，探究“當(dāng)左邊的距離數(shù)和珠數(shù)保持不變時(shí)，右邊的距離數(shù)和珠數(shù)成反比例關(guān)系”的規(guī)律四個(gè)方面。因此，原來的兩個(gè)問題只能視作兩個(gè)特例來研究，須在題干的基礎(chǔ)上擴(kuò)大問題的研究范圍。

因?yàn)閷W(xué)生已具備與“杠桿”和“反比例”相關(guān)的知識，但為了細(xì)化操作步驟并降低操作難度，教師課前已將制作杠桿的相關(guān)知識做了介紹，所以剛一出示杠桿的現(xiàn)實(shí)原型，學(xué)生便很快明白了本課的核心為理解杠桿的平衡及發(fā)現(xiàn)其中的“反比例”特征。這個(gè)環(huán)節(jié)體現(xiàn)了學(xué)生基于“自然概念”自覺調(diào)用頭腦中潛在的“前數(shù)學(xué)理解”，產(chǎn)出對已知的個(gè)性化理解。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)須具有邏輯性的結(jié)構(gòu)鏈，教師可圍繞核心問題設(shè)計(jì)支架問題，以層層遞進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生對核心問題進(jìn)行思考?；诖?，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)富有邏輯性的問題，以引導(dǎo)學(xué)生開展杠桿平衡實(shí)驗(yàn)。問題1：杠桿左右兩邊質(zhì)量相等，一定會(huì)平衡嗎？問題2：當(dāng)在杠桿左側(cè)距離為4處掛3個(gè)鉤碼時(shí)，右側(cè)是不是一定要在同樣的距離處掛同樣質(zhì)量的鉤碼？在表中記錄數(shù)據(jù)（如表1）。問題3：“左邊質(zhì)量×距離=右邊質(zhì)量×距離，杠桿就能平衡”這個(gè)猜想正確嗎？先在表中記錄數(shù)據(jù)（如表2），再進(jìn)行判斷。

本次實(shí)驗(yàn)以探尋杠桿的平衡與哪些因素有關(guān)作為核心問題，實(shí)驗(yàn)前學(xué)生依據(jù)“前數(shù)學(xué)理解”已經(jīng)初步了解所要研究的內(nèi)容，但他們的認(rèn)知只停留在“平衡”的表象，而沒有對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)細(xì)加琢磨。對此，筆者以組織學(xué)生對核心問題進(jìn)行交流為契機(jī)，設(shè)計(jì)有效的支架問題促使學(xué)生自主運(yùn)用數(shù)學(xué)知識多元表征自己的研究結(jié)果。

二、溝通“圖感表達(dá)”與“數(shù)學(xué)思辨”，使核心問題由發(fā)散變?yōu)槭諗?/p>

徐利治先生指出，數(shù)學(xué)思維分為收斂思維和發(fā)散思維。收斂思維注重一絲不茍的邏輯分析的驗(yàn)證與論證。發(fā)散思維強(qiáng)調(diào)海闊天空、自由創(chuàng)造，由此及彼、浮想聯(lián)翩。數(shù)學(xué)創(chuàng)造開始于不嚴(yán)格的發(fā)散思維，繼之以嚴(yán)格的收斂思維，兩者相輔相成。為此，教師需保持一定的敏感度，在呈現(xiàn)出個(gè)性化生長態(tài)勢的課堂中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的“前數(shù)學(xué)理解”，并引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其中隱含的數(shù)學(xué)思想。

例如蘇教版教材六年級下冊“圓柱的側(cè)面積和表面積”的例題以求“商標(biāo)紙的面積大約是多少平方厘米？”為問題導(dǎo)向，在例題圖的暗示下，學(xué)生能認(rèn)識到：若按圖示的做法沿著商標(biāo)紙的接縫剪開，那么得到一個(gè)長方形，其中長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高，再根據(jù)長方形的面積公式就可順利推導(dǎo)出圓柱的側(cè)面積公式。而這一操作過程體現(xiàn)的就是本課的核心問題：圓柱側(cè)面積計(jì)算方法的推導(dǎo)。循著這個(gè)思路操作的實(shí)驗(yàn)會(huì)很順暢，但這樣一個(gè)過于順應(yīng)原生思維的實(shí)驗(yàn)，并沒有捕捉到學(xué)生的原生頓悟，也沒有暴露知識的實(shí)際來源，應(yīng)用價(jià)值并不大。

鑒于此，筆者設(shè)計(jì)了支架問題：（1）對于圓柱側(cè)面積公式的推導(dǎo)，還有沒有其他的方法？（2）對于你思考出的方法，試著畫一畫、剪一剪。圓柱側(cè)面積公式能不能推導(dǎo)出來？不出所料，問題一提出，立刻得到了學(xué)生肯定的答復(fù)（如圖3、圖4）。

以上問題的設(shè)計(jì)，根植于學(xué)生的“前數(shù)學(xué)理解”。學(xué)生依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)迅速對問題（1）做出了合理猜測，并在核心問題的引領(lǐng)下，對問題（2）進(jìn)行相應(yīng)的驗(yàn)證和評價(jià)。驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生分析了圖形的本質(zhì)特征，深刻把握了圖形的基本屬性，頭腦中形成了動(dòng)靜結(jié)合的圖感。

在學(xué)生對圓柱的側(cè)面積公式有了思辨之后，在圓柱的底面積的教學(xué)中，筆者并不拘泥于教材中的原題，而是出示了一道常見題（如圖5）。

乍一看，這道題數(shù)據(jù)單一，但學(xué)生對本課的核心問題已有體悟，對底面周長和高也有了充分的認(rèn)識，于是筆者引導(dǎo)他們將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槲淖?，再轉(zhuǎn)化為符號，在學(xué)生認(rèn)知的可持續(xù)生長中融合思辨與圖感，促進(jìn)學(xué)生將“前數(shù)學(xué)理解”提升為數(shù)學(xué)思想。

圖感可以理解為對圖形的直觀感覺和敏銳程度。而思辨本質(zhì)上是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，從數(shù)學(xué)角度觀察、辨析和解決各種問題的思維能力。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中借助圖感和思辨，且以“前數(shù)學(xué)理解”為指引，不僅能探索和發(fā)現(xiàn)核心問題的外在形式，更能洞察核心問題的內(nèi)在本質(zhì)，從而獲得對其一般的、普遍的理解。

三、體驗(yàn)“問題序列”與“數(shù)學(xué)操作”，使核心問題由抽象變?yōu)椤翱筛小?/p>

鄭毓信教授指出：我們應(yīng)當(dāng)努力做到“淺入深出”，特別是，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)摹皢栴}鏈”將學(xué)生的思維逐步引向深入，包括由知識的層面逐步深入思維的層面。對此，在聯(lián)結(jié)“前數(shù)學(xué)理解”與核心問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)明確學(xué)習(xí)序列，使知識形成的邏輯序與學(xué)生的認(rèn)知序相吻合，這個(gè)過程若以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體，則能引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中拉長思維的時(shí)間，使抽象的知識變得“可感”，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維能力。

以蘇教版教材五年級上冊“動(dòng)手做——圖形的分割”為例，其核心問題是探索“通過某些圖形中心任意畫一條直線一定能把圖形分成完全一樣的兩部分”的規(guī)律。出示題干（如圖6）后，需引領(lǐng)學(xué)生觀察圖形并分析數(shù)據(jù)，形成有根據(jù)的猜想。此時(shí)通過觀察所獲得的第一手材料是理性分析賴以進(jìn)行的基礎(chǔ)與依據(jù)，隨之便自然形成了“觀察→猜想→思辨→驗(yàn)證”的實(shí)驗(yàn)流程。

筆者將教學(xué)分為6個(gè)環(huán)節(jié)：

1.呈現(xiàn)教材中的兩個(gè)平行四邊形，提出問題：過它們的中心畫一條直線，這條直線會(huì)將它們分成兩個(gè)什么圖形？這兩個(gè)圖形會(huì)有怎樣的關(guān)系？

2.學(xué)生猜想，接著找平行四邊形的中心，并過中心任意畫一條直線，沿著這條直線將平行四邊形剪成兩個(gè)圖形，比較這兩個(gè)圖形是否完全相同，驗(yàn)證猜想。

3.提出問題：過長方形或正方形的中心任意畫一條直線，是不是也能將長方形或正方形分成兩個(gè)完全相同的圖形？如果可以的話，正六邊形是否也存在這樣的規(guī)律？

4.學(xué)生猜想，并嘗試驗(yàn)證。

5.提出問題：過正三邊形、正五邊形、正七邊形等的中心任意畫一條直線，是否也存在這樣的規(guī)律？

6.學(xué)生猜想，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證并拓展。

課后反思時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在“前數(shù)學(xué)理解”的基礎(chǔ)上，根據(jù)平行四邊形的畫法提示，已經(jīng)不需要實(shí)驗(yàn)就能驗(yàn)證猜想并補(bǔ)充想法，這會(huì)削弱學(xué)生的操作能力，阻礙學(xué)生創(chuàng)造能力的發(fā)展。因此，筆者根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理和認(rèn)知規(guī)律，將外在的動(dòng)手操作和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思考做了調(diào)整，設(shè)計(jì)了新的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)單（如圖7）。

對于題1，學(xué)生發(fā)現(xiàn)能把正方形分成面積相等的兩部分的直線都經(jīng)過正方形的中心點(diǎn)，而且這樣的直線有無數(shù)條。對于題2，學(xué)生發(fā)現(xiàn)經(jīng)過長方形、平行四邊形、正六邊形中心點(diǎn)的直線，也能將它們分成面積相等的兩部分，而且這樣的直線也有無數(shù)條。題3則與前兩題不同，學(xué)生發(fā)現(xiàn)經(jīng)過正三角形的中心點(diǎn)，只有3條直線能把正三角形分成面積相等的兩部分，而經(jīng)過正五邊形的中心點(diǎn)，只有5條直線能把正五邊形分成面積相等的兩部分。題4的設(shè)計(jì)更加開放，已不是簡單地畫直線分割圖形，而是出現(xiàn)了層次性的序列問題，學(xué)生必須將“前數(shù)學(xué)理解”上升到理性思考的高度，從而激活新知的生長，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自然生長。

綜上所述，以“前數(shù)學(xué)理解”聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的核心問題，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更加有彈性，為學(xué)生的學(xué)和教師的教留出了空間。教師應(yīng)善于挖掘?qū)W生的“前數(shù)學(xué)理解”，圍繞核心問題設(shè)計(jì)支架問題鏈。運(yùn)用這樣的教學(xué)方式，課堂中會(huì)不斷生成新的問題，這也意味著研究之路會(huì)一直延伸下去。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 鄭毓信.小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)180例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

[2] 潘小福，陳美華.小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2018.

[3] 徐利治，王前.數(shù)學(xué)與思維：珍藏版[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2016.

[4] 朱禮娜.挖掘?qū)W生的前數(shù)學(xué)理解，讓數(shù)學(xué)課堂自然生長[J].江蘇教育，2015（37）：35-37.

（責(zé)編 黃春香）