從教學(xué)架構(gòu)與瓶頸突破談數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

張芳

［摘 要］數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。架構(gòu)有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)體系，突破數(shù)學(xué)思想方法傳統(tǒng)教學(xué)的瓶頸，是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的應(yīng)有之義。教師要抓住數(shù)學(xué)思想的序列性、結(jié)構(gòu)性和本源性，尋覓數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)蹤跡，打通數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)關(guān)節(jié)，追尋數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原點。

［關(guān)鍵詞］小學(xué)數(shù)學(xué)；思想方法；教學(xué)架構(gòu)

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）26-0096-03

數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性不言而喻。有人說數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它猶如一只“看不見的手”，始終牽引著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。應(yīng)當(dāng)說這樣的評價還是非常中肯的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視思想方法的教學(xué)，尤其是在課程改革之后，在三維目標(biāo)當(dāng)中明確了“過程與方法”這一目標(biāo)，這里所說的方法對數(shù)學(xué)學(xué)科而言就是數(shù)學(xué)思想方法。在課程改革的推進中，核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)又代表著數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方向。在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（此處借鑒其他學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)來理解）當(dāng)中，有多個組成要素，如數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模中都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。因此，當(dāng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的價值，要在具體的教學(xué)過程中，讓學(xué)生對這些數(shù)學(xué)思想方法有充分的體驗。只有有了充分的體驗，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是完整的，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)才能夠有效達成。

從實際教學(xué)來看，盡管數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)歷來所重視的，但是在實際教學(xué)中又存在“兩張皮”的現(xiàn)象：一方面，教師都認識到數(shù)學(xué)思想方法是重要的，在教學(xué)研討交流以及論文當(dāng)中也都強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的重要性；另一方面，部分教師在實際教學(xué)時總認為思想方法是“虛”的，他們更重視“實”的數(shù)學(xué)知識教學(xué)，從而輕視數(shù)學(xué)思想方法的滲透、啟迪。教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法似乎缺乏一個有力抓手，因此，應(yīng)當(dāng)處于“核心地位”的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)卻始終處于教學(xué)的“邊緣地帶”。如何有效地架構(gòu)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)體系，突破數(shù)學(xué)思想方法傳統(tǒng)教學(xué)的瓶頸，是教師教學(xué)中要研究的一個重要課題。

研究這個課題，離不開對教學(xué)架構(gòu)的理解，尤其是在理解的過程中，對數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)所面臨的困境的判斷。只有明確了困境所在，才能發(fā)現(xiàn)教學(xué)的瓶頸，也才能尋找到有效的突破途徑。

一、序列性：覓得數(shù)學(xué)思想方法的蹤影

序列性是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)思路，如果說傳統(tǒng)的教學(xué)只側(cè)重于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的體驗的話，那序列性的教學(xué)思路要求的是，學(xué)生既對數(shù)學(xué)思想方法進行體驗，同時也對這些數(shù)學(xué)思想方法進行比較。相比較而言，這一教學(xué)思路更能夠深化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認知，更能夠讓學(xué)生在比較的過程中認識到數(shù)學(xué)思想方法的運用情境與技巧等。根據(jù)序列性的教學(xué)思路，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，首先要求教師深度解讀教材，從中梳理、發(fā)掘出序列性的數(shù)學(xué)思想方法。如此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)就能前有鋪墊、滲透，后有鞏固、拓展。一方面，教師應(yīng)當(dāng)多層次審視，讓數(shù)學(xué)思想方法清晰地展現(xiàn)；另一方面，數(shù)學(xué)思想方法的滲透、鋪墊、教學(xué)不宜采用“直入式”“告訴式”等教學(xué)方式，而應(yīng)加強引導(dǎo)，加強啟迪，從而真真正正讓數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)落地生根。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要循序漸進地發(fā)掘數(shù)學(xué)思想方法可以分成板塊來進行研究，比如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域有哪些數(shù)學(xué)思想方法，“圖形與幾何”領(lǐng)域有哪些數(shù)學(xué)思想方法，“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域有哪些數(shù)學(xué)思想方法，等等。不僅如此，教師還要深度研究同樣的數(shù)學(xué)思想方法在不同的學(xué)段、不同的年級、不同的知識領(lǐng)域有著怎樣的應(yīng)用。以“極限思想”的序列化教學(xué)為例，過去，教師往往認為小學(xué)低年級學(xué)段沒有知識點可以滲透極限思想，不像在小學(xué)高年級學(xué)段學(xué)習(xí)“圓的周長”“圓的面積”等相關(guān)知識時會有“化曲為直”“化圓為方”等極限思想。其實不然，極限思想在小學(xué)階段的教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一以貫之的，應(yīng)當(dāng)是富有序列性的。比如在小學(xué)低年級學(xué)段，學(xué)生學(xué)習(xí)自然數(shù)、整數(shù)等，教師就可以利用數(shù)軸讓學(xué)生不但認識數(shù)本身，而且認識數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生在尋找最大的數(shù)的過程中，通過數(shù)軸的無限延伸，能感悟到極限思想。再比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)、分數(shù)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將整數(shù)“1”平均分成10份、100份、1000份等，在這個過程中，學(xué)生能感受、體驗到極限思想。尤其是在教學(xué)無限循環(huán)小數(shù)時，教師更是可以讓學(xué)生感受、體驗無限逼近的數(shù)學(xué)思想方法。

序列性，不僅僅要求教師將數(shù)學(xué)思想方法融入自己的日常教學(xué)中，更要求教師對每一個數(shù)學(xué)知識點用恰當(dāng)?shù)姆绞?、?chuàng)造合適的機會，去滲透、提煉、提升對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。由于數(shù)學(xué)思想方法在教材中是隱蔽的，這就要求教師相機、有序，以及分層次、分階段地滲透數(shù)學(xué)思想方法，并適當(dāng)?shù)剡M行點撥、提升。如此，學(xué)生方能覓得數(shù)學(xué)思想方法的蹤影。

二、結(jié)構(gòu)性：打通數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)節(jié)

和數(shù)學(xué)知識一樣，數(shù)學(xué)思想方法也是具有結(jié)構(gòu)性的，也就是說，不同的數(shù)學(xué)思想方法之間是彼此相關(guān)聯(lián)的。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要打通數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)構(gòu)關(guān)節(jié)，讓數(shù)學(xué)思想方法集約成一個系統(tǒng)的整體。教學(xué)中，教師要尋求不同的數(shù)學(xué)知識、規(guī)律之中的相同思想訴求。比如轉(zhuǎn)化思想是一種普適性的數(shù)學(xué)思想，往往和數(shù)形結(jié)合思想、假設(shè)思想等數(shù)學(xué)思想方法交織在一起。同樣，對于某一個知識點，往往會涉及許多的數(shù)學(xué)思想方法。顯然，數(shù)學(xué)思想方法所表現(xiàn)出來的結(jié)構(gòu)性，意味著在具體的教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是孤立的，應(yīng)當(dāng)是系統(tǒng)的、關(guān)聯(lián)的、有結(jié)構(gòu)的。當(dāng)多種數(shù)學(xué)思想方法同時出現(xiàn)在一個學(xué)習(xí)情境中時，教師要分清楚主次，用核心的數(shù)學(xué)思想方法帶動相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)思想方法，這樣學(xué)生在這一學(xué)習(xí)情境中就能夠體驗到多種數(shù)學(xué)思想方法的運用，從而收獲整體性的理解。

比如教學(xué)北師大版教材四年級下冊的“平均數(shù)”，不僅要讓學(xué)生理解統(tǒng)計量的意義，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會求平均數(shù)。一種方法是引導(dǎo)學(xué)生去“勻”，即“移多補少”；另一種方法是讓學(xué)生“先求和，再平均分”。在這個過程中，教師可以滲透多樣化的數(shù)學(xué)思想方法，如估算、估測等思想方法。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生畫出條形圖，將數(shù)與形結(jié)合起來。教學(xué)中，教師甚至可以改變某組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)據(jù)，讓學(xué)生再次計算平均數(shù)，從而讓學(xué)生感受、體驗到“平均數(shù)作為反映一組數(shù)據(jù)整體水平的統(tǒng)計量，受到一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)的影響”。這樣的一種估算、估測思想，這樣的一種數(shù)形結(jié)合思想，這樣的一種動態(tài)關(guān)聯(lián)的思想，這樣的一種歸納、抽象、建模的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)習(xí)平均數(shù)這樣的統(tǒng)計量時，整體體驗到的。學(xué)生可以借用不同的數(shù)學(xué)思想方法相互印證，如用“估算法”等進行驗證，再用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法進行驗證等。

這樣的一個教學(xué)過程，數(shù)學(xué)思想方法主要體現(xiàn)在科學(xué)的教學(xué)結(jié)構(gòu)上。從教學(xué)設(shè)計來看，教師先引導(dǎo)學(xué)生理解統(tǒng)計量的意義，然后引導(dǎo)學(xué)生掌握求平均數(shù)的方法，這實際上是一個理論與實踐相結(jié)合的教學(xué)過程，良好的教學(xué)結(jié)構(gòu)，會讓學(xué)生知其然且知其所以然。與此同時，這個教學(xué)過程中所滲透的估算、估測及數(shù)形結(jié)合等思想方法，可以實現(xiàn)在良好的教學(xué)結(jié)構(gòu)當(dāng)中向?qū)W生進行有效的滲透。這樣教學(xué)，學(xué)生所理解到的數(shù)學(xué)思想方法就不再是抽象的、由文字描述的思想方法，而是在體驗過程中領(lǐng)悟、在領(lǐng)悟之后能夠反哺運用的思想方法。實際上，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法往往不是獨立的，而是相互交織在一起的。作為教師，就要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中找到數(shù)學(xué)思想方法之間的關(guān)聯(lián)，讓數(shù)學(xué)思想方法能夠有效地滲透在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，而且能夠得到靈活、靈動、多元地運用。教師要從整體著眼、從關(guān)聯(lián)入手、從思維發(fā)力，進而助推、延伸學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。若能引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)從“平面鋪陳”向“立體建構(gòu)”“立體運用”轉(zhuǎn)變，就能有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、本源性：追尋數(shù)學(xué)思想方法的原點

思想與觀念是相通的，屬于抽象、頂層的觀念。人們常說，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)之“根”。事實上，每一種數(shù)學(xué)思想方法都有其邏輯起點，也都有其思維起點。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生接觸、感受、體驗數(shù)學(xué)思想，還要引導(dǎo)學(xué)生追尋數(shù)學(xué)思想的本源，讓學(xué)生揭開數(shù)學(xué)思想方法的神秘面紗，認識到數(shù)學(xué)思想方法的生長點。有了這樣的思路，那么學(xué)生在感受數(shù)學(xué)思想方法時，就能夠知其然且知其所以然了。這對小學(xué)生而言是非常重要的，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始階段就能夠?qū)?shù)學(xué)思想方法形成比較深刻的理解，對他們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，有著非常重要的意義?；氐狡瘘c，回到原點，追溯數(shù)學(xué)知識的本源，就能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

教育家弗賴登塔爾曾說：“將數(shù)學(xué)作為一個現(xiàn)成的產(chǎn)品來教，只是一種模仿的數(shù)學(xué)。而將之作為一種‘再創(chuàng)造’的過程來教，就是一種發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)?！备ベ嚨撬栠€曾說：“泄露一個可以由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的秘密，那是壞的教學(xué)方法，甚至是一種罪惡?！笨梢?，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也不應(yīng)是說教式的，而應(yīng)由教師進行啟迪，讓學(xué)生自主建構(gòu)、感悟。教師要將數(shù)學(xué)思想方法作為一種“本源的方法”“原初的方法”來進行教學(xué)。比如教學(xué)北師大版教材六年級上冊“圓的認識”時，筆者首先組織了一個小組活動，讓學(xué)生分成男女兩組進行畫圓比賽，給男生組提供的工具是橡皮筋，給女生組提供的工具是繩子?；顒又校P者引導(dǎo)學(xué)生感悟“圓就是到定點的距離等于定長的所有點的集合”，感受“圓，一中同長”的哲理。教學(xué)中，筆者還從正四邊形、正八邊形等正多邊形入手，利用多媒體動態(tài)演示正多邊形逐漸轉(zhuǎn)化為圓的過程。通過這樣的演示，學(xué)生深刻感受、體驗到“圓出于方，方出于矩”的極限思想。教學(xué)中，教師不必“和盤托出”數(shù)學(xué)思想方法，而是引導(dǎo)學(xué)生在觀察活動、操作活動中慢慢感悟、品味、發(fā)現(xiàn)。正如史寧中教授所指出的：“如果將數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)剝離開來，數(shù)學(xué)思想方法就是空洞的、抽象的，是沒有價值的。只有將數(shù)學(xué)思想方法與具體的數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，與具體的數(shù)學(xué)知識背景相結(jié)合，用數(shù)學(xué)知識來分析和解決問題，數(shù)學(xué)思想才能發(fā)揮其存在價值?！?/p>

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)當(dāng)“隱藏”起來，采用“隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲”的教學(xué)方式。在教學(xué)中追尋、追溯數(shù)學(xué)思想方法的本源，就是要加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透，彌合數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的斷層，讓數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)能切入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”。這是一個非常重要的教學(xué)思路，盡管數(shù)學(xué)思想方法的作用非常關(guān)鍵，但是這并不意味著數(shù)學(xué)思想方法就應(yīng)當(dāng)成為顯性的教學(xué)內(nèi)容，為了讓數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，用數(shù)學(xué)思想方法來驅(qū)動知識的發(fā)生是必要的，這種必要性并不能否定數(shù)學(xué)知識教學(xué)的顯性特征，也不能讓數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)變得標(biāo)簽化。讓學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的過程中體驗數(shù)學(xué)思想方法的運用，才是科學(xué)合理的教學(xué)思路。

需要再次強調(diào)的是，數(shù)學(xué)的思想方法是有“根”的。作為教師，就是要挖掘數(shù)學(xué)思想方法的根，包括源于數(shù)學(xué)的生長之根、源于學(xué)生生活的經(jīng)驗之根等。只有通過追尋、追溯數(shù)學(xué)思想方法之根，才能讓數(shù)學(xué)思想方法以更加鮮活的姿態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生。

總而言之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，探尋數(shù)學(xué)思想方法的有序性、結(jié)構(gòu)性和本源性，能讓學(xué)生全面而深刻地感悟數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵、意義和價值?；氐綌?shù)學(xué)思想方法來進行數(shù)學(xué)教學(xué)，能改變數(shù)學(xué)教學(xué)的“無根狀態(tài)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要對教材中的知識進行深度發(fā)掘，要根據(jù)學(xué)生的認知水平選擇合適的教學(xué)方式，從而讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想方法的魅力。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中等譯.成都：四川教育出版社，1986.

[2] 史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報， 2011（4）.

[3] 曹才翰， 章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[4] 王林等.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

（責(zé)編 楊偲培）