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    DC復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題的近似最優(yōu)性條件*

    2022-10-28 12:04:48胡星星鄭晴慧田利萍
    關(guān)鍵詞:最優(yōu)性刻畫(huà)命題

    胡星星,鄭晴慧,田利萍

    (吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

    1 問(wèn)題的提出

    (1)

    他們利用內(nèi)點(diǎn)類條件、閉性條件和上圖類條件等得到了一系列有意義的結(jié)論,如Farkas引理、對(duì)偶理論和最優(yōu)性條件等[1-3].

    許多優(yōu)化問(wèn)題,如凸優(yōu)化問(wèn)題、極小極大值問(wèn)題和最佳一致逼近問(wèn)題等,都可以轉(zhuǎn)化為如下復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題[4-6]:

    (2)

    此外,許多實(shí)際問(wèn)題都可以視為如下DC錐約束優(yōu)化問(wèn)題[7-9]的特殊情形:

    (3)

    他引入新的約束條件,建立了問(wèn)題(3)的最優(yōu)性條件和拉格朗日全對(duì)偶.

    注意到,文獻(xiàn)[3,6-7,9-10]主要是討論最優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解的特征刻畫(huà).實(shí)際上,對(duì)于某些復(fù)雜問(wèn)題,最優(yōu)解不一定存在或者并不需要計(jì)算其精確解.因此,如何建立優(yōu)化問(wèn)題的近似解的特征刻畫(huà),成為現(xiàn)代優(yōu)化問(wèn)題研究的一個(gè)熱點(diǎn).例如,Long等[11]利用共軛函數(shù)上圖的特性得到了復(fù)合錐凸優(yōu)化問(wèn)題近似最優(yōu)解的充分必要條件,Bot等[12]得到了無(wú)約束函數(shù)的復(fù)合凸優(yōu)化問(wèn)題近似最優(yōu)解的充分必要條件.受這些工作的啟發(fā),筆者擬利用函數(shù)ε-次微分的性質(zhì),引入新的弱性約束規(guī)范條件,建立DC復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)解的特征刻畫(huà).

    2 預(yù)備知識(shí)

    對(duì)X*,Y*和Z*分別賦予弱*拓?fù)鋡*(X*,X),w*(Y*,Y)和w*(Z*,Z).y*,y表示泛函y*∈Y*在點(diǎn)y∈Y處的值,即y*,y=y*(y).設(shè)Y和Z分別是由閉凸錐S和K所定義的序空間.定義Y,Z上的序?yàn)?若y2-y1∈S,則y1≤Sy2;若z2-z1∈K,則z1≤Kz2.設(shè)S⊕表示S的對(duì)偶錐,即

    S⊕∶={y*∈Y*:y*,y≥0,?y∈S}.

    domf∶={x∈X:f(x)<+∞},

    epif∶={(x,r)∈X×R:f(x)≤r},

    f*(x*)∶=sup{x*,x-f(x)} ?x*∈X*.

    設(shè)x0∈domf,定義f在x0處的次微分為

    ?f(x0)∶={x*∈X*:f(x)-f(x0)≥x*,x-x0,?x∈X}.

    (4)

    設(shè)ε≥0,定義f在x0∈domf處的ε-次微分為

    ?εf(x0)∶={x*∈X*:f(x)-f(x0)≥x*,x-x0-ε,?x∈X}.

    (5)

    由文獻(xiàn)[13]中的定理2.3.1(ⅱ)和定理2.4.2(ⅲ)分別可知

    f*(x*)+f(x)≥x*,x?(x,x*)∈X×X*,

    (6)

    f*(x*)+f(x)=x*,x?x*∈?f(x) ?(x,x*)∈X×X*.

    (7)

    (6)式稱為Young-Fenchel不等式,(7)式稱為Young等式.

    設(shè)D是X中的非空凸集,δD表示D的示性函數(shù),

    令Nε(x0,D)表示D在點(diǎn)x0∈D的ε-法錐,

    Nε(x0,D)∶={x*∈X*:x*,x-x0≤ε,?x∈D}.

    (8)

    特別地,由(5)和(8)式可知

    Nε(x0,D)=?εδD(x0) ?x0∈D.

    (9)

    當(dāng)ε=0時(shí),N(x0,D)∶=N0(x0,D)即為集合D在點(diǎn)x0∈D的法錐.

    定義1設(shè)φ:X→Z?是真函數(shù),稱函數(shù)φ為K-凸函數(shù),如果對(duì)于?x,y∈X和t∈[0,1],有

    φ(tx+(1-t)y)≤Ktφ(x)+(1-t)φ(y).

    f*(x*)+f(x0)≤x*,x0+ε?x*∈?εf(x0).

    (f°φ)*(x*)≤f*(β)+(βφ)*(x*).

    3 近似最優(yōu)性條件

    令A(yù)表示系統(tǒng){x∈C;h(x)∈-S}的可行解集,即A∶={x∈C:h(x)∈-S},本研究均假設(shè)dom(f°φ)∩A≠?.定義Λ(X)為X上的真凸函數(shù)族,顯然Λ(X)中的函數(shù)不一定是下半連續(xù)的.設(shè)g∈Λ(X).筆者主要研究如下帶錐約束的DC復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題:

    為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),設(shè)ε≥0,x∈X,定義

    (10)

    則下列包含關(guān)系成立:

    命題1設(shè)ε≥0,則

    Φ(ε,x)??ε(f°φ+δA)(x) ?x∈dom(f°φ)∩A.

    (11)

    證明令x∈dom(f°φ)∩A,p∈Φ(ε,x).由(10)式可知,存在ε1,ε2,ε3,ε4≥0,λ∈S⊕,β∈domf*∩?ε4(f°φ)(x),u∈?ε1(βφ)(x),v∈?ε2(λh)(x),w∈Nε3(x,C),使得

    ε1+ε2+ε3+ε4=ε+(λh)(x)

    (12)

    u+v+w=p.

    (13)

    因?yàn)閡∈?ε1(βφ)(x),v∈?ε2(λh)(x),w∈Nε3(x,C),β∈?ε4(f°φ)(x),所以由(5)式可知,對(duì)于?y∈X,有

    u,y-x≤(βφ)(y)-(βφ)(x)+ε1,

    v,y-x≤(λh)(y)-(λh)(x)+ε2,

    w,y-x≤δC(y)-δC(x)+ε3,

    β,φ(y)-φ(x)≤(f°φ)(y)-(f°φ)(x)+ε4.

    結(jié)合(12)和(13)式可知,對(duì)于?y∈X,有

    p,y-x≤(f°φ+δC+λh)(y)-(f°φ+δC)(x)+ε≤(f°φ+δA)(y)-(f°φ+δA)(x)+ε.

    因此,由(5)式可知p∈?ε(f°φ+δA)(x),從而(11)式成立.證畢.

    定義3設(shè)ε≥0,x∈dom(f°φ)∩A.稱系統(tǒng){f,φ,δA;λh:λ∈S⊕}在x點(diǎn)處滿足(ACCQ)條件,如果

    ?ε(f°φ+δA)(x)=Φ(ε,x).

    (14)

    稱該系統(tǒng)滿足(ACCQ)條件,如果對(duì)于?x∈dom(f°φ)∩A,都有(14)式成立.

    注1(ⅰ)由命題1可知,系統(tǒng){f,φ,δA;λh:λ∈S⊕}滿足(ACCQ)條件,當(dāng)且僅當(dāng)

    ?ε(f°φ+δA)(x)?Φ(ε,x) ?x∈dom(f°φ)∩A.

    (15)

    (ⅱ)當(dāng)ε=0時(shí),(ACCQ)條件轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[10]中的(CBCQ)條件,即

    為了刻畫(huà)DC復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)性條件,先給出問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)解的定義.

    定義4設(shè)ε≥0,x0∈A.稱x0為問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)解,如果對(duì)于?x∈A,有

    (f°φ-g)(x0)≤(f°φ-g)(x)+ε.

    由ε-次微分的定義可知,

    x0為問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)解?0∈?ε(f°φ-g+δA)(x0).

    (16)

    命題2設(shè)ε≥0,x0∈A,則對(duì)于?p∈?g(x0),有

    0∈?ε(f°φ-g+δA)(x0)?p∈?ε(f°φ+δA)(x0).

    (17)

    證明設(shè)p∈?g(x0).由(4)式可知

    g(x)-g(x0)≥p,x-x0?x∈X.

    (18)

    由(5)式可知0∈?ε(f°φ-g+δA)(x0),當(dāng)且僅當(dāng)

    (f°φ-g+δA)(x)-(f°φ-g+δA)(x0)+ε≥0 ?x∈X.

    (19)

    由(18)式可知(19)式成立,當(dāng)且僅當(dāng)

    (f°φ+δA)(x)-(f°φ+δA)(x0)+ε≥p,x-x0?x∈X,

    即p∈?ε(f°φ+δA)(x0).證畢.

    設(shè)p∈X*,考慮如下帶線性擾動(dòng)的復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題:

    (20)

    定理1設(shè)x0∈dom(f°φ)∩A且ε≥0,則下列命題等價(jià):

    (ⅰ)系統(tǒng){f,φ,δA;λh:λ∈S⊕}在x0處滿足(ACCQ)條件.

    (ⅱ)對(duì)于?g∈Λ(X),x0是問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)解,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?p∈?g(x0),存在ε1,ε2,ε3,ε4≥0,λ∈S⊕,β∈domf*,u,v,w∈X*,使得:

    (a)0≤(βφ)*(u)+(βφ)(x0)-u,x0≤ε1;

    (b)0≤(λh)*(v)+(λh)(x0)-v,x0≤ε2;

    (d)0≤f*(β)+(f°φ)(x0)-β,φ(x0)≤ε4;

    (e)ε+(λh)(x0)=ε1+ε2+ε3+ε4;

    (f)u+v+w=p.

    (ⅲ)對(duì)于?p∈X*,x0是問(wèn)題(20)的近似最優(yōu)解,當(dāng)且僅當(dāng)存在ε1,ε2,ε3,ε4≥0,λ∈S⊕,β∈domf*,u,v,w∈X*,使得(ⅱ)中的(a)~(f)成立.

    證明(ⅰ)?(ⅱ).假設(shè)(ⅰ)成立.令g∈Λ(X),x0是問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)解,則由(16)和(17)式可知,對(duì)于?p∈?g(x0),有p∈?ε(f°φ+δA)(x0).由(ⅰ)可知p∈Φ(ε,x0).因此,存在ε1,ε2,ε3,ε4≥0,λ∈S⊕,β∈domf*∩?ε4(f°φ)(x0),u∈?ε1(βφ)(x0),v∈?ε2(λh)(x0),w∈Nε3(x0,C),使得

    ε1+ε2+ε3+ε4=ε+(λh)(x0)

    u+v+w=p,

    即(e)和(f)成立.由β∈?ε4(f°φ)(x0)和引理1,有

    f*(β)+(f°φ)(x0)≤β,φ(x0)+ε4.

    由(6)式可知

    β,φ(x0)-(f°φ)(x0)≤f*(β),

    即(d)成立.同理,由u∈?ε1(βφ)(x0),v∈?ε2(λh)(x0),w∈Nε3(x0,C)可知(a)~(c)成立.

    反之,令g∈Λ(X).對(duì)于?p∈?g(x0),存在ε1,ε2,ε3,ε4≥0,λ∈S⊕,β∈domf*,u,v,w∈X*,使得關(guān)系(a)~(f)成立.欲證x0是問(wèn)題(3)的近似最優(yōu)解,只需證p∈?ε(f°φ+δA)(x0).由(c)和(9)式可知,w∈Nε3(x0,C),即w∈?ε3δC(x0),因此

    δ*C(w)+δC(x0)-w,x0≤ε3.

    結(jié)合(a),(b),(d),(e)可知

    δC(x0)-w,x0+f*(β)+(f°φ)(x0)-β,φ(x0)≤

    ε1+ε2+ε3+ε4=ε+(λh)(x0).

    由(f),有

    (21)

    對(duì)于?β∈domf*,λ∈S⊕,u,v∈X*,x∈X,由引理2可知

    f*(β)+(βφ)*(u)≥(f°φ)*(u)≥u,x-(f°φ)(x),

    (λh)*(v)≥v,x-(λh)(x)≥v,x,

    從而對(duì)于?x∈X,有

    v,x+p-u-v,x-δC(x)=p,x-(f°φ+δC)(x)≥

    p,x-(f°φ+δA)(x).

    再由共軛函數(shù)的定義,有

    (22)

    結(jié)合(21)和(22)式可知

    (f°φ+δA)*(p)+(f°φ+δA)(x0)≤ε+p,x0,

    從而由引理1可得p∈?ε(f°φ+δA)(x0).

    (ⅱ)?(ⅲ).顯然成立.

    (ⅲ)?(ⅰ).假設(shè)(ⅲ)成立.由(15)式可知,只需證?ε(f°φ+δA)(x0)?Φ(ε,x0).為此,設(shè)p∈?ε(f°φ+δA)(x0),則x0是問(wèn)題(20)的近似最優(yōu)解.故由(ⅲ)可知,存在ε1,ε2,ε3,ε4≥0,λ∈S⊕,β∈domf*,u,v,w∈X*,使得關(guān)系(a)~(f)成立.于是由(a),(b),(c),(d)分別可得u∈?ε1(βφ)(x0),v∈?ε2(λh)(x0),w∈Nε3(x0,C),β∈?ε4(f°φ)(x0),由(f)可得

    p=u+v+w∈?ε1(βφ)(x0)+?ε2(λh)(x0)+Nε3(x0,C).

    因此p∈Φ(ε,x0),從而?ε(f°φ+δA)(x0)?Φ(ε,x0).證畢.

    定理1建立了問(wèn)題(3)和問(wèn)題(20)的近似最優(yōu)解的特征刻畫(huà).當(dāng)ε=0時(shí),由定理1可知以下結(jié)論成立:

    推論1設(shè)x0∈dom(f°φ)∩A,則以下命題等價(jià):

    (ⅰ)系統(tǒng){f,φ,δA;λh:λ∈S⊕}在x0處滿足(CBCQ)條件.

    (ⅱ)對(duì)于?g∈Λ(X),x0是問(wèn)題(3)的最優(yōu)解,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?p∈?g(x0),存在λ∈S⊕,β∈domf*,u,v,w∈X*,使得:

    (a)(βφ)*(u)+(βφ)(x0)-u,x0=0;

    (b)(λh)*(v)+(λh)(x0)-v,x0=0;

    (d)f*(β)+(f°φ)(x0)-β,φ(x0)=0;

    (e)u+v+w=p;

    (f)(λh)(x0)=0.

    (ⅲ)對(duì)于?p∈X*,x0是問(wèn)題(20)的近似最優(yōu)解,當(dāng)且僅當(dāng)存在λ∈S⊕,β∈domf*,u,v,w∈X*,使得(ⅱ)中的(a)~(f)成立.

    注2Bot等[4]利用如下廣義內(nèi)點(diǎn)正則條件(CQ)得到了推論1的相關(guān)結(jié)論:

    存在x∈ri(C):h(x)∈-ri(S)且φ(x)∈ri(D)-ri(K),

    其中D?Z是非空凸集,假設(shè)φ(C)?D.事實(shí)上,由文獻(xiàn)[11]中的例3.12可知,(CBCQ)條件弱于(CQ)條件.因此,推論1改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]中的相關(guān)結(jié)論.

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