傅里葉變換下Kramers-Kronig關(guān)系的理論推導(dǎo)*

蘇紅梅

(羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系，廣東 羅定 527200)

Kramers-Kronig關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)K-K關(guān)系)最早是由Kramers和Kronig利用原子氣體模型推導(dǎo)出來(lái)的，他們給出了介電函數(shù)及復(fù)折射率的實(shí)部和虛部之間的色散關(guān)系，并將色散關(guān)系成功地應(yīng)用于X射線的色散實(shí)驗(yàn)中.K-K關(guān)系被推導(dǎo)出來(lái)以后，學(xué)者經(jīng)常將其應(yīng)用于各種材料的光學(xué)研究中.如光學(xué)常數(shù)測(cè)量和計(jì)算過(guò)程中[1]，K-K關(guān)系因具有優(yōu)于其他常規(guī)光學(xué)測(cè)量方法的特性，成為獲取光學(xué)常數(shù)的一種基本方法，對(duì)各種各樣的材料都適用.筆者擬利用傅里葉變換[2-4]，從物理實(shí)驗(yàn)事實(shí)的因果律出發(fā)，脫離具體的微觀物理模型，從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)K-K關(guān)系的表達(dá)式，從純粹的數(shù)學(xué)性中發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的應(yīng)用的普適性.

1 傅里葉變換簡(jiǎn)介

傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法，其過(guò)程是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號(hào)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)頻域非周期的連續(xù)信號(hào).在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有不同的形式.本研究中主要運(yùn)用連續(xù)傅里葉變換，將時(shí)域空間和頻域空間的函數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換.這里假定函數(shù)f(t)滿足傅里葉變換的要求，那么函數(shù)f(t)的傅里葉變換為

其中F(ω)稱(chēng)為f(t)的像函數(shù)，f(t)稱(chēng)為F(ω)的原像函數(shù).F(ω)的傅里葉逆變換為

(1)

2 K-K關(guān)系的推導(dǎo)

凡是由因果關(guān)系決定的光學(xué)響應(yīng)函數(shù)，其實(shí)部和虛部之間都不是相互獨(dú)立的，用來(lái)描述這些響應(yīng)的每一對(duì)宏觀的光學(xué)常數(shù)(如n和κ，ε′和ε″，r和θ)之間都存在一定的內(nèi)在聯(lián)系.基于一定的微觀物理模型，通過(guò)一些物理關(guān)系，可以解出宏觀光學(xué)常數(shù)的表達(dá)式，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；從基本的物理量性質(zhì)及基本的物理?xiàng)l件考慮，利用數(shù)學(xué)計(jì)算方法也可以推導(dǎo)出它們之間的函數(shù)關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，如在光學(xué)常數(shù)測(cè)量和計(jì)算中經(jīng)常用的K-K關(guān)系.接下來(lái)，將從介電常數(shù)出發(fā)對(duì)K-K關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo).

在電磁學(xué)中，用極化率和電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系來(lái)描述各項(xiàng)同性、非磁性的均勻介質(zhì)的線性響應(yīng)，線性響應(yīng)關(guān)系式為

p(t)=ε0(εr-1)E(t),

其中ε0,εr分別是真空介電常數(shù)和介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù).利用傅里葉逆變換(1)式可得

(2)

考慮到極化矢量可能滯后，將(2)式改寫(xiě)為

其中

G(t′-t)稱(chēng)為響應(yīng)函數(shù)，它描述了t′時(shí)刻的δ電場(chǎng)脈沖造成的t時(shí)刻的電極化，是εr(ω)-1的傅里葉積分.傅里葉逆變換可以表示為

(3)

因?yàn)橐蚬梢笤诩与妶?chǎng)之前沒(méi)有響應(yīng)，所以(3)式中的G(T)在T<0時(shí)，有G(T)=0.于是，εr(ω)-1為一個(gè)在ω復(fù)平面上半空間是解析的函數(shù)，并在上半平面內(nèi)對(duì)ω的微商是收斂的，當(dāng)沿著圖1所示積分路徑積分時(shí)，積分結(jié)果為0.具體環(huán)路積分表達(dá)式為

(4)

(4)式中的積分區(qū)間為(-∞,ω-δ)和(ω+δ,+∞)，在δ→0的極限情況下，積分值就是沿實(shí)軸的柯西積分主值.根據(jù)留數(shù)定理和初等色散理論[5-6],εr(ω)-1的積分表達(dá)式為

(5)

(6)

又因?yàn)?/p>

圖1 積分路徑Fig. 1 Integral Path

所以將(6)式代入方程組(5)可得K-K關(guān)系的另一種形式：

(7)

也即εr(ω)的實(shí)部和虛部之間的色散關(guān)系.

3 K-K關(guān)系的微分形式

在實(shí)際的物理應(yīng)用中，為了突出某些特征或考慮到光學(xué)響應(yīng)函數(shù)在高低頻的收斂性質(zhì)，會(huì)將K-K變換的積分形式轉(zhuǎn)化為微分形式，這2種形式可以形成互補(bǔ)作用.對(duì)方程組(7)中實(shí)部函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行湊微分、分部積分，計(jì)算出實(shí)部、虛部的具體微分表達(dá)式如下：

可以看出，變換由兩部分組成，即微分因子和對(duì)數(shù)形式的權(quán)重因子.對(duì)于權(quán)重因子而言，只有ω→ω′時(shí)才有明顯貢獻(xiàn)，如圖2所示.

圖2 ω=ω′附近貢獻(xiàn)最大Fig. 2 Largest Contribution to the Near ω=ω′

至此，得到K-K關(guān)系的3種較常用的形式，即被積函數(shù)有界、線性響應(yīng)關(guān)系和因果律，因?yàn)檫@些關(guān)系非常適用于輸入輸出線性關(guān)系的物理量，所以在物理學(xué)的很多分支領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用.K-K關(guān)系是無(wú)量綱的表達(dá)式，它可以不依賴(lài)于任何模型而存在，還能極大方便物理參數(shù)測(cè)量，如為了得到響應(yīng)函數(shù)的相位需要相對(duì)復(fù)雜的技術(shù)和系統(tǒng)，而根據(jù)K-K關(guān)系只需要簡(jiǎn)單測(cè)量消光譜就可以計(jì)算出來(lái).

4 K-K關(guān)系的其他表示形式

對(duì)于不同的物理背景，K-K關(guān)系還有其他的表示形式，如折射率和消光系數(shù)之間的n-κ關(guān)系：

(8)

因?yàn)?/p>

5 結(jié)語(yǔ)

K-K關(guān)系具有優(yōu)美的數(shù)學(xué)形式和普遍的物理內(nèi)涵，其表達(dá)式具備應(yīng)用的普適性，雖然公式的導(dǎo)出不需要任何物理模型，但卻是物理實(shí)在(Physical Reality)的高度數(shù)學(xué)概括.由于因果性條件的保證，K-K關(guān)系理論上能應(yīng)用到任何物理實(shí)在中，如已知的反射和透射響應(yīng)函數(shù)、復(fù)介電常數(shù)、復(fù)折射率、復(fù)電導(dǎo)率、電阻抗、復(fù)磁導(dǎo)率、復(fù)原子散射因子、絕熱壓縮系數(shù)、聲折射率、單邊帶時(shí)域信號(hào)、空間K-K介質(zhì)及各種非線性介質(zhì)等[1,7-9]，可以相信，K-K關(guān)系的應(yīng)用領(lǐng)域會(huì)越來(lái)越廣.

當(dāng)然，在應(yīng)用中K-K 關(guān)系也有不足之處.如K-K積分一般都是在[0，+∞)之間，但由于實(shí)際能夠測(cè)量的物理模型或已知的變量范圍總是有限的，會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)截?cái)嗾`差，因此需要借助各種積分范圍的外推方法來(lái)減小誤差.目前關(guān)于K-K關(guān)系的最新研究進(jìn)展發(fā)現(xiàn)，在時(shí)域和空域也有K-K關(guān)系[7]，未來(lái)在這2個(gè)發(fā)展方向應(yīng)該會(huì)有全新的概念和應(yīng)用.