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    求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法探討

    2019-09-10 01:32:40馮淑萍
    大東方 2019年1期
    關(guān)鍵詞:常用方法通項(xiàng)公式數(shù)列

    馮淑萍

    摘??要:在高中數(shù)學(xué)必修課程中數(shù)列屬于重要課程內(nèi)容,在做數(shù)列題時數(shù)列通項(xiàng)公式求解屬于基礎(chǔ)。此次研究主要是探討分析了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法,希望能夠?yàn)榻處熃虒W(xué)提供參考作用。

    關(guān)鍵詞:數(shù)列;通項(xiàng)公式;常用方法

    在高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)列屬于必考內(nèi)容內(nèi)容,近些年難度有所下降,屬中檔以下題目。數(shù)列的通項(xiàng)求解是數(shù)列知識的重要內(nèi)容,也是考查數(shù)列知識的重要形式。數(shù)列能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和觀察理解能力。在高考中也多次考察了數(shù)列知識。數(shù)列知識中的核心內(nèi)容之一就是通項(xiàng)公式,與函數(shù)解析式的作用類似。在得知數(shù)列通項(xiàng)公式之后就能夠計(jì)算出數(shù)列中任一項(xiàng)以及前n項(xiàng)之和,得出數(shù)列通項(xiàng)公式是求解數(shù)列問題的關(guān)鍵步驟。

    1、觀察法

    該種方法主要是對數(shù)列特征進(jìn)行觀察,尋找出各項(xiàng)共同構(gòu)成規(guī)律,分析各項(xiàng)數(shù)列的關(guān)系結(jié)構(gòu)以及內(nèi)在聯(lián)系,這樣能夠歸納出數(shù)列通項(xiàng)公式,之后通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行驗(yàn)證。

    例如下列題目;假設(shè),若b=1,求解及數(shù)列的通項(xiàng)公式。

    解:從題意可得

    所以可以猜想,之后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明上式計(jì)算正確。

    2、定義法

    該種求解方法主要是直接應(yīng)用等比數(shù)列或等差數(shù)列的基本定義求解通項(xiàng)的方法,定義法適用于已知數(shù)列類型的題目。

    例:已知等差數(shù)列滿足,(1)求解的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,問與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等。

    解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公差為d,因?yàn)?,所以d=2,有因?yàn)?,所以,故,所以(n=1,2……)

    (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)?,所以,所以,由,得到n=63,所以與數(shù)列的第63項(xiàng)相等。

    3、公式法

    如果已知數(shù)列前n項(xiàng)和與的關(guān)系,求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。

    例:設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為,已知,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

    解:由可得,當(dāng)n=1時,,當(dāng)時,。而,所以。

    4、累加法

    若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在:的關(guān)系,可用“累加法”求通項(xiàng). 先給遞推式中的從2開始賦值,一直到,一共得到個式子,再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相加化簡,即得到數(shù)列的通項(xiàng).

    例:??若滿足?,并且,那么數(shù)列的前10項(xiàng)總和為____。

    解:?從題意能夠得出=()+()+…+()+ =n+(n-1)+…+2+1= ,所以= =。所以, ?= + +…+ = = ,所以= 。

    5、累乘法

    在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在:的關(guān)系,可用“累乘法”求通項(xiàng). 先給遞推式中的從2開始賦值,一直到,一共得到個式子,再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相乘化簡,即得到數(shù)列的通項(xiàng).

    例:已知數(shù)列滿足,求的通項(xiàng)公式。

    解:由條件可知=,在上式中n依次取值1,2,3,…,(n-1),得到n-1個等式累乘之,即=,即,有因?yàn)?,所以?/p>

    6、構(gòu)造法

    第一,如果遞推公式為=(在該式中p、q都屬于常數(shù),并且p,q,p-1不等于0),一般情況下,該種遞推公式的解題步驟就是先將原遞推公式轉(zhuǎn)化為-t=p(-t) ,其中t=之后通過換元法將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,之后再進(jìn)行求解。比如2014年新課標(biāo)全國卷Ⅱ中關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的題目。

    例:已知數(shù)列{}滿足=1,=3+1,證明{+}是等比數(shù)列,并且計(jì)算出{}的通項(xiàng)公式。

    解:由于=3+1能夠得出+=3(+),又因?yàn)?=,所以{+?}是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列,所以+ =×3n-1= ,所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為=。

    第二,如果遞推公式為=p+kn+b(在上式中,p、k、b均為常數(shù),并且pk不等于0)時,一般情況下,解題思路就是將原遞推公式轉(zhuǎn)化為+x(n+1)+y=p(+xn+y),其中x、y的值是由方程給出,比如2007年天津市文科數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的題目。

    例:在數(shù)列{}中,=2,=4-3n+1,求解數(shù)列{}的通項(xiàng)。

    解:由=4 -3n+1能夠得出-(n+1)=4(-n),又因?yàn)?1=1,所以數(shù)列{-n}是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列,所以–n=4n-1,即=4n-1+n。

    第三,如果遞推公式為=p+cn(在該式中p、c均屬于常數(shù),并且pc不等于0)時,一般情況下,解題思路為將原遞推公式轉(zhuǎn)化為=·+。第一種情況:如果p=c,那么 ?-=,此時數(shù)列{}是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,那么=+(n-1)·,即=(n+-1)cn-1。第二種情況:如果p不等于c,那么可將原式轉(zhuǎn)化為-t=(-t),在該式中t=,此時能夠求解。

    參考文獻(xiàn):

    [1]?李萍,張孝梅.多題歸一在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的運(yùn)用與拓展——以形如α_(n+1)=pα_n+f(n)的遞推公式為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào),2016,30(03):127-129.

    [2]?劉鐵龍.利用函數(shù)思想解釋數(shù)列通項(xiàng)公式求法——以《一類數(shù)列通項(xiàng)公式的求法》一課教學(xué)為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào),2015,29(02):120-122.

    (作者單位:云南省曲靖市第一中學(xué))

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