循環(huán)小數(shù)與實(shí)數(shù)構(gòu)造理論

◎王斌儒

(甘肅有色冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑與信息工程系，甘肅 金昌 737100)

一、引 言

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)追本溯源，數(shù)學(xué)最初的工作是計(jì)數(shù)在計(jì)數(shù)過程中，人類首先接觸到自然數(shù)，自然數(shù)系由于實(shí)際生活和數(shù)學(xué)運(yùn)算需要用到它，而逐漸擴(kuò)充到整數(shù)系，再擴(kuò)充到有理數(shù)系

有理數(shù)系是一個(gè)比較完美的數(shù)系：它具有稠密性，即任何兩個(gè)有理數(shù)之間必含有有理數(shù)；它對(duì)四則運(yùn)算是封閉的，即任何有理數(shù)經(jīng)加減乘除四則運(yùn)算后仍然是有理數(shù)；它的元素有順序關(guān)系，因而可以比較大小，進(jìn)行不等式運(yùn)算有理數(shù)系的這些性質(zhì)使得古希臘人認(rèn)為它就是所有數(shù)的全體，并且設(shè)想把它們由小到大、連續(xù)無空隙地排列在一條無限長的直線上，即在全體有理數(shù)與直線上全體點(diǎn)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種和諧自然的連續(xù)性設(shè)想促使古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出萬物皆數(shù)的名言但事實(shí)并非如此，公元前500年左右，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)正五邊形對(duì)角線長是不可公度的，繼而發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線長是不可公度的，即單位邊長的正五邊形和正方形的對(duì)角線長不是有理數(shù)希帕索斯的發(fā)現(xiàn)動(dòng)搖了古希臘幾何理論的基礎(chǔ)，同時(shí)，第一次展示了有理數(shù)系的缺陷：有理數(shù)盡管鱗次櫛比地排在數(shù)軸上，但并沒有布滿整個(gè)數(shù)軸，數(shù)軸上面還存在不能用有理數(shù)填補(bǔ)的空隙然而希臘人并沒有建立起無理數(shù)的一般概念

孕育于希臘時(shí)代的微積分思想與方法，經(jīng)過了漫長時(shí)期的醞釀十七世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分到了18世紀(jì)，微積分在應(yīng)用領(lǐng)域取得了巨大的成功但是，隨著數(shù)學(xué)本身的發(fā)展以及人們對(duì)物理領(lǐng)域中微觀現(xiàn)象的深入探討，微積分學(xué)初創(chuàng)時(shí)期粗糙的邏輯表述，已無法令人滿意，形成了方法上有效但邏輯上無法自圓其說的矛盾局面

微積分學(xué)邏輯基礎(chǔ)上的嚴(yán)重問題，雖然暴露了出來，但是并沒有能夠及早地得到解決這就促使十九世紀(jì)的許多數(shù)學(xué)家，回過頭去重新分析邏輯基礎(chǔ)，即分析理論的嚴(yán)格化

微積分是建立在極限運(yùn)算基礎(chǔ)上的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算需要完備的實(shí)數(shù)域最終，構(gòu)建完備實(shí)數(shù)域的任務(wù)在19世紀(jì)下半葉被完成，微積分學(xué)也進(jìn)入了新的發(fā)展階段

二、實(shí)數(shù)系的建立

我們從自然數(shù)系出發(fā)，可以構(gòu)造出有理數(shù)域，這是一個(gè)對(duì)四則運(yùn)算封閉的、稠密的有序域如果我們進(jìn)一步從變量數(shù)學(xué)的角度來考察問題的話，則它還存在本質(zhì)上的缺陷從分析學(xué)的基本運(yùn)算——極限的角度來考慮，有理數(shù)域在極限運(yùn)算下，不是一個(gè)封閉的數(shù)域，正像自然數(shù)集在減法或除法運(yùn)算下，是不封閉的一樣某些有理數(shù)序列本身盡管有凝聚的趨勢，但是在有理數(shù)的范圍內(nèi)卻找不到極限值，有理數(shù)域的這種“不完備性”，正是它本質(zhì)的缺陷當(dāng)我們把數(shù)從有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后，便解決了這個(gè)矛盾

(一)實(shí)數(shù)的定義

我們采用十進(jìn)數(shù)，來定義實(shí)數(shù)

設(shè)∈，∈{0,1,…，9}(∈)，?，只要>，就有<9

我們稱…為十進(jìn)數(shù)，即實(shí)數(shù)的十進(jìn)表示，簡稱實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)集記為實(shí)數(shù)集中循環(huán)小數(shù)表示的實(shí)數(shù)叫作有理數(shù)，不循環(huán)小數(shù)表示的實(shí)數(shù)叫作無理數(shù)

下面本文借助十進(jìn)數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)列來說明循環(huán)小數(shù)是如何表示有理數(shù)的

(二)標(biāo)準(zhǔn)列與循環(huán)小數(shù)

事實(shí)上，我們定義了可稱為標(biāo)準(zhǔn)列的有理數(shù)列為一個(gè)實(shí)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)列是柯西列

下面我們給出循環(huán)小數(shù)的定義

對(duì)第二類循環(huán)小數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)列我們可進(jìn)行類似討論

由此可見，兩類循環(huán)小數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)列收斂到有理數(shù)，稱循環(huán)小數(shù)為其標(biāo)準(zhǔn)列極限的十進(jìn)表示

不同的標(biāo)準(zhǔn)列不等價(jià)

不同的循環(huán)小數(shù)表示不同的有理數(shù)

由引理1即可證明

有理數(shù)都可以表示成循環(huán)小數(shù)，即有理數(shù)是循環(huán)小數(shù)對(duì)等的標(biāo)準(zhǔn)列的極限

只需證明每個(gè)正的真分?jǐn)?shù)都可以表示成循環(huán)小數(shù)

上述過程中，一旦出現(xiàn)余數(shù)為0，除法運(yùn)算就終止，這時(shí)得到有限小數(shù)；在相反的情形中，即余數(shù)不為0，則余數(shù)列無限，因?yàn)?<<，所以余數(shù)列中至少有兩項(xiàng)相等存在最小的下標(biāo)及正整數(shù)，使得=+，并且(當(dāng)>1)時(shí)+1，…，+-1兩兩不等，且不等于由的定義，可知，…，-1兩兩不等，都不等于

綜上可得，任何一個(gè)有理數(shù)存在唯一一個(gè)循環(huán)小數(shù)為其表示，每個(gè)循環(huán)小數(shù)都表示一個(gè)有理數(shù)循環(huán)小數(shù)表示的有理數(shù)是這個(gè)循環(huán)小數(shù)標(biāo)準(zhǔn)列的極限

三、實(shí)數(shù)的基本關(guān)系

實(shí)數(shù)的基本關(guān)系是圍繞柯西列展開的

(一)實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律

任意一個(gè)有理數(shù)的柯西列，存在唯一一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)列與其等價(jià)

當(dāng)0…不以9為循環(huán)節(jié)時(shí)，是標(biāo)準(zhǔn)列

當(dāng)0…以9為循環(huán)節(jié)時(shí)，有兩種情況

①對(duì)?∈,=9，規(guī)定數(shù)列()=+1，∈

②∈,使得<9,當(dāng)>時(shí)恒有=9此時(shí)，規(guī)定

因?yàn)椴幌嗤臉?biāo)準(zhǔn)列不等價(jià)，所以與一個(gè)柯西列等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)列唯一

由極限的運(yùn)算法即可證明

由此可見，實(shí)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上是標(biāo)準(zhǔn)列之間的運(yùn)算

(二)實(shí)數(shù)的序

任取實(shí)數(shù)=…，其中∈若≥0，且所有的不全為零，則稱為正數(shù)，記作>0；若所有的全為零，則稱為零，記作=0；若<0，則稱為負(fù)數(shù)，記作<0若實(shí)數(shù),滿足->0，則稱大于，記作>，或者小于，記作<記不大于為“≤”； 記不小于為“≥”

(三)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與三角不等式

實(shí)數(shù)的絕對(duì)值

我們稱||為實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，顯然||≥0

設(shè)>0，則||

若>0，則>-顯然成立，||<即<

若≤0，則<顯然成立，||<，即-<，兩邊加上-即得-<

三角不等式

①|(zhì)|=|-| ②|·|=||·||

③|+|≤||+|| ④|||-|||≤|-|

(四)實(shí)數(shù)的稠密性

兩個(gè)有理數(shù)之間必然存在一個(gè)有理數(shù)，同樣任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間總有一個(gè)有理數(shù)或無理數(shù)，即實(shí)數(shù)連續(xù)地布滿了實(shí)軸

有理數(shù)的稠密性

設(shè),是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，且<,則存在有理數(shù)，<<

無理數(shù)的稠密性

設(shè),是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，且<,則存在無理數(shù)，<<

(五)實(shí)數(shù)的完備性

有理數(shù)經(jīng)過擴(kuò)張得到的實(shí)數(shù)，關(guān)于加、減、乘、除運(yùn)算仍是封閉的，事實(shí)上實(shí)數(shù)關(guān)于極限運(yùn)算也是封閉的下面我們來給實(shí)數(shù)列的收斂下定義

實(shí)數(shù)列的收斂

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為()=…，∈

實(shí)數(shù)系的完備性

從有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系后，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，柯西列均收斂，稱為實(shí)數(shù)的完備性完備性是實(shí)數(shù)連續(xù)地布滿實(shí)軸的反映

滿足0≤()-()≤10-，從而有理數(shù)列與等價(jià)

由此可見，任何有理實(shí)數(shù)的柯西序列在實(shí)數(shù)域內(nèi)都有極限

四、歷史上的實(shí)數(shù)構(gòu)造理論

實(shí)數(shù)，看起來很淺顯，幾乎人人都知道它，也會(huì)用它進(jìn)行四則運(yùn)算，但數(shù)學(xué)家偏偏要問：“究竟什么是實(shí)數(shù)？它有什么性質(zhì)？”從古希臘開始，這個(gè)問題困惑了數(shù)學(xué)界2000多年

實(shí)數(shù)系的邏輯結(jié)構(gòu)問題被19世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)家所正視，人們?cè)诖_認(rèn)有理數(shù)系的建立工作已完成的基礎(chǔ)上，無理數(shù)被認(rèn)為是主要的難點(diǎn)最終戴德金和康托等人以不同方式完成了完備實(shí)數(shù)域的構(gòu)造

(一)Cantor的實(shí)數(shù)構(gòu)造

Cantor首先定義了基本序列

給定有理數(shù)序列{}，若?>0，?自然數(shù)，當(dāng),>時(shí)，有|-|<，則稱{}為基本序列

考慮全體有理數(shù)基本列{}所組成的集合，在上引進(jìn)一個(gè)等價(jià)關(guān)系，如下:

關(guān)系“～”是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足：

①自反性 {}～{}

②對(duì)稱性 {}～{}，則{}～{}

③傳遞性 若{}～{}，{}～{}，則{}～{}

等價(jià)關(guān)系～把分成若干個(gè)等價(jià)類不同等價(jià)類里的有理數(shù)基本列是互不等價(jià)的，而在每一個(gè)等價(jià)類里，都可以任選一個(gè)有理數(shù)基本列作為代表，它完全確定了該等價(jià)類

有理數(shù)基本列的集合按等價(jià)關(guān)系“～”劃分的每一個(gè)等價(jià)類稱為一個(gè)實(shí)數(shù)

康托把每一基本序列定義為一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)這樣的序列{}與{}是同一個(gè)實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)|-|在趨向于無窮時(shí)趨向于零

我們用，，…來表示實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)集記作每個(gè)等價(jià)類中的任一數(shù)列{}都稱為該實(shí)數(shù)的一個(gè)代表，即有理數(shù)基本列{}是實(shí)數(shù)的代表當(dāng)且僅當(dāng){}∈

如果基本列{}在有理數(shù)范圍內(nèi)不存在極限，我們就稱以它為代表的等價(jià)類所確定的實(shí)數(shù)為無理實(shí)數(shù)從而，實(shí)數(shù)由有理實(shí)數(shù)和無理實(shí)數(shù)構(gòu)成

(二)Dedekind的實(shí)數(shù)構(gòu)造

Dedekind借助幾何直觀，在直線的啟發(fā)下來定義無理數(shù)他觀察到當(dāng)直線上的點(diǎn)劃分成兩類，使每一類中的點(diǎn)都位于另一類中的點(diǎn)的左邊時(shí)，就必然有一點(diǎn)且只有一點(diǎn)能夠確定此分劃，所以直線上的任何一點(diǎn)與它確定的劃分是一回事，正是這一特性使直線成為連續(xù)不斷的于是，為了建立實(shí)數(shù)的連續(xù)性，Dedekind用集合的觀點(diǎn)分析了直線(實(shí)數(shù)域)連續(xù)性的本質(zhì)，把有理數(shù)全體分為兩類(用大小代替左右次序)，由此來唯一地界定實(shí)數(shù)

若將全體有理數(shù)劃分為非空的兩類：與，中的每一個(gè)數(shù)都小于中的任一個(gè)數(shù)，則稱此為有理數(shù)的一個(gè)分劃，記為(|)如果中有一個(gè)最大數(shù)，或中有一個(gè)最小數(shù)，那么稱此分劃為有理分劃(此時(shí)存在一個(gè)有理數(shù)，即中最大者或中最小者，它確定了此分劃)；如果中沒有最大數(shù)，或中沒有最小數(shù)，那么稱此分劃為無理分劃，并稱(|)為無理數(shù)

全體有理數(shù)再加上如上引進(jìn)的全體無理數(shù)稱為實(shí)數(shù)系，記作我們對(duì)這一系統(tǒng)再進(jìn)行分劃，就與上述對(duì)有理數(shù)系所做的分劃不同了若將全體實(shí)數(shù)劃分為非空的兩類：與，中的每一個(gè)數(shù)都小于中的任一個(gè)數(shù)，則稱此為實(shí)數(shù)系的一個(gè)分劃，記為(|)

Dedekind證明了Dedekind連續(xù)定理，即對(duì)實(shí)數(shù)系的任一分劃(|)，或中有最大數(shù)，或中有最小數(shù)，兩者必居且僅居其一

該定理說明，任何一個(gè)實(shí)數(shù)分劃都可以由一個(gè)實(shí)數(shù)來產(chǎn)生，大于該數(shù)的實(shí)數(shù)為一類，小于該數(shù)的實(shí)數(shù)為一類，至于該數(shù)，則屬于兩類之一這樣類似于直線上點(diǎn)的分割，實(shí)數(shù)也成為一個(gè)連續(xù)的系統(tǒng)，簡稱為實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)