建構(gòu)深度教學(xué) 提升核心素養(yǎng)
——議核心素養(yǎng)下的小學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)

◎王宏偉

(甘肅省天水市清水縣原泉小學(xué)，甘肅 天水 741400)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)過較長時間的學(xué)習(xí)，有了諸多的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷和體驗，獲得了一定的數(shù)學(xué)知識，具備了一定的數(shù)學(xué)技能基礎(chǔ)后，所形成的能夠促進他們?nèi)婧涂沙掷m(xù)發(fā)展的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)，也是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng)既各自獨立，又相互融合，是一個有機的整體“數(shù)學(xué)廣角”的深度教學(xué)暗合了數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實，教師施教時必須有計劃地部署和設(shè)定目標(biāo)，挖掘知識背后蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法，做到心中有數(shù)，從而在教學(xué)時做到游刃有余、深入淺出

一、彰顯數(shù)形結(jié)合的魅力，發(fā)展邏輯推理能力

華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”在數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個主要的研究對象，也是數(shù)學(xué)呈現(xiàn)在學(xué)生面前的兩個主要形式幾何圖形直觀形象，便于理解，代數(shù)方法可操作性強，便于把握在一定條件下，數(shù)與形之間又可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透數(shù)形結(jié)合作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想方法，其目的是既分析數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何圖形所蘊含的意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，從而探求解決問題的思路和方法，使學(xué)生腦洞大開，這對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣十分重要從學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識這一層面來說，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想是非常有必要的隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的不斷深入，數(shù)學(xué)知識本身的抽象性也會逐漸體現(xiàn)出來，而數(shù)形結(jié)合思想就是幫助學(xué)生解讀抽象數(shù)學(xué)知識的工具，使學(xué)生更加全面地認識數(shù)學(xué)知識

又如，在五年級數(shù)學(xué)廣角“植樹問題”的教學(xué)中，難點就是幫助學(xué)生理解樹與樹之間的間隔和種植數(shù)量之間的關(guān)系，如果沒有圖形的直觀幫助，學(xué)生很容易走入誤區(qū)，單純地用乘除法解答問題，忽略了兩個端點要各種上一棵樹這一現(xiàn)實問題，導(dǎo)致最終的運算結(jié)果出現(xiàn)錯誤為降低教學(xué)難度，在突破重難點時，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫線段圖，用線段上的點表示樹，用點與點之間的線段表示間隔，從而形象地解決了三種植樹問題中的間隔數(shù)和種植數(shù)之間的關(guān)系，促進學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，并讓學(xué)生對這部分知識理解深刻，結(jié)合生活實際感受數(shù)學(xué)和實踐的關(guān)系，巧妙地突破了教學(xué)難點數(shù)與形的完美結(jié)合，不管是以形解數(shù)，還是以數(shù)助形，都在推動學(xué)生的思維向深層次邁進，都是為了啟發(fā)學(xué)生從更多角度去思考數(shù)學(xué)問題，不被數(shù)學(xué)問題的表面形式迷惑作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要注重對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的引領(lǐng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在不能單純地用數(shù)量關(guān)系求解的時候，應(yīng)考慮是否能夠轉(zhuǎn)換成圖形來解決問題，反之亦然，借此提高學(xué)生的邏輯推理能力當(dāng)然，不同學(xué)生的思維能力是不同的，教師需要在相關(guān)知識的傳授中制訂個性化的解決方案，讓每一個學(xué)生都能通過思維的發(fā)展感受數(shù)學(xué)知識的樂趣，進而在探究興趣的引導(dǎo)下進行深度學(xué)習(xí)

二、激活假設(shè)思維，搭建數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型是指參照某種事物的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表達出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用價值在于讓學(xué)生徹底吃透一類數(shù)學(xué)題型，而不僅僅是記住某一道題目的解題方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，有很多學(xué)生沒有嘗試去理解問題本身的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，而是通過死記硬背的方式強行記下某道題的答案，此之謂重術(shù)輕道，因小失大而數(shù)學(xué)建模思想就是通過建立數(shù)學(xué)模型解決問題的方法小學(xué)數(shù)學(xué)廣角涉及數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)容有雞兔同籠、植樹問題、鴿巢問題等

“雞兔同籠”是著名的古題，最早出自《九章算術(shù)》，也是具有代表性的題目之一它的解法多樣，也滲透著不同的數(shù)學(xué)思想教材中的列表法和畫圖法為學(xué)生思維的切入降低了難度，并滲透了列舉、猜想和假設(shè)的數(shù)學(xué)思想可列表法和畫圖法受到數(shù)據(jù)的限制，解題過程較為煩瑣，有一定的局限性，在數(shù)量過于龐大的時候，列表法和畫圖法無法成為解答這類問題的首選答題方法這就要求我們的思維上升到數(shù)學(xué)抽象的層面，尋求更全面、更有代表性的解答方法這時，假設(shè)思想下的算術(shù)方法應(yīng)機而生，它既不受限于數(shù)據(jù)的大小，又能將解題方法放大，將解題范圍擴大

在設(shè)計教學(xué)時，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以先假設(shè)籠子里全是雞(或兔)，讓學(xué)生得出矛盾，即假設(shè)后的腿數(shù)比實際腿數(shù)少(或多)，再引導(dǎo)學(xué)生找出假設(shè)與實際問題出現(xiàn)矛盾的原因：一只雞比一只兔少2條腿，然后將所缺失的條件補足，這樣，學(xué)生就可以算出把多少只兔(雞)當(dāng)成雞(兔)了，進而就知道了兔(雞)的只數(shù)教師可以將假設(shè)法解題的思路歸結(jié)為：假設(shè)—出現(xiàn)矛盾—尋找原因—解決矛盾—回答問題教師在幫助學(xué)生梳理了解題思路之后，無論雞兔同籠問題中的數(shù)量擴大了多少倍，學(xué)生都能夠靈活地使用列式法和方程法輕而易舉地得到答案學(xué)生一旦建立起這樣的數(shù)學(xué)模型，思維就有了支撐框架，當(dāng)雞兔同籠問題變式延伸至龜鶴問題、人民幣問題、搶答題問題、運輸中的賠付問題等復(fù)雜的生活問題時，他們都可以不變應(yīng)萬變，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型思想順利解決

在上述教學(xué)預(yù)設(shè)中，學(xué)生接觸到的是生活中的數(shù)學(xué)，觸摸到的是數(shù)學(xué)中的核心，感受到的是數(shù)學(xué)建模思想的浸潤和滲透在經(jīng)歷了有深度、有廣度、有張力的學(xué)習(xí)體驗之后，學(xué)生的思維是活躍的，知識脈絡(luò)是清晰的，知識框架是立體的數(shù)學(xué)建模思想帶給學(xué)生最大的啟發(fā)就是當(dāng)所需條件不足的時候，可以去創(chuàng)造條件，無論問題的形式和提問的方法怎么變化，只要其最終解答的思路和尋求的答案沒有變化，就可以利用所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型去解決

三、降低文本難度，助力數(shù)學(xué)抽象走向深入

數(shù)學(xué)抽象是將具有共同特性的事物集中起來，穿過這些事物的表象，提取事物的本質(zhì)和共性，形成數(shù)學(xué)概念，并且運用這些數(shù)學(xué)概念進一步推理、判斷、發(fā)現(xiàn)事物存在的數(shù)學(xué)規(guī)律數(shù)學(xué)作為一門較為抽象的學(xué)科，抽象是其最基本的表現(xiàn)形式和思維方式學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科抽象性特點的認知水平?jīng)Q定了其思維的深入程度，而思維的深刻性是思維品質(zhì)的重要表現(xiàn)，是衡量人的智力水平的重要指標(biāo)小學(xué)生抽象思維能力不足，為了更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)夯實抽象的基礎(chǔ)，指導(dǎo)抽象的方法，重視抽象的過程，加強學(xué)生的抽象實踐活動，強化對學(xué)生抽象素養(yǎng)的評價和引導(dǎo)

在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以適當(dāng)?shù)赝ㄟ^一些方法降低文本理解難度，使學(xué)生的抽象思維即有縱深度又有活躍度，而不是淺嘗輒止，輕描淡寫，這也不是數(shù)學(xué)深度教學(xué)所期望的降低文本難度的方法有很多，如教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖變抽象知識為直觀感受，再由直觀感受升級為數(shù)學(xué)方法，從而解決問題；又如列舉法、代換法，學(xué)生可透過表象尋求本質(zhì)去解決問題；也可以通過對文本的深度閱讀和理解，尋找題設(shè)和問題之間的聯(lián)系，從而分析解決問題應(yīng)該說，方法的形式不是最關(guān)鍵的，關(guān)鍵是讓學(xué)生能夠理解題意，避免主觀臆斷

“找次品”是人教版五年級“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，這一廣角內(nèi)容研究的問題是：在一堆零件中有一個是次品(次品輕一些)，假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？這個問題具有非常規(guī)的問題模式，其背后又有深刻的中學(xué)知識背景，給師生的教與學(xué)都帶來了很大的挑戰(zhàn)，是數(shù)學(xué)廣角中較有難度的案例自入選教材內(nèi)容以來，它也一直是教學(xué)研究的熱點學(xué)生在初次讀題的時候往往摸不著頭腦，但是在反復(fù)研讀后，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，理解“至少稱幾次能保證找出次品”這句話是解題的關(guān)鍵而“至少稱幾次能保證找出次品”指的是保證能找出次品的最少稱重次數(shù)，而不是用最大稱重次數(shù)來包含這個最小值最少稱重次數(shù)與稱法有關(guān)，而可選稱法又是復(fù)雜多樣的，那么該如何有章法、 可操作地去研究它呢？這似乎讓人沒有頭緒教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過反復(fù)試驗，記錄數(shù)據(jù)，對比分析，得到將一堆待查零件盡量平均分成3組，才可以得出找出次品的最少稱重次數(shù)這樣的練習(xí)將尋找次品的范圍由天平上擴大到天平外，收到“稱一查三”的效果，即稱一次就能對已稱和未稱的部分都進行排查，大大減少了稱的次數(shù)，達到了求最少稱重次數(shù)的目的為了給這一問題增添更多的變化，教師可以在天平的稱重數(shù)量上做出限制，如一方托盤最多能同時容納兩個零件等，讓學(xué)生更加深入地理解“三分法”和“均分法”整個解題思路中，“三分法”和“均分法”的提出和理解離不開對文本的深度解析，離不開師生的反復(fù)試驗，更離不開學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維培養(yǎng)的層層深入和穩(wěn)步推進培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力必須要有科學(xué)、合理的教學(xué)規(guī)劃，教師把握好教學(xué)節(jié)奏才能夠收到更好的教學(xué)效果

四、注重知識生成，拓展直觀想象空間

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決問題的素養(yǎng)其主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用幾何圖形描述問題、分析問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，從而探索出解決問題的思路

人教版六年級數(shù)學(xué)廣角“鴿巢問題”是一個疑難課例，其難點在于：第一，結(jié)論描述的抽象性，教材中的“總有”“至少”兩個關(guān)鍵詞將抽屜原理的多種情況和豐富內(nèi)涵全部概括，直觀上給學(xué)生的理解造成了困難；第二，探究的繁雜性，雖然抽屜原理的結(jié)論是確定的，但其本身又蘊含著隨機性和不確定性，在此之前，學(xué)生所接觸的數(shù)學(xué)問題大多都會給出一個確定的數(shù)值用于運算，而這類涉及抽象思維和邏輯思維的問題，對于學(xué)生而言是一次考驗

課中例題：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆為什么呢？其中的數(shù)學(xué)邏輯是什么？怎樣解釋這種現(xiàn)象？教學(xué)中，教師會組織實踐探究活動，引導(dǎo)學(xué)生初步感知其“原理”，在經(jīng)歷不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆后，讓學(xué)生用畫圖的方式將所有情況記錄下來，再用自己的發(fā)現(xiàn)解釋上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因接著，教師引導(dǎo)學(xué)生感知“最不利的情況”，也就是先平均分，每個筆筒中放1支鉛筆，然后把剩下的1支不管放進哪個筆筒里，一定會出現(xiàn)總有一個筆筒里至少有2支鉛筆的結(jié)果，從而得出結(jié)論：只要鉛筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多1，就總有一個筆筒里至少有2支鉛筆從畫圖的直觀感知，到最不利情況的抽象理解，最后提升至把個物體放進個抽屜，如果÷=……(，，，均為非零自然數(shù)，且<),那么一定有一個抽屜至少可以放進(+1)個物體這樣的教學(xué)設(shè)計細化了知識的出處，突出了知識的生成過程，層層鋪墊，層層遞進，在做到有序思考的同時將學(xué)生的抽象思維和直觀想象能力發(fā)揮到極致，充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容的意義和價值，促進了學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展

人教版三年級“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目的是讓學(xué)生在觀察、操作、猜測等初步體驗活動之上，逐漸探究出更簡潔、更抽象的表達方式，旨在讓學(xué)生感受排列組合思想的同時提升有序、全面思考問題的能力，是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要素材舉例來說：有4支球隊，每兩支球隊踢一場比賽，一共要踢多少場比賽？學(xué)生已有連線解答問題的基礎(chǔ)，不難得出共有6場比賽此時，教師就要重視學(xué)生思考的順序性和表述方式的科學(xué)性，引導(dǎo)學(xué)生：每支球隊不能和自己比賽，所以第一支球隊踢了3場，而第二支球隊踢了2場，第三支球隊踢了1場，一共踢了3+2+1=6(場)比賽再將模型應(yīng)用于拓展練習(xí)：六(1)班有51名學(xué)生，在畢業(yè)座談會上，每個人都要和他人擁抱一次，全班同學(xué)共擁抱了多少次？列式為：50+49+48+47+…+3+2+1，算式如此龐大，令學(xué)生頭疼此時，教師可以讓學(xué)生依托之前的鋪墊，每個人都要和除自己之外的50人擁抱，也就是每人都要擁抱50次，那么51人共擁抱51個50次，即50×51=2550(次)，這時有同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，每個人都算50次的話，這2550次中有一半是重復(fù)計算了的，所以應(yīng)是50×51÷2=1275(次)乘法的引入解決了數(shù)據(jù)太大造成的加法計算的局限性，知識生成水到渠成，使教學(xué)柳暗花明，使學(xué)生有了思考的深度和廣度

五、結(jié)束語

總之，深度教學(xué)是新時代小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方向，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑通過上面幾點分析，我們可知深度教學(xué)深在思想，深在方法，深在知識內(nèi)核，深在學(xué)習(xí)能力，深在教育本質(zhì)對于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，構(gòu)建深度教學(xué)的關(guān)鍵在于尋找一個能夠讓學(xué)生展開探索、深入研究數(shù)學(xué)知識的契機，而“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容恰好符合這個條件數(shù)學(xué)廣角中的題目能充分考驗學(xué)生的思維能力和應(yīng)變能力，是開展深度教學(xué)的最佳素材小學(xué)數(shù)學(xué)教師要基于學(xué)科視野和學(xué)科內(nèi)容，深析教材，優(yōu)化策略，讓新時代的小學(xué)生在有情感、有思考、有創(chuàng)造的教學(xué)中感悟數(shù)學(xué)魅力，體會數(shù)學(xué)價值，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，助力未來發(fā)展