基于廣義框架的概率認(rèn)知邏輯

鄧美林 郭美云

1 引言

概率認(rèn)知邏輯最早由費(fèi)金（R.Fagin）和哈爾彭（J.Y.Halpern）在[7]中提出，他們將概率公理結(jié)合到認(rèn)知邏輯中，提出了概率認(rèn)知邏輯的公理化系統(tǒng)，討論了完全性，可判定性和模型的一些特殊性質(zhì)。巴爾塔格（A.Baltag）、范·本特姆（J.van Benthem）、庫伊（B.P.Kooi）等人分別在[2,3,9]中推進(jìn)了概率認(rèn)知邏輯在概率認(rèn)知?jiǎng)討B(tài)化方面的研究，并提出了另一種概率指派方法。概率認(rèn)知邏輯語義模型可以據(jù)其關(guān)于概率指派的不同方法概括為兩種1這兩類模型分別對(duì)應(yīng)于由德米（L.Demey）和薩科（J.Sack）在文獻(xiàn)[5]中提出的probabilistic relational model和simplified probabilistic relational model。：將概率函數(shù)建立在概率空間上的概率空間認(rèn)知模型，文獻(xiàn)[1,5,7,11]采用了這種方法；將概率函數(shù)建立在每一個(gè)可能世界上的離散概率認(rèn)知模型，文獻(xiàn)[2,3,5,9]采用了這種方法。

采用概率空間認(rèn)知模型的做法無法保證所有公式都被指派概率。因而如果所有給定的命題都有概率，概率空間認(rèn)知模型就不能恰當(dāng)?shù)乜坍嬤@種情形下的概率推理。為了讓模型能夠?yàn)榻o定語言中的所有公式指派概率，文獻(xiàn)[7]定義了一個(gè)關(guān)于原子命題和三個(gè)關(guān)于概率函數(shù)的特殊性質(zhì)2參考文獻(xiàn)[7]的引理3.1，其中的四個(gè)特殊性質(zhì)分別為PMEAS，CONS，OBJ 和UNIF。，前者使得所有命題邏輯公式是可測(cè)的，后者使得認(rèn)知邏輯公式和概率公式是可測(cè)的。但是就模型的可測(cè)問題而言，這一方案中的限定過強(qiáng)了。文獻(xiàn)[5]注意到廣義框架中可允許賦值集與σ代數(shù)3集合X 的σ 代數(shù)是一個(gè)包含X，對(duì)補(bǔ)運(yùn)算和可數(shù)并運(yùn)算封閉的X 的子集的集合。的共通點(diǎn)，并據(jù)這一共通點(diǎn)提供了一個(gè)更好的方案。但是為了解決概率公式的可測(cè)問題，這一方案給出的定義過于繁瑣，模型構(gòu)造的可操作性不強(qiáng)。離散概率認(rèn)知模型為每個(gè)可能世界指派概率，因而不存在概率公式的可測(cè)問題。但離散概率認(rèn)知模型不能在可數(shù)無窮多個(gè)世界的情形下為所有世界指派相等的概率。4假設(shè)可能世界集是可數(shù)無窮的，令主體i 在世界w 上給每個(gè)可能世界指派概率為而這與 這一要求相矛盾。

文獻(xiàn)[4]給出的廣義框架中關(guān)于可允許賦值集的定義與概率空間中的σ代數(shù)的定義相似。廣義框架的英文表述為general frame，可允許賦值集的英文表述為set of admissible valuations?？稍试S賦值集對(duì)運(yùn)算封閉性的要求在一定程度上可以解決[7]指出的公式不可測(cè)問題，同時(shí)它又能解決離散概率認(rèn)知模型面臨的問題。因此，我們嘗試用廣義框架代替普通框架，并將概率指派到可允許賦值集上。我們給出了一個(gè)可靠且完全的概率認(rèn)知邏輯公理系統(tǒng)并表明這一邏輯適用于談?wù)摶旌喜呗圆┺摹?/p>

本節(jié)以后的內(nèi)容安排如下：第二節(jié)介紹基于廣義框架的概率認(rèn)知邏輯的語言、語義和公理系統(tǒng)PELG（Probabilistic Epistemic Logic based on General frame），并通過模型比較，明確了基于廣義框架的概率認(rèn)知模型的優(yōu)勢(shì)；第三節(jié)證明PELG的可靠性和完全性；第四節(jié)運(yùn)用基于廣義框架的概率認(rèn)知模型刻畫混合策略博弈的兩種狀態(tài)；第五節(jié)總結(jié)本文的主要工作和一些有待研究的問題。

2 基于廣義框架的概率認(rèn)知邏輯PELG

2.1 PELG 語言

定義2.1(形式語言LPELG).令A(yù)t表示原子命題集，Ag表示有窮主體集，概率認(rèn)知邏輯公式LPELG定義如下。

其中，a1,...,an和b是任意有理數(shù)，a1Pi(φ1)+a2Pi(φ2)+···+anPi(φn)≥b是基本概率公式，表示主體關(guān)于φ1,...,φn的概率。據(jù)定義，Pi(φ)≥b是概率公式，表示在主體i看來，φ的概率大于等于b。Pi(φ1)≥Pi(φ2)也是概率公式，表示在主體i看來，φ1的概率大于等于φ2的概率。我們稱為項(xiàng)，記為t，當(dāng)括號(hào)在公式最外層時(shí)，通常略去不寫。

如下LPELG公式都可通過以上公式得到定義：φ →ψ，φ ∧ψ，φ ?ψ，?，⊥，

2.2 基于廣義框架的概率認(rèn)知模型

定義2.2(模型).給定有窮主體集Ag和命題邏輯原子公式集At，一個(gè)基于廣義框架的概率認(rèn)知模型M=〈W,Ri,A,μ,V 〉i∈Ag，其中W是非空的可能世界集，Ri是主體i的認(rèn)知可及關(guān)系（等價(jià)關(guān)系），A??(W)是可允許賦值集，即A 是非空集且滿足：

1.X ∈A?WX ∈A；

2.X1,X2,...∈A?5此處定義的可允許賦值集對(duì)可數(shù)并運(yùn)算封閉，是對(duì)廣義框架中的有窮并運(yùn)算封閉條件的推廣，廣義框架的定義可參見文獻(xiàn)[4]第29 頁。如果一個(gè)集合對(duì)可數(shù)并運(yùn)算封閉，那么它一定對(duì)有窮并運(yùn)算封閉。

V:At →A 是命題邏輯原子公式賦值函數(shù)，我們稱之為可允許賦值，μ:Ag×W →(A→[0,1])是概率函數(shù)，為每一個(gè)主體i在每個(gè)世界w上給A 中的每個(gè)世界集指派一個(gè)0 到1 區(qū)間上的有理數(shù)，使得

〈W,Ri,A,μ〉i∈Ag是一個(gè)概率認(rèn)知廣義框架，記為F，我們稱〈W,A〉是一個(gè)可測(cè)空間，稱〈W,A,μ〉是一個(gè)測(cè)度空間。在以下行文中，在不引起混淆的情況下，概率認(rèn)知模型都是指基于廣義框架的概率認(rèn)知模型。

關(guān)于可允許賦值集A 的三個(gè)條件分別表明，可允許賦值集關(guān)于補(bǔ)運(yùn)算、并運(yùn)算、模態(tài)運(yùn)算封閉。概率函數(shù)的前兩個(gè)條件是對(duì)概率的一般性要求。概率函數(shù)的第三個(gè)條件表明，如果對(duì)于任意W的子集W′，任意X ∈A 和任意w,u ∈W′，都有μi,w(X)=μi,u(X)，那么，W′ ∈A。6如果對(duì)于任意w,u ∈W′，都有μi,w(X)= μi,u(X)，那么，對(duì)于任意當(dāng)且僅當(dāng)因此，據(jù)概率函數(shù)的第三個(gè)條件，{w ∈W | w ∈W′} ∈A，即W′ ∈A。換言之，可允許賦值集關(guān)于概率運(yùn)算也是封閉的。

定義2.3(語義).給定概率認(rèn)知模型對(duì)于任意世界w ∈W，LPELG公式在點(diǎn)模型(M,w)上為真記為M,w |=φ，定義如下。

? M,w |=p當(dāng)且僅當(dāng)w ∈V(p)；

? M,w |=?φ當(dāng)且僅當(dāng)

? M,w |=φ ∨ψ當(dāng)且僅當(dāng)M,w |=φ或M,w |=ψ；

? M,w |=Kiφ當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意w′ ∈W，如果Rww′，那么M,w′ |=φ；

? M,w當(dāng)且僅當(dāng)

給定概率認(rèn)知模型M，我們定義φ在模型M 中有效當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意w ∈W，M,w |=φ，記為M|=φ。給定概率認(rèn)知廣義框架F=〈W,Ri,A,μ〉i∈Ag，如果對(duì)于任意M=〈W,Ri,A,μ,V〉i∈Ag，都有M|=φ，那么我們稱φ在概率認(rèn)知廣義框架F上有效，記為F |=φ。如果對(duì)于任意概率認(rèn)知廣義框架F，都有F |=φ，我們稱φ在概率認(rèn)知廣義框架類上有效，記為|=φ。我們用表示并非M,w |=φ，即φ在點(diǎn)模型(M,w)上不為真。在概率認(rèn)知模型中，檢驗(yàn)一個(gè)公式的概率的前提是這一公式在模型中有概率，即公式在模型中可測(cè)（Measurable）。

定義2.4(可測(cè)).給定概率認(rèn)知模型M，令表示公式φ的外延，一個(gè)LPELG公式φ在M 中是可測(cè)的當(dāng)且僅當(dāng)

定理2.1.所有LPELG-公式在概率認(rèn)知模型中都是可測(cè)的。

對(duì)LPELG公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行歸納易證定理2.1。概率認(rèn)知模型定義表明，可允許賦值集關(guān)于補(bǔ)運(yùn)算、并運(yùn)算、模態(tài)運(yùn)算的封閉性要求，分別對(duì)應(yīng)于公式的否定、公式的合取以及公式的模態(tài)。命題邏輯原子公式賦值函數(shù)保證了所有給定的命題邏輯原子公式的外延都在可允許賦值集中。再據(jù)以上封閉性條件，可得所有據(jù)給定的命題邏輯原子公式生成的LPELG認(rèn)知公式（不含概率公式）的外延都在可允許賦值集中。

可允許賦值集同時(shí)也是σ代數(shù)，由可能世界集、可允許賦值集和概率函數(shù)組成一個(gè)概率測(cè)度空間〈W,A,μ〉。概率函數(shù)為σ代數(shù)即可允許賦值集中的每一個(gè)元素指派概率。因此，所有給定的LPELG認(rèn)知公式的外延都被指派了概率。再據(jù)概率函數(shù)的第三個(gè)條件可知，所有LPELG概率公式的外延也都在可允許賦值集中，這使得所有LPELG公式的外延都被指派了概率，據(jù)定義2.4 可知，所有LPELG公式都是可測(cè)的。因而定義2.3 是良定義的。

[5]提出了一個(gè)廣義σ代數(shù)7即general σ algebra，參考文獻(xiàn)[5]定義4.6。，但沒有明確地定義出基于廣義框架的概率認(rèn)知模型。據(jù)命題2.2 可知，這一方案所定義的模型等價(jià)于本文定義的概率認(rèn)知模型。相對(duì)而言，本文定義的概率認(rèn)知模型更為簡潔、易于構(gòu)造。此外，基于廣義框架的概率認(rèn)知模型由于保留了概率空間的性質(zhì)而能夠在可能世界集是可數(shù)無窮的情況下為不同的世界子集指派均等概率。

需要指出，本文沒有對(duì)模型中的廣義框架做具體限定，且普通框架8普通框架指的是〈W,R〉，當(dāng)可允許賦值集A= ?(W)時(shí)，〈W,R,A〉就是一個(gè)普通框架。是廣義框架的特例。在本文的基礎(chǔ)上，可以定義一類具有某些特性的廣義框架，從而擴(kuò)充概率認(rèn)知邏輯公理系統(tǒng)。[4]主要從可允許賦值集的角度定義了幾類廣義框架（第30、第308 頁），比如限定可允許賦值集包含所有有窮集和余有窮集（co finite）、令可允許賦值集是可區(qū)分的（differentiated）等等。此外，還可以定義一些特殊的概率函數(shù)，進(jìn)而討論知識(shí)與概率、信念與概率的互動(dòng)關(guān)系。9為了刻畫某種知識(shí)與概率的互動(dòng)，可以對(duì)概率函數(shù)作如下要求：對(duì)于任意X ∈A，Ri[w] ?X，當(dāng)且僅當(dāng)μi,w(X)=1，可以稱這一性質(zhì)為“知識(shí) 概率一致性”。

2.3 模型的比較

[5] 比較了概率模型和離散概率模型，并指出離散概率模型是概率模型的特例。令M=〈W,ν,V〉是一個(gè)離散概率模型,其中ν是一個(gè)概率函數(shù)，在每個(gè)世界上為每個(gè)世界指派一個(gè)概率。令{ν+(X)=∑x∈X ν(x)| X ∈?(W)}，那么M+=〈W,?(W),ν+,V〉是一個(gè)由離散概率模型M 生成的概率模型。10關(guān)于概率模型與離散概率模型、概率空間認(rèn)知模型和離散概率認(rèn)知模型的關(guān)系的詳細(xì)討論參考文獻(xiàn)[5]第4.2.1節(jié)和4.5.1 節(jié)。同理可得，離散概率認(rèn)知模型是概率空間認(rèn)知模型的特例。本文定義的概率認(rèn)知模型是第三種模型，因此有必要討論一下三者的關(guān)系，本文從模型等價(jià)的角度展開討論。

定義2.5.任給概率認(rèn)知模型M 和M′，M 和M′是LPELG等價(jià)的，若對(duì)于任意LPELG公式φ，M|=φ當(dāng)且僅當(dāng)M′ |=φ，記為M ?M′。

離散概率認(rèn)知模型的概率指派和概率運(yùn)算都比較簡單。[9]最早定義了離散概率認(rèn)知模型，用以討論概率動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯。11在動(dòng)態(tài)的概率認(rèn)知邏輯中通常都采用這一模型，[9]運(yùn)用這一模型討論了三門問題12，[2]運(yùn)用這一模型討論了信息瀑布（informational cascade）。信息瀑布的詳細(xì)討論參考文獻(xiàn)[2]第3 節(jié)。由于離散概率認(rèn)知模型的定義相對(duì)簡單，本文只給出離散概率認(rèn)知模型與基于廣義框架的概率認(rèn)知模型的一個(gè)比較結(jié)果，有興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[3]的定義1、[5]的定義4.4 和[9]的定義1。事實(shí)上，離散概率認(rèn)知模型是基于廣義框架的概率認(rèn)知模型的一個(gè)特例，當(dāng)可允許賦值集A=?(W)時(shí)，這樣的基于廣義框架的概率認(rèn)知模型就等價(jià)于一個(gè)離散概率認(rèn)知模型。

在概率認(rèn)知模型中，我們將概率指派給可允許賦值集中的元素，而不再為每一世界構(gòu)造一個(gè)概率空間，但是每個(gè)世界上的概率指派卻可以是不同的。也就是說，我們預(yù)設(shè)主體在每一個(gè)可能世界上都有一個(gè)相同的可測(cè)空間，但并不預(yù)設(shè)主體在每一個(gè)可能世界上具有相同的測(cè)度空間。因此，概率空間認(rèn)知模型在每個(gè)世界上建立一個(gè)概率空間的要求實(shí)質(zhì)上可以通過概率指派來實(shí)現(xiàn)。我們通過命題2.2 表明，如果所有給定命題的概率都是可測(cè)的，那么采用基于廣義框架的概率認(rèn)知模型來定義語義更為簡潔，而這一模型與概率空間認(rèn)知模型具有同等的刻畫能力。

定義2.6(概率空間認(rèn)知模型).給定有窮主體集Ag和命題邏輯原子公式集At，概率空間認(rèn)知模型Mu是一個(gè)四元組〈W,Ri,P,V〉i∈Ag，其中W是非空的可能世界集，Ri是主體i的認(rèn)知可及關(guān)系（等價(jià)關(guān)系），V:At →?(W)是命題邏輯原子公式賦值函數(shù)，Pi,w=〈Si,w,Ai,w,ξi,w〉是概率空間，其中：

?Si,w ?W是主體i在世界w上的樣本空間；

?Ai,w是Si,w上的σ代數(shù)；

定義2.7.概率空間認(rèn)知模型Mu具有可測(cè)性當(dāng)且僅當(dāng)存在?(W)上的σ代數(shù)A，使得V:At →A，并且對(duì)于任意i ∈Ag，任意w ∈W，

概率空間認(rèn)知模型的可測(cè)性定義最早出現(xiàn)在[5]的定義4.6，[5]定義的廣義σ代數(shù)A只能保證命題邏輯公式和認(rèn)知邏輯公式是可測(cè)的，為了使得概率公式在模型中是可測(cè)的，[5]對(duì)概率空間Pi,w做了限定。與此不同，定義2.7 將類似的限定增加到廣義σ代數(shù)的定義中。

命題2.1.所有LPELG-公式在具有可測(cè)性的概率空間認(rèn)知模型中都是可測(cè)的。

概率空間認(rèn)知模型要求在每一個(gè)可能世界上為每一個(gè)主體構(gòu)造一個(gè)概率空間Pi,w，相應(yīng)地，概率公式的語義定義要求為公式φ的外延與一個(gè)樣本空間Si,w構(gòu)成的交集指派概率。在基于廣義框架的概率認(rèn)知模型中，概率指派針對(duì)的是可允許賦值集中的元素，因而不用考慮不同的概率空間問題，概率被指派給每個(gè)公式的外延，而不用再求交集。并且，命題2.2 表明，如果給定命題的概率都是可測(cè)的，那么基于廣義框架的概率認(rèn)知模型與概率空間認(rèn)知模型具有同等的刻畫能力。

2.4 PELG 公理系統(tǒng)

定義2.8 (PELG 公理系統(tǒng)).PELG 是一個(gè)包含如下公理模式和變形規(guī)則的證明系統(tǒng)。

Taut所有經(jīng)典命題邏輯重言式例示

本文用?PELGφ表示φ在PELG 中是可演繹的，也稱φ是PELG 的定理。PELG中φ的一個(gè)演繹指的是一個(gè)有窮長度的公式序列，序列最后的公式是φ，序列中的任一公式或者是PELG 的公理，或者是運(yùn)用PELG 的某一規(guī)則從序列中前面的公式得到的。在不引起混淆的情況下，我們都用?表示?PELG。

易證如下命題：

命題2.3.PELG 定理和導(dǎo)出規(guī)則：

1.Pi(⊥)=0；

2.Pi(?φ)=1-Pi(φ)；

3.?φ ?ψ ? ?Pi(φ)=Pi(ψ)。

3 可靠性和完全性

定理3.1(可靠性).對(duì)于任意LPELG-公式φ，?φ ? |=φ。

據(jù)語義定義，可證所有PELG 公理在任意概率認(rèn)知模型M 中是有效的，所有PELG 規(guī)則在概率認(rèn)知模型M 中保持有效性。13一個(gè)規(guī)則保持有效性當(dāng)且僅當(dāng)據(jù)這一規(guī)則從有效式只能推出有效式?？蓞⒖糩6–8]中的相關(guān)證明，由于篇幅所限，這里略去證明。

定義3.1(閉包).任給LPELG公式φ，φ的閉包c(diǎn)l(φ)指的是使得φ ∈cl(φ)且滿足如下條件的最小公式集：

? 如果ψ ∈cl(φ)，那么Sub(ψ)∈cl(φ)；14Sub(φ)表示φ 的所有子公式的集合。

? 如果ψ ∈cl(φ)并且ψ不是一個(gè)形如?φ的公式，那么?ψ ∈cl(φ)。

定義3.2(Φ的極大一致集).令Φ為某LPELG公式的閉包，Γ是Φ的極大一致集當(dāng)且僅當(dāng)且如果Γ′ ?Φ且Γ??！洌敲处！??⊥。

將典范模型限制在公式的閉包上，是因?yàn)楣介]包中的公式是有窮多的。引理3.2 表明，對(duì)于任意有窮且一致的公式集，一定存在滿足典范要求的概率函數(shù)。然而，針對(duì)一個(gè)無窮且一致的公式集，可能不存在這樣的概率函數(shù)。比如，沒有概率函數(shù)能夠滿足公式集{Pi(p)<1}∪{Pi(p)≥r |r <1}。由此可知，PELG 相對(duì)于概率認(rèn)知模型沒有緊致性，進(jìn)而PELG 沒有強(qiáng)完全性。

引理3.3(典范性).令Φ 是某LPELG-公式的閉包，Φ 的典范模型Mc是一個(gè)概率認(rèn)知模型。

證明.易證是等價(jià)關(guān)系，據(jù)典范模型定義，μc是一個(gè)概率函數(shù)，據(jù)引理3.2，滿足典范要求的μc是存在的，其余顯然滿足概率認(rèn)知模型定義。

引理3.4(真值引理).令Φ 為某LPELG-公式的閉包，令是Φ 的典范模型。對(duì)于任意wc ∈Wc，任意公式φ ∈Φ：φ ∈wc當(dāng)且僅當(dāng)

[7]提出了一種證明概率認(rèn)知邏輯完全性的方法，這一方法的核心思想仍然是構(gòu)造一個(gè)真值引理，使得任意概率認(rèn)知邏輯公式在一個(gè)極大一致集中當(dāng)且僅當(dāng)這一公式在這一極大一致集上可滿足。在[7]的基礎(chǔ)上，我們定義了一個(gè)典范的概率認(rèn)知模型，命題3.1.8 表明，對(duì)于滿足一定條件的概率公式，我們可以將這一公式的概率分配到閉包中的所有極大一致集上。而在真值引理的證明中，我們根據(jù)零項(xiàng)公理將這一結(jié)論推廣到任意概率公式。進(jìn)而根據(jù)概率公式在極大一致集中出現(xiàn)與否，典范的概率函數(shù)為閉包中的所有極大一致集指派概率，閉包中的任意概率公式就與典范的概率函數(shù)聯(lián)系了起來。為了證明典范的概率函數(shù)是存在的，我們提出并證明了概率函數(shù)存在引理，同時(shí)表明典范概率認(rèn)知模型是良定義的。

定理3.2 (弱完全性).概率認(rèn)知邏輯PELG 相對(duì)于概率認(rèn)知廣義框架類是弱完全的：對(duì)于任意LPELG-公式

證明.任給LPELG公式φ，令那么{?φ}是一致的，令Φ 為{?φ}的閉包，據(jù)林登鮑姆引理，{?φ}是Φ 的某個(gè)極大一致集Γ 的子集，再據(jù)真值引理，存在Φ 的典范模型Mc，使得據(jù)引理3.3，Mc是一個(gè)概率認(rèn)知模型，因此，

4 應(yīng)用

在一些策略式博弈中，沒有純策略納什均衡或有多個(gè)純策略納什均衡，但存在唯一的混合策略納什均衡。我們用概率認(rèn)知邏輯為如下協(xié)同博弈（Coordination Game）的混合策略提供一個(gè)邏輯解釋。

例1(協(xié)同博弈).一對(duì)情侶打算安排他們的娛樂活動(dòng)，或者聽音樂會(huì)，或者看電影。女士偏好音樂會(huì)，男士偏好電影，但他們都寧愿在一起而不愿分開。假設(shè)支付矩陣如圖1。

這一博弈有兩個(gè)純策略納什均衡，分別是兩人都選擇聽音樂會(huì)和兩人都選擇看電影。在這種情形下，如果有一人先進(jìn)行公開決策，則另一個(gè)人選擇跟隨是占優(yōu)策略。而如果兩人同時(shí)決策，那么這里得到的納什均衡并沒有提供采取占優(yōu)決策的依據(jù)。如果主體都考慮了策略的概率指派，則雙方就采取了混合策略。17混合策略的嚴(yán)格定義及詳細(xì)討論可參考[10]。下面我們用概率認(rèn)知模型來描述協(xié)同博弈的混合策略及主體的認(rèn)知狀態(tài)。

圖1: 協(xié)同博弈支付矩陣

首先構(gòu)造一個(gè)概率認(rèn)知模型：給定主體集Ag={1,2}和命題邏輯原子公式集At={C1,C2,M1,M2}，依次表示主體1 選擇聽音樂會(huì)，主體2 選擇聽音樂會(huì)，主體1 選擇看電影，主體2 選擇看電影。這里我們用主體1 表示男士，用主體2 表示女士。令W={wn |n ∈N}，R1=R2=W2，令W4k+1={w4k+1∈W |k ∈N}，W4k+2={w4k+2∈W | k ∈N}，W4k+3={w4k+3∈W | k ∈N}，W4k+4={w4k+4∈W | k ∈N}。令A(yù) 是基于{W4k+1,W4k+2,W4k+3,W4k+4}據(jù)可允許賦值集運(yùn)算封閉性要求構(gòu)造而成的一個(gè)可允許賦值集，使得{W4k+1,W4k+2,W4k+3,W4k+4}?A。對(duì)于任意X ∈A，任意s,t ∈{1,2,3,4}，μi,w4k+s(X)=μi,w4k+t(X)。且對(duì)于任意X ∈A，存在w ∈W，使得對(duì)于任意q ∈[0,1]∩Q，都有μi,w(X)=q。V(C1)=W4k+1∪W4k+2，V(M1)=W4k+3∪W4k+4，V(C2)=W4k+1∪W4k+3，V(M2)=W4k+2∪W4k+4。M=〈W,Ri,A,μ,V〉i∈Ag，其認(rèn)知關(guān)系如圖2（省略了自反和傳遞關(guān)系箭頭）。

圖2: 概率認(rèn)知模型M 中的認(rèn)知關(guān)系

在沒有達(dá)到混合策略納什均衡之前，主體關(guān)于自己和對(duì)方的策略的概率是不確定的。這一點(diǎn)在模型中被描述為：對(duì)于任意主體i,j ∈Ag，任意c ∈[0,1]∩Q，都存在w ∈W使得M,w |=(Pj(Ci)=c)∧(Pj(Mi)=1-c)。關(guān)于主體的認(rèn)知狀態(tài)，易證。這表明，在這一博弈中，博弈雙方都知道自己采取了混合策略，也知道對(duì)方采取了混合策略。

令主體1 選擇聽音樂會(huì)的概率為a，主體2 選擇聽音樂會(huì)的概率為b。在混合策略納什均衡中，主體2 的混合策略滿足等式1·(1-a)+0·a=0·(1-a)+2·a，主體1 的混合策略滿足等式2·(1-b)+0·b=0·(1-b)+1·b?？杀硎緸楣剑?/p>

圖3: 協(xié)同博弈納什均衡的概率認(rèn)知模型ME

由此可知，在模型ME的任意可能世界上，任一策略的概率是確定的，也就是說，協(xié)同博弈有且僅有一個(gè)混合策略納什均衡。同時(shí)，模型ME還表明，這個(gè)唯一的納什均衡是兩個(gè)主體的普遍知識(shí)。例1 還表明，概率認(rèn)知模型可以借用認(rèn)知算子和概率算子的疊加刻畫主體對(duì)一個(gè)事件的概率不確定性。

5 結(jié)論與展望

本文在[4] 和[7] 的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)將概率函數(shù)建立在可允許賦值集上的概率認(rèn)知模型，它為概率認(rèn)知模型的可測(cè)問題提供了一種解決方案。這是繼概率空間認(rèn)知模型和離散概率認(rèn)知模型后的第三種概率認(rèn)知模型。本文比較了三種模型并指出，如果所有給定命題的概率都是可測(cè)的，與概率空間認(rèn)知模型和離散概率認(rèn)知模型相比，基于廣義框架的概率認(rèn)知模型在模型構(gòu)造和語義定義上具有一定優(yōu)勢(shì)。

本文給出了一個(gè)基本的概率認(rèn)知邏輯公理系統(tǒng)PELG，在未來的研究中可以考慮對(duì)PELG 進(jìn)行擴(kuò)張。文獻(xiàn)[4]指出某些特殊的模態(tài)邏輯公式在一類特殊的廣義框架上是有效的，文獻(xiàn)[7]定義了一些特殊的概率函數(shù)并討論了一些特殊的概率認(rèn)知公理，這些在基于廣義框架的概率認(rèn)知邏輯中同樣可以實(shí)現(xiàn)。本文在[7]和[8]的基礎(chǔ)上，定義了一個(gè)典范概率認(rèn)知模型，提出并證明了概率函數(shù)存在引理。存在引理是重要的，它保證了典范的概率函數(shù)是良定義的，但這一引理在已有文獻(xiàn)中沒有被提及，更沒有得到嚴(yán)格的證明。本文采用典范模型的方法證明了PELG相對(duì)于概率認(rèn)知廣義框架類是可靠且完全的。

最后，本文運(yùn)用基于廣義框架的概率認(rèn)知模型刻畫了混合策略博弈的初始狀態(tài)和混合策略博弈納什均衡。通過分析可知，基于廣義框架的概率認(rèn)知模型可以描述混合策略博弈初始狀態(tài)中主體的認(rèn)知狀態(tài)和概率的不確定性，也能夠描述混合策略博弈納什均衡狀態(tài)下主體的普遍知識(shí)和概率的確定性。這為進(jìn)一步運(yùn)用概率認(rèn)知邏輯研究混合策略博弈的認(rèn)知變化和概率更新奠定了基礎(chǔ)。

本文僅僅是基于廣義框架的概率認(rèn)知邏輯研究的一個(gè)初步嘗試和開端，在這方面還有許多問題有待研究。在基礎(chǔ)研究方面，未來的工作包括但不限于研究基于特殊廣義框架的概率認(rèn)知邏輯、基于鄰域語義廣義框架的概率認(rèn)知邏輯、動(dòng)態(tài)的基于廣義框架的概率認(rèn)知邏輯以及概率認(rèn)知邏輯中公共知識(shí)的作用。在運(yùn)用研究方面，可以運(yùn)用這一邏輯討論混合策略博弈如何從初始狀態(tài)達(dá)成混合策略納什均衡、討論概率悖論和貝葉斯決策問題等等。