反推數(shù)學(xué)與無窮

康孝軍

無窮一直以來都是數(shù)學(xué)哲學(xué)中的一個基本問題：數(shù)學(xué)中無窮集合或?qū)ο笫欠翊嬖冢恳徊糠秩苏J(rèn)為：不存在。比如：嚴(yán)格有窮主義者就認(rèn)為我們接觸的時空與事物都是有窮的，因此僅僅存在有限的數(shù)學(xué)對象。自然，另一種可能的回答就是：數(shù)學(xué)中存在無窮對象。事實(shí)上，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)工作者都或多或少涉及全體自然數(shù)集合等無窮對象。遺憾的是，不同數(shù)學(xué)流派的觀點(diǎn)并未令彼此信服：一方面，嚴(yán)格有窮主義無法滿意地解釋無窮數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性；另一方面，如何認(rèn)識各種無窮則是一個巨大的難題。

事實(shí)上，這種對無窮的探討不僅具有哲學(xué)意義，也受到眾多數(shù)學(xué)家的關(guān)注。希爾伯特甚至指出：“關(guān)于無限的本性的根本性的闡明，并非只屬于專門科學(xué)興趣的范圍，而是人類理智的尊嚴(yán)本身所需要的”（[20]，第212 頁）。而隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，作為數(shù)理邏輯中熱門的反推數(shù)學(xué)綱領(lǐng)給出了研究這一難題的新視角。本文在簡述數(shù)學(xué)中的無窮概念后，將利用“反推”這一方法來探討經(jīng)典數(shù)學(xué)需要多大的無窮。

1 數(shù)學(xué)中的無窮概念

經(jīng)典數(shù)學(xué)中包含無窮且大多數(shù)數(shù)學(xué)家日常工作中都會涉及自然數(shù)全集等無窮概念，因此，本節(jié)將暫時擱置無窮的知識論等問題，探討數(shù)學(xué)實(shí)踐中可能涉及的各種無窮概念。具體來說，首先，對潛無窮和實(shí)無窮進(jìn)行了區(qū)分與簡要述評。其次，梳理了數(shù)學(xué)實(shí)踐中無窮概念，并指出康托繼承了波爾查諾（B.Bolzano）的無窮概念思想。

1.1 潛無窮與實(shí)無窮

早在古希臘時代，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家就開始對無窮這一概念的探討。阿那克西曼德（Anaximander）在探討事物的本質(zhì)時就涉及無窮這一概念。他認(rèn)為事物的本質(zhì)是“……無窮或者無限，一個永恒不朽的實(shí)體。萬物由這一實(shí)體產(chǎn)生，又歸于它”（[22]，第18 頁）。阿那克西曼德沒有對這種做出詳細(xì)的解釋，但哲學(xué)史家梯利（F.Thilly）指出：這里涉及的無限是一個具體的無限實(shí)體，而并非抽象的無限或無窮（[22]，第20 頁）。無疑，這種形而上學(xué)的無窮顯然不是數(shù)學(xué)中抽象的無窮概念。

亞里士多德對這種抽象的無窮概念進(jìn)行了詳細(xì)闡述。他在《物理學(xué)》一書的第三章中第4–8 節(jié)涉及無窮這一抽象概念。首先，亞里士多德在第六節(jié)中對“存在”進(jìn)行了區(qū)分：“事物被說成‘存在’，一種是潛能的存在，另一種是現(xiàn)實(shí)的存在”（[28]，第85 頁）?；谶@一點(diǎn)，無窮也有兩種可能的理解：潛在的或者現(xiàn)實(shí)的。不過，亞里士多德贊同的是潛無窮這一無窮概念。他進(jìn)一步指出：“量在現(xiàn)實(shí)上不是無限的，但分起來卻是無限的（駁斥‘不難再分的線’是不難的），因此，只有潛能的無限……不會有現(xiàn)實(shí)的無限……”（[28]，第85 頁）。那么潛無窮究竟是什么呢？亞里士多德認(rèn)為：“雖然一般來說，無限是這樣的：可以永遠(yuǎn)一個接著一個地被取出，所取出的每一個都是有限的，但總是不同的……不是說它們是一個已產(chǎn)生的實(shí)體，而是說它們永遠(yuǎn)處在產(chǎn)生或滅亡的過程中”（[28]，第86 頁）。

我們可以從算術(shù)的角度來理解潛無窮這一基礎(chǔ)概念。無窮，顧名思義，就是有數(shù)不盡的對象。亞里士多德所表述的潛無窮概念，就類似于算術(shù)中的后繼公理：對于每個自然數(shù)n，都存在一個直接后繼n+1。這一后繼過程會不斷地重復(fù)下去，但永遠(yuǎn)無法完成，就是一種潛無窮的思想。潛無窮的觀點(diǎn)比較能令人理解的，類似于計數(shù)，我們可不斷地數(shù)下去，有這樣一個潛在的無窮可能的過程。需要注意的是，亞里士多德這里的“無窮”更多的是指一種副詞的用法1無窮這一概念在古希臘時期有三種不同的理解（[8]）：(1)名詞；(2)形容詞；(3)副詞。名詞是指形而上學(xué)或神學(xué)上的無窮這一實(shí)體概念。而亞里士多德否認(rèn)實(shí)無窮的存在，故無窮不是某事物的屬性，即不是形容詞。亞里士多德使用的實(shí)際是“無窮地”這一副詞形式：可以無窮地計數(shù)下去或無窮地分下去等。。事實(shí)上，亞里士多德之后，長達(dá)約兩千年之間，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家中流行的都是潛無窮的觀點(diǎn)。

實(shí)無窮則是指一個已經(jīng)完成了的無窮。以自然數(shù)為例，實(shí)無窮就是指有一個包含所有自然數(shù)的集合。而對于實(shí)無窮而言，從亞里士多德開始，直到康托之前，在西方文化中絕大部分的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都對其敬而遠(yuǎn)之。甚至可以說：大部分人還明確地反對實(shí)無窮。比如：高斯（J.C.F.Gauss）在1831 年就曾認(rèn)為：“我抗議把無窮大作為一個完成的東西來使用，這在數(shù)學(xué)中是絕不允許的。無窮僅僅是一種說話方式而已?！保╗7]）直到康托集合論的出現(xiàn)，實(shí)無窮才有了一個較為可靠的基礎(chǔ)。之后，假定實(shí)無窮存在的公理化集合論系統(tǒng)ZFC 更是成為當(dāng)今數(shù)學(xué)中一個廣為接受的基礎(chǔ)系統(tǒng)。

除了西方思想中的無窮觀點(diǎn)之外，無窮這一思想在中國古代的著作中也有一定的體現(xiàn)，比如《莊子·天下篇》中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。這種不斷取其一半，永不停止的思想就是一種潛無窮的思想。國內(nèi)部分學(xué)者，如杜國平還認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)著作，如《九章算術(shù)·圓田術(shù)注》中也涉及實(shí)無窮的思想。（[21]）劉徽在該注中將求圓面積的方法表述如下：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！倍艊秸J(rèn)為該方法中前面“割之又割”體現(xiàn)了潛無窮的思想，而“以至于不可割”則表示完成了，涉及到實(shí)無窮概念。不過，對于這一點(diǎn)，也有部分學(xué)者有不同的理解，例如鞠實(shí)兒和張一杰就認(rèn)為這里僅涉及有窮可分的概念。這里表述的事實(shí)上是如下命題：“一個有窮物體經(jīng)過有窮次分割，將終止于有窮大小的不可分割的部分”（[24]）。但不管是那一種觀點(diǎn)，不同于西方對無窮概念的探討，這些著作并未把無窮當(dāng)成一個抽象的對象進(jìn)行系統(tǒng)而詳細(xì)的進(jìn)一步研究。在這一點(diǎn)上，對無窮的研究類似于中國的邏輯學(xué)科，側(cè)重于實(shí)際例子，而未進(jìn)行系統(tǒng)理論探討。這可能也與古中國數(shù)學(xué)重視實(shí)際的應(yīng)用，輕視理論構(gòu)建的傳統(tǒng)有關(guān)。

1.2 波爾查諾的無窮概念

確切地說，康托并不是第一個對實(shí)無窮進(jìn)行系統(tǒng)研究的數(shù)學(xué)家。事實(shí)上，在其之前，波爾查諾就在《無窮悖論》中開始對無窮的研究（[1]）。

波爾查諾在給出了“集合”2確切地說，波爾查諾首先給出的是“聚集”（aggregate）的概念，然后才給出集合（德語mengen，英譯set）的概念（[1]，第76–77 頁）。聚集與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的術(shù)語中“類”的概念類似，就是把良定義（well defined）的事物或數(shù)字聚在一起。在波爾查諾看來，集合概念與聚集概念的差異在于，集合中個體的排列方式不會影響集合本身。簡言之，集合是指去掉排列順序差異的聚集。也有學(xué)者指出兩者的不同之處在于是否“結(jié)構(gòu)化”（[8]，第214 頁）：集合具有這一特征，進(jìn)而能識別。的概念之后，肯定了無窮集合的存在，如所有“絕對命題和真理”的集合。波爾查諾進(jìn)而指出存在不同大小的實(shí)無窮集合。他考慮了兩種不同的比較集合大小的方法（[1]，第96 頁）：(1)配對的方法，也就是“一一對應(yīng)”的方法；(2)真子集的方法。第一種是之后被康托采用采用的方法，第二種則是：若集合A是集合B的真子集，那么A是比B小的。波爾查諾通過一些數(shù)學(xué)實(shí)例發(fā)現(xiàn)，這兩種不同的方法對于無窮集合而言，似乎存在著矛盾。考慮一個簡單的例子，令A(yù)為閉區(qū)間[0,1]之間的所有實(shí)數(shù)的集合，B為[0,3]中所有實(shí)數(shù)的集合。利用方法(1)，每個A中的元素x都對應(yīng)B中的3x，兩集合大小是一致的。但利用方法(2)，A是B的真子集，A應(yīng)該比B小。這兩種方法導(dǎo)致的結(jié)果是矛盾的。基于此，波爾查諾認(rèn)為這兩種方法對于無窮集合而言，并不都適用。

遺憾的是，波爾查諾最終采用的是方法(2)，即真子集，來比較兩無窮集合的大小。在波爾查諾看來，方法(1)僅僅適用于有限集合。對于無窮集合而言，“不僅進(jìn)行計數(shù)的我們永遠(yuǎn)都不會到達(dá)A中的最后一項(xiàng)，而且由于無限集定義的作用，根本就沒有這樣的最后一項(xiàng)”（[1]，第99 頁），所以“一一對應(yīng)”會失效。鑒于此，無窮集合僅用真子集的方法來比較大小，這一矛盾也就根本不會出現(xiàn)。

無疑，波爾查諾對無窮的研究是跨時代的進(jìn)步，第一次將無窮概念置于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中進(jìn)行探討，無窮集合比較的兩種不同方法也給康托的研究打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)。但是其無窮概念存在一些局限性，具體而言，有兩點(diǎn)問題：一方面，他并未完全區(qū)分潛無窮和實(shí)無窮的概念。另一方方面，其無窮集合比較大小的方法局限在有限集合的思維。

首先，他并未完全從潛無窮概念中解放出來。仔細(xì)分析波爾查諾對方法(1)的反駁，不難發(fā)現(xiàn)他對實(shí)無窮的理解還不完全徹底，即并未完全區(qū)分實(shí)無窮和潛無窮。雖然他一方面承認(rèn)了自然數(shù)全體的集合、[0,1]區(qū)間的實(shí)數(shù)集合等為實(shí)無窮的集合，但在比較集合大小的過程中，卻依然將上述集合視為潛無窮的。在這種潛無窮的觀點(diǎn)下，任意無窮集合A和B都是潛無窮，都永遠(yuǎn)無法到達(dá)最后的元素。在他看來，如果利用“一一對應(yīng)”的方法，那么“B永遠(yuǎn)不會缺少與A的對象相配對這一事實(shí)”（[1]，第99 頁），從而會導(dǎo)致A和B大小相等這一謬誤。波爾查諾正是沒有意識到自己對這兩者的混淆，從而錯誤地根據(jù)這種相等性來否定了方法(1)，視上一段中的矛盾為這一方法從有限集合不當(dāng)擴(kuò)展到無限集合時導(dǎo)致的“幻覺”。

其次，無窮集合大小比較方法局限在有限集合的思維。波爾查諾雖然提出了兩種不同比較的方法，遺憾的是，其并沒有跳出有限集合的思維，采用了真子集這一想法繼續(xù)來比較無窮集合。事實(shí)上，在波爾查諾之前，無窮的大小關(guān)系已有一定的認(rèn)識，如萊布尼茲就認(rèn)為“總有比至無窮遠(yuǎn)更大的全體”3英文為“there are always wholes greater than others ad infinitum”，轉(zhuǎn)引自[7]。不過萊布尼茲并不贊同實(shí)無窮。他是基于此來反對無窮，認(rèn)為無窮只是一個過程。。波爾查諾雖然意識到利用一一對應(yīng)關(guān)系，兩無窮集合的整體和部分之間可能相等。但基于有限集合的大小關(guān)系，錯誤地因?yàn)檫@種相等性而放棄了一一對應(yīng)關(guān)系來比較無窮集合的大小。在他看來，一一對應(yīng)雖然可以比較兩個集合，但無法保證其相等性。

當(dāng)然，應(yīng)當(dāng)指出的是：真子集的比較方法可能符合人們的直覺。如在對上世紀(jì)九十年代的澳洲大學(xué)數(shù)學(xué)系四十多名學(xué)生的調(diào)查中，采用真子集方法的比例為43%，差不多是一一對應(yīng)方法的比例（23%）的兩倍（[8]，第223 頁）。作為第一個系統(tǒng)探索無窮的數(shù)學(xué)家，波爾查諾選擇了這種直覺的方法，這無疑是可以理解的。但正是這一方法的遺漏導(dǎo)致波爾查諾錯失了建立類似康托的無窮樂園的機(jī)會。

1.3 康托的無窮概念

康托之前，實(shí)無窮這一概念受到眾多反對的一個原因是：實(shí)無窮集合與普通的有限集合的諸多方面都不太一樣，如果完全套用有限集合的性質(zhì)，會產(chǎn)生矛盾。比如，亞里士多德就使用了該理由拒絕實(shí)無窮：正常兩個有限集合相加之和肯定是大于其中任意一個有限集合的。但對于實(shí)無窮而言，其與有限集合之和還是實(shí)無窮，不具有這種大小關(guān)系。（[28]）

希爾伯特曾以“希爾伯特旅館”這一形象而生動的例子來揭示這兩者的差異性：這個理想中的旅館有無窮多個房間且都住滿了人，一位新的旅客是否還能住進(jìn)去？顯然，不同于有窮旅館，只需要每個房間的客人搬到相鄰的房間即可。更進(jìn)一步，再來奇數(shù)多位新的旅客呢？依然可以：只需n號房間搬到2n號即可。類似地，偶數(shù)多位也可以，自然數(shù)多位也就可以了。兩倍的自然數(shù)和自然數(shù)好像是一樣多的？傳統(tǒng)的加法并不適應(yīng)用自然數(shù)這一無窮集，這就要求對無窮集合的大小進(jìn)行思考。

康托通過一一對應(yīng)的方法詳細(xì)探討了集合的大小這一概念，并用集合的基數(shù)這一概念來表示其大小。一一對應(yīng)的思想其實(shí)特別容易理解：當(dāng)我們在生活中比較兩種事物多少的時候，除了利用兩者的具體數(shù)目外，還有另一種簡單的方法：一個個比較。例如，比較裝滿蘋果和橙子的兩筐水果數(shù)量時，每人依次從兩個筐中拿出水果，直到某一方無法拿出，此時無法拿出的一方就是相對來說數(shù)量少的?？低杏纱顺橄蟪鰜怼耙灰粚?yīng)”的核心概念：“如果按照某種法則，它們彼此之間能夠建立一種關(guān)系，使得一個集合中每個元素有且僅有另一個集合的元素與之對應(yīng)”（[23]，第64 頁）。

利用一一對應(yīng)關(guān)系，康托給出了基數(shù)相等和小于等于這兩個概念。如果兩個集合是一一對應(yīng)的，那么其基數(shù)就是相等的。也就是說，若兩集合間存在一個雙射函數(shù)，則其基數(shù)相同。如雙射函數(shù)f(x)=2x就保證了全體偶數(shù)和全體自然數(shù)的基數(shù)相等。這意味著，對于無窮集合而言，部分并不是一定小于整體的，兩者基數(shù)可能相等。如果一個集合A的基數(shù)與集合B的子集的基數(shù)相等，則稱A的基數(shù)小于等于B的基數(shù)。進(jìn)而可以進(jìn)一步定義小于關(guān)系：小于等于關(guān)系且并非相等關(guān)系。利用基數(shù)的相等和小于關(guān)系，就可以比較兩個無窮集合之間的大小了。4這種大小比較還需要一些預(yù)設(shè)，比如在ZFC 中，只有在預(yù)設(shè)選擇公理的前提下，任意兩集合的基數(shù)才是可比較的。

利用基數(shù)的概念，康托對實(shí)無窮的層次進(jìn)行了初步劃分，稱有限集合和基數(shù)等于自然數(shù)集合的集合為可數(shù)集。顯然，奇數(shù)、偶數(shù)集合都是可數(shù)無窮集合。事實(shí)上，康托進(jìn)一步證明了有理數(shù)、甚至可數(shù)多個可數(shù)集的并也還是可數(shù)集。此外，康托利用對角線方法證明了實(shí)數(shù)集合并不是可數(shù)無窮集。全體實(shí)數(shù)集合和[0,1)之間的實(shí)數(shù)存在一一對應(yīng)關(guān)系，故這兩個集合的基數(shù)相等。那是否還有比實(shí)數(shù)更大的無窮集合呢？康托利用反證法證明了：任意集合的基數(shù)都是小于其冪集的基數(shù)的。據(jù)此，有以下這些不同大小的無窮集合：(1)全體自然數(shù)的集合和全體實(shí)數(shù)的集合；(2)對于一個無窮集合A，A和A的冪集（其基數(shù)比A更大）。

當(dāng)然，隨著集合論的不斷發(fā)展，不可數(shù)基數(shù)有了更豐富的層次結(jié)構(gòu)：如不可達(dá)基數(shù)、可測基數(shù)、武?。╓oodin）基數(shù)和強(qiáng)緊（strong compact）基數(shù)等。由于非集合論工作者很少接觸上述基數(shù)，這里不再詳述，有興趣的讀者可參考[5]。

2 反推數(shù)學(xué)與無窮

反推數(shù)學(xué)是弗雷德曼（H.M.Friedman）和辛普森（S.G.Simpson）所倡導(dǎo)的一種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)新綱領(lǐng)。該綱領(lǐng)是從經(jīng)典數(shù)學(xué)所需的定理“反推”公理。簡言之，就是在基底系統(tǒng)下，證明定理與公理（集）的等價性。一般而言，反推數(shù)學(xué)是在二階算術(shù)的子系統(tǒng)中進(jìn)行的，特別是“五大”子系統(tǒng)（RCA0，WKL0，ACA0，ATR0和5反推數(shù)學(xué)及“五大”子系統(tǒng)等詳細(xì)介紹可參考[16]，初步了解可參考[25]。。大部分經(jīng)典數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)定理都在RCA0中可證或者在以RCA0為基底系統(tǒng)下，等價于其他“五大”子系統(tǒng)之一。作為一種希爾伯特綱領(lǐng)的部分實(shí)現(xiàn)，反推數(shù)學(xué)無疑繼承了其對無窮的探討。在對希爾伯特的有窮數(shù)學(xué)形式化中，已簡要提及可利用反推數(shù)學(xué)來研究有窮和無窮概念（[26]）。在本節(jié)中，首先探討哪些數(shù)學(xué)部分可以歸約到有窮數(shù)學(xué)，然后利用高階反推數(shù)學(xué)來分析經(jīng)典數(shù)學(xué)中的無窮概念。

2.1 有窮歸約

歸約論也是一種對于希爾伯特綱領(lǐng)的部分實(shí)現(xiàn)（[19]，第438 頁）。費(fèi)弗曼（S.Feferman）的歸約論指出：“數(shù)學(xué)M的一部分在由基礎(chǔ)或概念框架F1所辯護(hù)的形式系統(tǒng)T1中表示。T1可從證明論上歸約到由另一個更基本的框架F2所辯護(hù)的系統(tǒng)T2”（[3]，第364 頁）。一般而言，基礎(chǔ)或概念框架F1是一個包含是實(shí)無窮的以及非構(gòu)造性的推理，例如ZFC。而更基本的框架F2則是包含有限組合對象的潛無窮概念以及可構(gòu)造性的推理。這種歸約的實(shí)現(xiàn)是通過編碼和計算函數(shù)完成的。具體而言，“T1系統(tǒng)關(guān)于公式Φ 保守歸約到系統(tǒng)T2”可分為以下三個步驟：

(1) 對T1和T2中的公式和證明序列進(jìn)行編碼。

(2) 存在一個部分可計算函數(shù)f，使得對Φ 中任一公式?，如果m是公式?在T1證明的編碼，則f(m)就是?在T2證明的編碼。

(3) 步驟(1)和(2)都是在T2中可證的。當(dāng)Φ 為所有等式公式“t1=t2”（t1和t2為系統(tǒng)中任意兩個不含變元的項(xiàng)）的集合時，則稱系統(tǒng)T1是可歸約到系統(tǒng)T2。這種證明論意義上的歸約6除了從證明論實(shí)現(xiàn)歸約外，還可以從模型論的角度來探討歸約問題。費(fèi)弗曼指出相較于模型論歸約方法，證明論的方法提供更多有意義的信息等五個特征，是更優(yōu)的歸約方法。詳見[3]。無疑是希爾伯特綱領(lǐng)的延續(xù)。這種歸約論的思想與另一個概念“保守擴(kuò)充”相關(guān)。稱T1是T2關(guān)于公式Φ 的保守擴(kuò)充，如果對Φ 中任一公式?，?在T1中可證，那么?在T2中可證。顯然，當(dāng)T1關(guān)于公式Φ 保守歸約到T2時，T1是T2關(guān)于公式Φ 的保守擴(kuò)充。反之，則不一定成立。

費(fèi)弗曼指出了幾種常見的歸約論的工作概念框架，例如：將無窮概念歸約到有窮概念；將不可數(shù)無窮歸約到可數(shù)無窮；將非直謂的定義歸約到直謂定義以及將非構(gòu)造性概念歸約到構(gòu)造性概念等。這里提及的第一種歸約事實(shí)上就是辛普森所指出的反推數(shù)學(xué)對希爾伯特綱領(lǐng)的一種部分實(shí)現(xiàn)的方式，即“哪些可在二階算術(shù)的子系統(tǒng)中的形成的無窮數(shù)學(xué)關(guān)于公式保守歸約到初始遞歸算術(shù)（PRA）？”（[15]，第353 頁）。PRA 一般被視為希爾伯特的有窮數(shù)學(xué)的形式化7辛普森贊同這一觀點(diǎn)，更多有窮數(shù)學(xué)的探討可參考[26]。，這種“系統(tǒng)S關(guān)于公式保守歸約到PRA”的歸約方式也被辛普森稱之為有窮歸約（finitistic reductionism）8辛普森在2015 年的講座（[17]）中將有窮歸約中的“ 公式”擴(kuò)展為“ 公式”。由于現(xiàn)有數(shù)學(xué)實(shí)踐中可有窮歸約的系統(tǒng)均為公式，這一區(qū)別暫可忽略。，S也稱是可有窮歸約的。

自弗雷德曼和西格（W.Sieg）證明WKL0是可有窮歸約的之后，尋找更大的可有窮歸約的系統(tǒng)就成了進(jìn)一步的任務(wù)。例如，布朗（D.K.Brown）和辛普森在WKL0中添加了一個康托空間2N的貝爾綱定理（Baire category theorem）的強(qiáng)形式，并證明了關(guān)于Π02公式歸約到PRA（[2]）。由于很多組合原則與WKL0是不可比較的，在WKL0中添加組合原則成了對有窮歸約的一種研究方法。

橫山慶田（K.Yokoyama）在2013 年證明了WKL0?加上拉姆齊定理是RCA0?關(guān)于公式的保守擴(kuò)充（[18]）。由此可知：WKL0?加上其實(shí)是比較弱的。之后，帕蒂（L.Patey）和橫山慶田在2018 年證明了WKL0加上規(guī)則是RCA0關(guān)于公式的保守擴(kuò)充9參見[11]中的定理7.4。事實(shí)上，他們證明的是WKL0 +Γ 是系統(tǒng)關(guān)于公式的保守擴(kuò)充，其中Γ 為{,ADS,EM}三個組合原則之一。，也就是說，在辛普森看來，WKL0+是可有窮歸約的。而隨著反推數(shù)學(xué)的不斷研究，可有窮歸約的無窮部分可能會進(jìn)一步擴(kuò)大。

2.2 超越二階算術(shù)

按弗雷德曼和辛普森的設(shè)想，反推數(shù)學(xué)綱領(lǐng)是在二階算術(shù)的子系統(tǒng)中進(jìn)行研究的。而隨著不斷的改進(jìn)，反推數(shù)學(xué)的主要議題也被辛普森限制在數(shù)學(xué)中的非集合論部分，即經(jīng)典數(shù)學(xué)。在辛普森看來，經(jīng)典數(shù)學(xué)可以粗略地等同于“可數(shù)數(shù)學(xué)”（[16]，第1 頁）。但伴隨著這一綱領(lǐng)的不斷發(fā)展，二階算術(shù)的限制帶來的問題也慢慢開始浮現(xiàn)。

一方面，一些重要的經(jīng)典數(shù)學(xué)中的定理無法在二階算術(shù)中表示。在反推數(shù)學(xué)創(chuàng)立之初，弗雷德曼就1975 年就意識到反推數(shù)學(xué)并未覆蓋經(jīng)典數(shù)學(xué)中一些重要的研究領(lǐng)域，比如實(shí)數(shù)上的函數(shù)、巴納赫空間（Banach Space）等（[4]）。另一例子是量規(guī)（Gauge）積分。該積分是勒貝格積分和黎曼積分的一種推廣。量規(guī)積分提供了唯一接近費(fèi)曼路徑積分的形式化框架，與物理學(xué)的基礎(chǔ)高度相關(guān)（[9]）。雖然量規(guī)積分在數(shù)學(xué)中非常重要，但其需要不連續(xù)函數(shù)和表親引理（Cousin lemma），其中表親引理涉及不可數(shù)的覆蓋。而不可數(shù)的覆蓋是無法在二階的語言中表述的，這也意味著量規(guī)積分是超越二階算術(shù)的，可能需要更高階的語言。

另一方面，希爾伯特和伯奈斯在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中的經(jīng)典數(shù)學(xué)事實(shí)上是超越二階算術(shù)的。二階算術(shù)一般都認(rèn)為可以追溯至《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中。但受到哥德爾不完全性定理的影響，大部分學(xué)者開始認(rèn)為該論著的后期的形式系統(tǒng)已有一定的變化。希爾伯特和伯奈斯在后期的邏輯系統(tǒng)H 中已經(jīng)開始涉及三階參數(shù)與運(yùn)算符（[14]），而二階算術(shù)正是根據(jù)H 系統(tǒng)而來。事實(shí)上，桑德斯（S.Sanders）還進(jìn)一步指出H的三階運(yùn)算符（epsilon）其實(shí)在希爾伯特指導(dǎo)的學(xué)生阿克曼（W.Acekerman）1924年的論文中對希爾伯特證明理論的概述中就出現(xiàn)了（[9]）。

辛普森在專著（[16]）中將二階算術(shù)的源頭歸功于《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中的系統(tǒng)，而這一源頭系統(tǒng)是超越二階算術(shù)的。而隨著反推數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大，對不可數(shù)的部分?jǐn)?shù)學(xué)也開始嘗試使用“反推”方法來進(jìn)行研究。在此基礎(chǔ)上，自然的想法是去在找到更大的形式系統(tǒng)及其中的基底系統(tǒng)，來尋找反推不可數(shù)部分?jǐn)?shù)學(xué)的可能性。

2.3 高階反推數(shù)學(xué)

反推數(shù)學(xué)綱領(lǐng)的初衷是希望探討“可數(shù)數(shù)學(xué)”，但“反推”這一基本方法無疑可以推廣到不可數(shù)的數(shù)學(xué)部分。高階反推數(shù)學(xué)就是嘗試對經(jīng)典數(shù)學(xué)中的不可數(shù)部分的一種嘗試。該綱領(lǐng)由科倫巴赫（U.Kohlenbach）在2001 年提出（[6]）。簡言之，科倫巴赫將二階算術(shù)的語言擴(kuò)展到所有的有窮類型，并將基底RCA0擴(kuò)展為包括用于任意有窮類型功能的原始遞歸的版本RCA0ω，而該系統(tǒng)是RCA0的一個保守擴(kuò)充。

高階反推數(shù)學(xué)是把二階語言擴(kuò)充到更高階的豐富語言Lω。二階語言中，僅有自然數(shù)和自然數(shù)集，而Lω中還包含三階、四階……等對象，即自然數(shù)集合的集合、自然數(shù)集合的集合的集合……等。有窮類型的思想類似于哥德爾的T 系統(tǒng)。非形式而言，有窮類型包含0 以及任意兩有窮類型對象之間的映射。特別地，可遞歸定義有窮類型符號1 為0 →0，n+1 為n →0。有窮類型有層次之分，0 為0層，ρ →τ 的層次為ρ 的層次加1 和τ 的層次中較大者。然后引入任意有窮類型ρ 的變量xρ，yρ……以及表達(dá)“兩個層次為ρ 的類型對象相等”的二元謂詞=ρ。其中，=0為自然數(shù)意義下的相等。而以ρ=(ρ1→0)為例，xρ和yρ相等就是指兩者把任意ρ1類型的τ 映射后到0 層后的值相等，即xρ(τ)=0yρ(τ)。

基底RCA0ω包含以下六方面的公理10RCA0ω 的形式定義可參見[6]的第二節(jié)或者[10]的第2.1.2 節(jié)。：(1)關(guān)于常數(shù)0，0 層類型對象之間的小于關(guān)系、加法函數(shù)、乘法函數(shù)和等于函數(shù)的基本公理；(2)允許定義λ 抽象的K和S 組合子（combinators）的基礎(chǔ)公理11K 和S 組合子是組合邏輯中的基本組合子，其中K(s,t)=s，S(r,s,t)=r(t)s(t)。直觀而言，K 可視為類型常量組合子，對兩個類型變量只返回第一個變量。S 可視為廣義的合成組合子，先將第三個變量代入前兩個變量后，再進(jìn)行合成。；(3)遞歸常項(xiàng)R0的公理，該公理保證了對任意0 層m 和1 層f，R0可在0 層有窮類型對象上不斷迭代；(4)外延公理，即如果任意兩個ρ 類型的xρ和yρ相等（xρ=ρyρ），則兩者在任意ρ →τ 類型的?ρ→τ映射后的兩個τ 類型的值也相等（?(xρ)=τ?(xρ)）；(5)Lω中無量化公式的歸納公理；(6)無量化公式的選擇公理QF AC1,0?？苽惏秃兆C明了RCA0ω是二階算術(shù)子系統(tǒng)RCA0的保守擴(kuò)充。

除了RCA0外，其他“五大”子系統(tǒng)在高階反推數(shù)學(xué)中都有對應(yīng)的保守擴(kuò)充12本段和下一段中涉及系統(tǒng)的形式定義可參見[9]中的第1.3 和2.4 節(jié)。。WKL0ω由費(fèi)弗曼在歸約論中提及，是指基底RCA0ω中加上WKL，即每個無窮二叉樹都有一條路徑。ACA0ω和則涉及兩個不可構(gòu)造的運(yùn)算符的存在公理：μ2和S2。其中，μ2函數(shù)為費(fèi)弗曼的μ函數(shù)。ACA0ω就是基底RCA0ω中加上μ2公理，該系統(tǒng)是ACA0關(guān)于公式的一個保守擴(kuò)充。ATR0ω就是基底RCA0ω中加上ATR 公理，該系統(tǒng)是ATR0關(guān)于公式的一個保守擴(kuò)充。而S2函數(shù)為蘇斯林（Suslin）函數(shù)，直觀而言，該公理可以決定一個公式是否成立。就是基底RCA0ω中加上S2公理，該系統(tǒng)是關(guān)于公式的一個保守擴(kuò)充。

反推數(shù)學(xué)中，以RCA0為基底，可以找到眾多與其他“五大”子系統(tǒng)等價的定理。高階反推數(shù)學(xué)的情況類似，即以RCA0ω為基底，也能尋找其他四個對應(yīng)系統(tǒng)的等價定理。例如：與ACA0ω等價的定理有（[12]）：

(1) 統(tǒng)一的波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理，即存在函數(shù)F使得對任意X，若X是實(shí)數(shù)的有界序列，則該序列收斂到F(X)。

(2) 統(tǒng)一的一元拉姆齊定理，即存在函數(shù)Φ 使得對任意F，若F是N的一個有窮劃分，則Φ(F)是F的一個無窮齊次集。

(3) 統(tǒng)一的k元拉姆齊定理，k為任意自然數(shù)；

(4) 存在函數(shù)Φ 使得對任意R，若R是一個可數(shù)的交換環(huán)，則Φ(R)是R的一個極大理想。

(1*) 存在函數(shù)Φ 使得對任意F，若F是樹，則Φ(F)是F的完全核心（Kernel）。

(2*) 存在函數(shù)Φ 使得對任意F，若F是有不可數(shù)多條路徑的樹，則Φ(F)是F的非空的完全子樹。

上述事實(shí)意味著高階反推數(shù)學(xué)中，情況與二階算術(shù)不太相同。例如，在二階算術(shù)中，k元拉姆齊定理的強(qiáng)度是不太相同，而在ACA0ω的等價定理中(2)和(3)等價，統(tǒng)一的k元拉姆齊定理并沒有區(qū)別。這并不是個例，與等價的定理(1*)是與等價的定理的統(tǒng)一版本，而(2*)卻是與ATR0等價的定理的統(tǒng)一版本。由于反推數(shù)學(xué)考慮的是可數(shù)的數(shù)學(xué)對象，而高階反推數(shù)學(xué)是不可數(shù)的，這兩者的區(qū)別激發(fā)著一個自然問題的探討，即經(jīng)典數(shù)學(xué)究竟需要多大的無窮？

3 經(jīng)典數(shù)學(xué)需要多大的無窮？

從歸約論的角度來看，一方面，有窮歸約指出部分的無窮數(shù)學(xué)S可以關(guān)于公式保守歸約到PRA。公式涉及系統(tǒng)的一致性證明等有實(shí)質(zhì)意義的語句。這意味者可有窮歸約的系統(tǒng)S無法證明比PRA 更多的一致性斷言。在辛普森看來：由于S中可證的有窮意義（finitistically meaningful）句子都在PRA 中可證，“S中的非有窮部分都可以在證明中‘剔除’，換言之，S僅僅是一個‘實(shí)用的虛構(gòu)（convenient fictions）’”（[17]）。另一方面，高階反推數(shù)學(xué)告訴我們：不可數(shù)無窮或更大的無窮可以歸約的方式找到在更基本概念或框架，如可數(shù)無窮中的對應(yīng)系統(tǒng)。這似乎意味著經(jīng)典數(shù)學(xué)不需要多大的實(shí)無窮概念，通過歸約的思想似乎可以逐漸對無窮進(jìn)行“降維”：從不可數(shù)到可數(shù)，再從可數(shù)歸約到有窮數(shù)學(xué)。

不過，從反推數(shù)學(xué)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：在處理某些高階數(shù)學(xué)對象時，高階反推數(shù)學(xué)是必需的，也就是說涉及到不可數(shù)無窮。對高階反推數(shù)學(xué)的需求可以從兩點(diǎn)來理解：二階語言編碼的局限性和不在常見系統(tǒng)中的定理。

第一點(diǎn)而言，在二階算術(shù)中，通過編碼可以對一些高階的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行處理。例如：實(shí)數(shù)R 的子集、R 中的連續(xù)函數(shù)等。R 中的連續(xù)函數(shù)可以編碼為二階語言在完備的可分離度量空間中的五元謂詞Φ(n,a,r,b,s)來進(jìn)行定義（[16]，第85 頁）。而且在假定WKL0成立的較弱系統(tǒng)中，二階語言中的編碼不改變與連續(xù)函數(shù)有關(guān)的定理的邏輯強(qiáng)度。但是對于其他一些高階數(shù)學(xué)對象，如不連續(xù)的黎曼可積函數(shù)等，這一事實(shí)不再成立。黎曼積分中的阿澤拉（Arzela）收斂定理在二階算術(shù)的編碼中是在WKL0中可證的，但事實(shí)上，阿澤拉定理在高階反推數(shù)學(xué)中，是在才可證，卻在k為任意賦值的及這些系統(tǒng)的可數(shù)并構(gòu)成的新系統(tǒng)中都是不可證的（[9]）。這表明：二階語言的編碼改變了這一定理的邏輯強(qiáng)度。這種強(qiáng)度的改變也提醒著：從二階算術(shù)擴(kuò)充到高階算術(shù)，即從反推數(shù)學(xué)到高階反推數(shù)學(xué)，并不是簡單的一致推廣，這種保守擴(kuò)充是基于某些特定公式集的。直觀而言，無法簡單將不可數(shù)的情況歸約到可數(shù)的情況，或者說，在這一歸約的過程中一些性質(zhì)可能會遺失。

第二點(diǎn)而言，在考慮如不連續(xù)的黎曼可積函數(shù)等不可編碼的高階對象時，高階反推數(shù)學(xué)中也出現(xiàn)了一些不在“五大”子系統(tǒng)對應(yīng)系統(tǒng)中的定理。阿澤拉收斂定理就是其中之一，而且事實(shí)上很難在一個較弱的系統(tǒng)中形式化。

不過，令人驚訝的是，桑德斯在近期發(fā)現(xiàn)：其中一部分定理可以通過ECF 翻譯進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而與二階算術(shù)中“五大”子系統(tǒng)對應(yīng)（[13]）。直觀而言，一個公式的ECF 翻譯是指：該公式的類型為2 或更高的變量都由連續(xù)函數(shù)的可數(shù)表示代替。例如，對于海涅–博雷爾定理（HBU），即不可數(shù)的覆蓋存在有限子覆蓋。其對應(yīng)的（HBU）ECF就是可數(shù)的覆蓋都有有限子覆蓋。桑德斯指出了利用ECF 翻譯，將HBU、引導(dǎo)原則（bootstrap principle,BOOT）、Σ TR 和BOOT2轉(zhuǎn)換的定理恰好對應(yīng)二階算術(shù)的“五大”子系統(tǒng)中的WKL0、ACA0、ATR0和其中，BOOT 定理來源于《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中的H 系統(tǒng)，是一種概括公理13BOOT 的形式化和更多介紹可參見[10]。BOOT 是指：任給一個二階對象Y，存在自然數(shù)的子集X 使得n 是X 的元素當(dāng)且僅當(dāng)存在一階函數(shù)f 使得Y(f,n)為零。雖然在ECF 翻譯下，BOOT 對應(yīng)于ACA0。但BOOT 是一種較強(qiáng)的原則，沒有比?3 公理更弱的概括公理能證明BOOT。，Σ TR 是ATR0加上BOOT 定理，BOOT2是指加上BOOT 定理。這種對應(yīng)的轉(zhuǎn)化被總結(jié)為：“當(dāng)我們說A通過ECF 轉(zhuǎn)換為B時，我們的意思是[A]ECF涉及一類連續(xù)對象，B立刻被認(rèn)為適用于該對象……”（[14]）。此外，在這種ECF 翻譯的轉(zhuǎn)化下，其等價性的對應(yīng)關(guān)系也保持不變。也就是說，兩個等價的定理在轉(zhuǎn)化后還是等價的。桑德斯將“由BOOT 及其同類組成的層次結(jié)構(gòu)稱為柏拉圖層次結(jié)構(gòu)（Plato hierarchy）”（[13]），而將上述轉(zhuǎn)化的對應(yīng)與等價事實(shí)稱之為“柏拉圖和哥德爾層次結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系”（[13]）。在桑德斯看來，這一聯(lián)系為柏拉圖的洞穴寓言提供了有力的例證?；谶@一點(diǎn)，“柏拉圖層次結(jié)構(gòu)”這一稱呼由此而得以命名。桑德斯基于其柏拉圖主義而對這一證據(jù)給予了很高的評價，但顯然的是，利用ECF 翻譯的事實(shí)對柏拉圖主義的論證是不太充分的。

但是利用ECF 解釋，高階算術(shù)部分可以規(guī)范地嵌入到二階算術(shù)部分，這似乎意味著高階算術(shù)的定理可以簡化成二階算術(shù)的形式。而從二階算術(shù)推廣到高階算術(shù)時，高階反推數(shù)學(xué)的例子意味著無法簡單推廣。不過，桑德斯近期在研究數(shù)學(xué)證明時還發(fā)現(xiàn)：“序列上的某些結(jié)果（可能是可數(shù)的）可以直接轉(zhuǎn)換為關(guān)于網(wǎng)格（nets）的更為通用的結(jié)果”（[14]）。非形式而言，進(jìn)過較少的修改，某些關(guān)于可數(shù)對象定理的證明可以得到其對應(yīng)的不可數(shù)對象定理的證明。這意味著部分?jǐn)?shù)學(xué)定理可以直觀地推廣到不可數(shù)的情況中去。

上述高階反推數(shù)學(xué)的論證表明：對于特殊的高階對象，不可數(shù)實(shí)無窮是必需的。但通過損耗的翻譯，可將部分高階算術(shù)簡化為二階算術(shù)。而且在某些特殊情況下，二階算術(shù)和高階算術(shù)中可直接轉(zhuǎn)化。這意味經(jīng)典數(shù)學(xué)對實(shí)無窮的需求事實(shí)上取決于實(shí)踐數(shù)學(xué)中的“經(jīng)典數(shù)學(xué)”包含哪些部分。當(dāng)對經(jīng)典數(shù)學(xué)的理解中不涉及R 中不連續(xù)函數(shù)等對象時，結(jié)合有窮歸約中的“降維”，可能可數(shù)無窮，甚至希爾伯特意義上的有窮數(shù)學(xué)系統(tǒng)PRA 就足夠了。而如果涉及R 中不連續(xù)函數(shù)等對象，顯然不可數(shù)無窮則是必要的。利用歸約論和高階反推數(shù)學(xué)來加深對無窮的探討將進(jìn)一步為此問題提供更為準(zhǔn)確的答案。

事實(shí)上，反推數(shù)學(xué)是從實(shí)用主義來尋找數(shù)學(xué)真理，結(jié)合“反推”方法的實(shí)用主義數(shù)學(xué)真理觀將有助于這一問題的研究（[27]）?！敖?jīng)典數(shù)學(xué)”包含哪些無窮部分實(shí)際上基于我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與需求。換言之，無窮的需求取決于數(shù)學(xué)實(shí)踐自身中數(shù)學(xué)的實(shí)用性。例如，那些不可達(dá)基數(shù)，如武丁基數(shù)等，對于非集合論學(xué)者而言都是十分陌生和難以理解的。自然，這些實(shí)無窮概念在證實(shí)其普及的實(shí)用性之前肯定不是必需的數(shù)學(xué)。但是，對大部分人而言，數(shù)學(xué)中的自然數(shù)、實(shí)數(shù)等都是所熟知的數(shù)學(xué)對象?；诖?，實(shí)數(shù)這一實(shí)無窮可能是一個備選的回答。