解決集合論悖論的雷歇爾方案
——兼論解決集合論悖論的方法論

李娜 葉發(fā)揚

康托爾（G.Cantor）創(chuàng)立的樸素集合論作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其在數(shù)學(xué)發(fā)展中作用重大。但在19 世紀(jì)末20 世紀(jì)初，一些悖論卻先后在其中被發(fā)現(xiàn)，主要包括布拉里-福蒂（C.Burali-Forti）的最大序數(shù)悖論、康托爾的最大基數(shù)悖論和羅素（B.Russell）提出的羅素悖論。學(xué)界一般將它們統(tǒng)稱為集合論悖論。由于集合論悖論的出現(xiàn)直接導(dǎo)致了人們對集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的可靠性質(zhì)疑，進而引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機。因此，解決悖論成為了集合論學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家以及邏輯學(xué)家的共同訴求。霍斯頓（L.Horsten）說道：“邏輯（或更好的：集合論）悖論需要得到解決，而數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)可以忽略語義悖論（并且這樣做了）。”（[11]）由此可見，集合論悖論的解決對于數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性。

在邏輯學(xué)中，關(guān)于解悖問題的研究主要涉及一般方法論、具體解悖方案及其相關(guān)的哲學(xué)研究三個層面1關(guān)于邏輯學(xué)中悖論消解的這三個層面的詳細說明請參見[23]的第32–34 頁。，其中關(guān)于具體解悖方案及其哲學(xué)問題的研究成果頗豐，但對于方法論的探索卻十分不足。對集合論悖論而言，關(guān)于解悖方法論的專門研究更為缺乏。所謂的方法論指的是分析問題、解決問題的一般原則、范式與模型，其從宏觀上回答“如何做”的問題，為具體方法提供指導(dǎo)。關(guān)于解悖方法論存在不同的立場，大致可分為絕對主義和相對主義。絕對主義認為，存在一種解決所有悖論的普適性方法。相對主義又存在溫和與激進之分，溫和的相對主義強調(diào)不同類型的悖論存在不同的解決方法，同一類型的悖論具有相同的解悖模式；激進的相對主義則聲稱，每一個悖論都有完全不同的解決方案。總體而言，大多數(shù)學(xué)者是溫和的相對主義者，本文也將基于該立場而展開。在溫和的相對主義立場上，集合論悖論作為一種特定的悖論類型可能會存在統(tǒng)一的解悖模式。本文旨在以集合論悖論為研究對象，以羅素悖論為典范案例，嘗試扼要地梳理集合論悖論的主要解悖方法論，然后著重就雷歇爾（N.Rescher）的解悖方案進行深入探討。

1 解決集合論悖論的評判標(biāo)準(zhǔn)

解悖標(biāo)準(zhǔn)是衡量一種解悖方法論或具體解悖方案好壞的依據(jù)。張建軍在羅素、策墨羅（E.Zermelo）以及哈克（S.Haack）等人的基礎(chǔ)上將解悖標(biāo)準(zhǔn)高度概括為“‘羅素–策墨羅–哈克標(biāo)準(zhǔn)’，簡記為‘RZH 標(biāo)準(zhǔn)’”（[23]，第28 頁），這是目前學(xué)界相對較為公認的解悖評判標(biāo)準(zhǔn)。其包括三個原則，可概括為“三個足夠”：足夠狹窄——能夠消除悖論；足夠?qū)拸V——能夠盡可能地避免損害必要的命題與定理，保持數(shù)學(xué)原貌；足夠自然——能夠提供哲學(xué)解釋，闡明其非特設(shè)性。

按照哈克的標(biāo)準(zhǔn)，上述三個原則實質(zhì)上可歸約為兩個標(biāo)準(zhǔn)：形式上的解決和哲學(xué)上的解決?！白銐颡M窄”和“足夠?qū)拸V”屬于形式上的解決，“足夠自然”屬于哲學(xué)上的解決。形式上的解決容易實現(xiàn)，但哲學(xué)上的解決卻難以達到。所謂哲學(xué)上的解決，其大致意思是：“闡明被拒絕的前提或原則，其相對于所獨立存在的拒絕理由（即該理由獨立于其導(dǎo)出的悖論），是存在缺陷的?！保╗10]，第139 頁）換言之，前提的虛假性只能通過內(nèi)在證偽而非外在證偽的方式實現(xiàn)，理應(yīng)尋求充分的哲學(xué)依據(jù)。這兩個標(biāo)準(zhǔn)存在著緊密的聯(lián)系，哲學(xué)上的解決為形式上的解決提供指導(dǎo)，形式上的解決檢驗和評價哲學(xué)上的解決。對于哈克標(biāo)準(zhǔn)，有學(xué)者認為，其做法較羅素和策墨羅更有深度、更系統(tǒng)，但仍然不夠清晰。

如果是這樣，那么有必要略覽康蒂（L.Conti）在[4]中的新闡釋，他區(qū)分了解釋悖論和解決悖論兩個維度。解釋悖論就是識別似乎可接受的前提或不可接受的結(jié)論所存在的缺陷，而解決悖論的關(guān)鍵在于使如此之前提或結(jié)論被接受。具體而言，“解釋一個導(dǎo)出的矛盾，應(yīng)當(dāng)完成在其必要前提中選擇有問題的前提和識別其明顯缺陷的雙重任務(wù)。相應(yīng)的解決方案應(yīng)該通過改變所選擇的前提來實現(xiàn)這種解釋所提供的指示，以消除其缺陷?！保╗4]）由此可知，解釋悖論本質(zhì)上就是哲學(xué)上的解決，解決悖論則蘊含著形式上的解決。

以RZH 為基點，結(jié)合集合論的學(xué)科特殊性以及解悖方法論的研究實況，我們試圖進一步澄明相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)。具體而言，一方面，“足夠?qū)拸V”標(biāo)準(zhǔn)實際上是基于集合論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地位及其在數(shù)學(xué)實踐中的作用提出的，因而我們將“足夠?qū)拸V”標(biāo)準(zhǔn)稱為數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)。另一方面，在形式標(biāo)準(zhǔn)中，研究者們主要關(guān)注“足夠狹窄”，卻鮮有論及“足夠?qū)拸V”，而且“足夠?qū)拸V”顯然是集合論悖論特有的標(biāo)準(zhǔn)。鑒此，我們考慮將“足夠?qū)拸V”從形式標(biāo)準(zhǔn)中分離出來，而形式標(biāo)準(zhǔn)將只指代“足夠狹窄”。因此，我們形成了本文所遵循的三條稍微不同的標(biāo)準(zhǔn)：形式標(biāo)準(zhǔn)、哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)。其中，前兩者直接關(guān)乎悖論，而后者本質(zhì)上與解悖無關(guān)，因而在滿足順序上，用羅素的話來說，形式標(biāo)準(zhǔn)和哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)必須滿足，數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)最好滿足。另外，本文所述的解悖方法論幾乎都未論及數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)。在這種情況下，本文將只以形式標(biāo)準(zhǔn)和哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)為參照，僅在結(jié)論部分對數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)進行簡要探討。

2 解決集合論悖論的主要方法論

根據(jù)悖論的基本結(jié)構(gòu)，可將相關(guān)解悖方法論的探索概括為四要素解悖策略。關(guān)于悖論較為統(tǒng)一的理解是，“從表面上可接受的前提出發(fā)，通過表面上可接受的推理得出表面上不可接受的結(jié)論?！保╗16]，第1 頁）由此可知，悖論由三個要素組成：“正確的推理、真實的前提和虛假的結(jié)論”（[12]，第6 頁）。悖論的出現(xiàn)表明，要么前提或推理存在缺陷，要么結(jié)論并非不可接受。據(jù)此奧林（D.Olin）在[12]中概括出三種解悖的方法論類型，庫克（R.T.Cook）將其明確稱謂為：拒絕前提、拒絕推理和接受結(jié)論。拒絕前提策略表明真實的前提實質(zhì)上是錯誤的，拒絕推理策略揭示推理存在錯誤或不接受經(jīng)典邏輯作為理論的基礎(chǔ)，接受結(jié)論策略強調(diào)矛盾性結(jié)論并不矛盾或接受“真矛盾”的存在。后來庫克又增加了拒絕概念策略，該策略涉及與前提或推理相關(guān)的一些概念，具體說來，所謂的拒絕概念策略就是以其他方式拒絕一個或多個涉及該論證的概念是不連貫的或有缺陷的。（[6]，第20 頁）由此最終形成了四要素解悖策略。

從悖論的結(jié)構(gòu)維度來看，集合論悖論的解悖方案也包含于這四大策略。其中類型論、公理化集合論ZFC 等都屬于拒絕前提策略，直覺主義集合論、弗協(xié)調(diào)集合論屬于拒絕推理策略，而弗協(xié)調(diào)集合論同時也是承認“真矛盾”的接受結(jié)論策略的典型案例。2這里所列舉的都是具體的解悖方案，其中除了羅素的類型論有其對應(yīng)的方法論原則VCP（詳見下文2.1 節(jié)），其他的方案實質(zhì)上都只有一個基本的解悖思想的指導(dǎo)，并未明確提出具體的解悖方法論。相較而言，拒絕推理和接受結(jié)論策略實質(zhì)上都修改了經(jīng)典邏輯，遠離了康托爾的樸素集合論，而且它們都未在方法論層面上進行過探討，而拒絕概念策略在集合論悖論的解悖過程中鮮有論及。因此，正如庫克所說：“大多數(shù)解決集合論悖論的方法都等同于拒絕前提策略?！保╗6]，第124 頁）然而，在拒絕前提策略中似乎又逐漸形成了定性與定量兩條不同的進路。在這兩條進路上，本文將簡述的解悖方法論直接或間接地相關(guān)于集合論悖論。

2.1 定性進路：惡性循環(huán)原則和統(tǒng)一解原則

羅素基于對集合論悖論的研究發(fā)現(xiàn)，惡性循環(huán)是悖論的共同結(jié)構(gòu)特征。普里斯特（G.Priest）將此思想以更直觀的方式闡述為所謂的羅素模式或封閉模式（Inclosure Schema，簡稱IS）。具體內(nèi)容如下：給定一個性質(zhì)φ和一個函數(shù)δ，考慮如下兩個條件：

(1)w={x:φ(x)}存在

(2) 如果x是w的一個子集：

(a)δ(x)∈/x

(b)δ(x)∈w

其中(2a)是超越條件，(2b)是封閉條件。（[13]）

事實上，羅素模式所表達的惡性循環(huán)思想較早由理查德（J.Richard）提出，后來龐加萊（J.Poincaré）將其稱謂為“非直謂性定義”，也就是自指定義，他將惡性循環(huán)視為產(chǎn)生集合論悖論的主要根源。（[19]）羅素接受了龐加萊的觀點，并由此提出了著名的解悖方法論：惡性循環(huán)原則（Vicious Circle Principle，簡稱VCP）。該原則強調(diào)沒有一個總體能夠包含只能用該總體所定義的那些成員，其旨在為所有自指悖論提供統(tǒng)一的解悖方法論?？梢哉f，這是關(guān)于集合論解悖方法論的最早研究。

此外，較早對悖論進行分類型解決的是拉姆齊（F.Ramsey），他把悖論分為集合論悖論和語義悖論（[14]）。集合論悖論通過簡單類型論解決，而以說謊者悖論為代表的語義悖論則通過分支類型論解決。顯然，拉姆齊是一個溫和的相對主義者，他已然認識到同一類型的悖論存在相同的解悖方法。特別地，他已經(jīng)將集合論悖論作為一個獨立的悖論類型進行處理。遺憾的是，他只提出了具體的解悖方案，并未論及一般方法論。但是，他的分類解悖思想對后繼研究者產(chǎn)生了重大影響。而且其分類標(biāo)準(zhǔn)后來也被證明具有一定的合理性，但在當(dāng)時并未得到認同。

普里斯特認為，拉姆齊的分類界限模糊，語義悖論中也存在自指現(xiàn)象，羅素模式才是悖論的真正根源。鑒此，他基于羅素模式和拉姆齊的分類思想來劃分悖論類型，而且相較于羅素而言，普里斯特視角下符合羅素模式的悖論以集合論悖論為主體但不僅限于此。最后，他提出了解悖的方法論——統(tǒng)一解原則（Principle of Uniform Solution，簡稱PUS）：“同樣的悖論，同樣的解決方法?！保╗13]）該原則強調(diào)悖論的類型與解悖方法之間的關(guān)系，相同類型的悖論具有相同的解悖方法，不同類型的悖論理應(yīng)具有不同的解悖方法。

IS 和PUS 提出后遭到了吉尼斯（I.G.Guinness）、阿巴德（J.V.Abad）、庫克等人的責(zé)難。吉尼斯認為，由PUS 所產(chǎn)生的元哲學(xué)問題需要得到解釋，尤其是結(jié)構(gòu)優(yōu)于指稱、弗協(xié)調(diào)邏輯優(yōu)于其他邏輯的問題。同時，為什么一個共同的結(jié)構(gòu)應(yīng)該決定不同語境下的悖論的解決方法呢？據(jù)此他提出了語境類型解決方案，即“每一個悖論都有它自己的語境和內(nèi)容，這些決定了做出的反應(yīng)和提出的解決方案?！保╗9]）阿巴德也認為羅素和普里斯特的結(jié)構(gòu)描述存在局限，IS 未能為自指悖論的存在提供一個充分條件，在解悖時我們?nèi)孕杩紤]不同悖論的語境。“無論是IS還是（假定）任何一個能被一個悖論族滿足的結(jié)構(gòu)描述，都不能強加一個確定性的解決方案。這是由于這樣的事實，即任何悖論背后的問題都不能僅僅從結(jié)構(gòu)或語法方面來描述。它們涉及到我們對一個給定論證情形的信念和看法：其前提的內(nèi)容和真實性，結(jié)論的虛假性以及推論的有效性?！保╗1]）顯然，吉尼斯和阿巴德都堅持激進的相對主義立場，強調(diào)并不存在統(tǒng)一的解悖方法，每個悖論都有特定的解決方案。此外，庫克以非循環(huán)悖論——雅布洛悖論（Yablo’s Paradox）為例對IS 和PUS 進行反駁，指出循環(huán)并非所有悖論的原因。因此，“我們確實需要放棄的想法是，我們可以對導(dǎo)致所有悖論的一種病狀類型進行單一、全面的分析，至少如果這樣的分析是基于循環(huán)的話?！保╗5]）總之，由于IS 存在問題，因此基于此而提出的方法論也存在問題。

綜上可知，羅素模式為集合論悖論的分析與解決提供了一個結(jié)構(gòu)關(guān)系視角，這一定程度上有利于我們基于不同悖論之間所共有的結(jié)構(gòu)特征而提出一種統(tǒng)一的解悖模式，VCP 和PUS 的產(chǎn)生就是最好的詮釋。然而，我們也應(yīng)該看到，雖然VCP和PUS 在形式技術(shù)層面上解決了悖論，但是其在哲學(xué)解釋上并未取得成功，上述質(zhì)疑已然充分說明了這一點。總體而言，其最大的問題是沒有提供一個自然的哲學(xué)解釋。例如，VCP 是通過主觀性的本體論承諾來提供哲學(xué)說明的，即不承認“羅素集”“序數(shù)集”“基數(shù)集”等的存在，進而對于所采取的具體解悖方案也就無法給予非特設(shè)性說明。所以，基于羅素模式的方法論探索并不成功。

2.2 定量進路：主觀概率模式與信念修正模式

近年來，有學(xué)者試圖用概率邏輯與認知邏輯中的相關(guān)思想研究悖論，我們可以嘗試將其視為從定量維度來研究解悖方法論的新進路。當(dāng)然他們在解悖方法論上似乎堅持一種絕對主義立場，因為其研究不僅限于集合論悖論，而是試圖為所有悖論提供統(tǒng)一的方法論。下面將介紹兩個較為新穎的解悖模式：主觀概率模式和信念修正模式。這兩個模式雖然并非為集合論悖論專門鑄造，但它們一般都會以集合論悖論為典范案例加以分析，而且集合論悖論的產(chǎn)生與直覺、信念直接相關(guān)，所以將它們置于集合論悖論視域下，作為集合論悖論的一種解悖方法論似乎更科學(xué)合理。下面就此進行簡要短評。

第一種方法論是由庫恩左（M.Cuonzo）提出的貝葉斯主觀概率解悖模式，其思想來源于概率邏輯。它揭示了悖論產(chǎn)生的原因是直覺的錯誤，解悖方法就是對直覺進行再培養(yǎng)（reeducation），解悖過程就是降低命題概念的過程。他說：“我們也看到，悖論的解決方法可以視作是指向悖論的一部分，然后表明應(yīng)該降低悖論的主觀概率?！保╗8]，第42 頁）顯然，該模式是通過概率對命題信念進行量化處理，從而為悖論的解決提供一個方法論。值得注意的是，其還試圖以信任度作為核心概念來實現(xiàn)哲學(xué)上的解決。但信任度本身具有較強的主觀特設(shè)性，而且具有相同信任度或相同概率的前提如何選擇？這必然使其陷入困難。如果訴諸更低層次命題的概率或信任度，必然導(dǎo)致無限倒退或先驗論；該問題的最終出路又不得不回歸到對終極哲學(xué)解釋的尋找。因此，雖然這一方法論在視角上具有很大的創(chuàng)見性，但它仍然不能為所放棄的前提提供有效的辯護與合理的解釋。

第二種方法論是由袁永鋒和張建軍提出的信念修正模式，他們認為悖論本質(zhì)上是一種信念矛盾，解悖的過程就是信念的修正過程。具體而言，悖論的形成、發(fā)現(xiàn)與解決實質(zhì)上是一種膨脹–鞏固模式的信念改變過程。（[22]）同時，他們試圖以高置信度的核心信念作為前提集中命題缺陷的判據(jù)，此核心信念一般來源于先驗真理和經(jīng)驗真理，而且特別強調(diào)在解決純粹的邏輯悖論時可以只把邏輯–數(shù)學(xué)先驗真理作為核心信念?！暗苤庇^性干擾，似然前提的內(nèi)在缺陷是難以尋找的，從而其所違背的先驗真理或經(jīng)驗真理都是難以發(fā)現(xiàn)的?！保╗22]）這揭示了信念修正模式似乎只是將前提缺陷在哲學(xué)解釋上的困難轉(zhuǎn)移到由諸多信念構(gòu)成的信念集中，簡言之，將對前提集中前提的客觀選擇演變成了對信念集中信念的客觀選擇。但是，置信度是一個主觀性標(biāo)準(zhǔn)，而且如何選擇核心信念在真實的解悖實踐中也存在重重困難。值得一提的是，他們在以羅素悖論作為典范案例時，試圖訴諸集合與外延之間的關(guān)系為一個所謂的外延之外的對象不是集合提供非特設(shè)性哲學(xué)說明。3關(guān)于這一解悖方法論和羅素悖論的案例分析，具體參見[22]，第22–24 頁。他們表明由于一個對象超出了一個謂詞的外延，因而該對象不是集合。事實上，這一論證已經(jīng)特設(shè)性地預(yù)設(shè)了“任何謂詞都有外延，并且只有集合才是謂詞的外延。”因此，這一方法論雖然給我們提供了一個解悖的新視角，但似乎也難以擺脫特設(shè)性的困擾，無法完美實現(xiàn)哲學(xué)上的解決，它注定只能是一種“理想化”的解悖模式。

由上分析可知，無論是定性還是定量進路上的解悖方法論都在哲學(xué)解釋上存在困難。當(dāng)然，達到哲學(xué)上的解決難度較大，但也并非不可實現(xiàn)。雷歇爾就曾深入哲學(xué)內(nèi)核，提出了一個解悖方法論，其包括兩個原則：有效識別要求（Valid Identification Requirement，簡稱VIR）和成功引入原則（Successful Introduction Principle，簡稱SIP）。對集合論悖論而言，這可謂是解悖方法論探索史上的一個重大突破。

3 解決集合論悖論的雷歇爾方案

雷歇爾撰寫的《悖論及其根源、范圍與解決》（[15]）一書旨在為所有悖論提供一個一般解悖方法論，但是他的這一嘗試最終被證明并不成功。事實上，雷歇爾不僅提出了面向所有悖論的解悖方法論，他還特別提出了關(guān)于解決集合論悖論的一般方法論，這一點顯然已被研究者們忽視了。他在該書的序言中開篇明義地強調(diào)VIR 和SIP 是解決數(shù)學(xué)悖論4根據(jù)雷歇爾在數(shù)學(xué)悖論的章節(jié)內(nèi)容來看（詳見[15]第十章，第159–190 頁），他所論述的數(shù)學(xué)悖論實質(zhì)上就是集合論及其相關(guān)悖論。的重要創(chuàng)新方法。不僅如此，他還特別說明，雖然哲學(xué)上的解決是一個艱難的挑戰(zhàn)，但是VIR 和SIP 是很有前景的方法論。他說：“準(zhǔn)確地確定如何解決問題——也就是說，為消除困難所需的具體步驟提出一個有說服力的基本原則——往往是一個巨大而困難的挑戰(zhàn)?！谶@方面，通過尊重適當(dāng)?shù)淖R別和引入條件來避免空指稱似乎是一個很有前景的設(shè)想?！保╗15]，第189–190 頁）具體而言，VIR 實現(xiàn)了哲學(xué)上的解決，SIP 達到了形式上的解決，兩者的結(jié)合構(gòu)成了集合論悖論的解悖方法論。

3.1 有效識別要求

雷歇爾認為所有的集合論悖論都根源于一個共同原因：無根據(jù)預(yù)設(shè)（unwarranted presupposition），即“不適當(dāng)?shù)仡A(yù)設(shè)了某些事實上不存在的事物存在?！保╗15]，第189 頁）他曾以康托爾悖論為例，和大多數(shù)研究者一樣認為，樸素集合論中的概括原則存在問題。但目前的解悖方案都因不同程度地未滿足哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)而被詬病。雷歇爾力圖實現(xiàn)哲學(xué)上的解決，他強調(diào)解決悖論要注意某些前提出錯的地方與出錯的方式。最終發(fā)現(xiàn)集合論悖論根源于無根據(jù)預(yù)設(shè)，所有的集合論悖論都是一種無根據(jù)預(yù)設(shè)悖論。據(jù)此，“我們很容易提出一個避免悖論的建議：‘禁止做無根據(jù)預(yù)設(shè)’。然而，此種同義反復(fù)的做法毫無幫助?！保╗15]，第190 頁）因為我們很多時候可能并不知道在做無根據(jù)預(yù)設(shè)，悖論就是在如此之情形下產(chǎn)生的。換句話說，如果不知道一個對象是否是無根據(jù)預(yù)設(shè)對象，那么“禁止做無根據(jù)預(yù)設(shè)”這樣的建議在具體的集合論實踐中是無法實施的。因此，解悖的關(guān)鍵在于無根據(jù)預(yù)設(shè)對象的識別。

據(jù)此，雷歇爾提出了解悖的一般方法論原則——有效識別要求VIR。其基本原理是：“為了通過形式為‘滿足條件C的x’的識別性描述將某物適當(dāng)?shù)匾胗懻撾A段，必須獨立地預(yù)先確定該描述的唯一對象的可用性?！保╗15]，第163 頁）換言之，引入一個對象的前提是確定該對象已經(jīng)存在，對象的存在是引入的必要條件，因為唯有存在的對象，方能賦予其有意義的性質(zhì)。具體而言，包括兩層邏輯涵義：一個對象的存在不必然導(dǎo)致該對象被引入，一個對象不存在則必然不能被引入。從解悖方法論視角來看，他更強調(diào)第二層涵義的作用，因為悖論源于無根據(jù)預(yù)設(shè)，只要無根據(jù)預(yù)設(shè)對象被識別，悖論產(chǎn)生的原因就被找到，悖論也隨之迎刃而解。但是雷歇爾的思想似乎更深刻，VIR 的作用不僅限于已存悖論的發(fā)現(xiàn)與解決，其似乎更強調(diào)悖論的預(yù)防。因為一個不存在的對象不能被引入討論，抑或不能被提及，因此悖論必然不可能由此而生。

對于如何識別無根據(jù)預(yù)設(shè)對象，雷歇爾訴諸的是邏輯和數(shù)學(xué)分析的方法，其中最重要的一個是反證法，但是他并未對該方法進行詳細闡釋。所謂的反證法，是指通過假設(shè)與欲證論題的矛盾論題成立，推導(dǎo)出矛盾結(jié)論，進而說明反論題為假，再根據(jù)排中律得到欲證論題為真。為了更好地理解反證法的作用，我們先來看看它在悖論發(fā)現(xiàn)過程中所扮演的角色。以羅素悖論為例，羅素構(gòu)造了一個由所有不屬于自己的集合構(gòu)成的集合R={x| x∈/x}。現(xiàn)在的問題是R是否屬于它自己？如果R ∈R，由于R中的所有元素x都滿足條件x∈/x，那么R∈/R，這與R ∈R矛盾。相反，如果R∈/R，由于R中的所有元素x都滿足條件x∈/x，那么R ∈R，這與R∈/R矛盾。無論R是否屬于自己都會導(dǎo)致矛盾。這就是羅素悖論。在該論證中，反證法僅用于揭示悖論，并未對對象R形成任何斷定，對于R是否是集合、是否存在等問題，我們無從得知。

然而，從雷歇爾的視角來看，他從悖論的證明過程中發(fā)現(xiàn)了一個更為深刻的問題，即悖論的產(chǎn)生是由于假設(shè)了R的存在。根據(jù)VIR 原則，唯有存在的對象才能被引入，無根據(jù)預(yù)設(shè)對象無法進入討論階段。因此，他將反證法用于無根據(jù)預(yù)設(shè)對象的識別。按照他的思路，我們可以將羅素集R的存在性證明構(gòu)造如下：假設(shè)R存在，如果R ∈R，由于R中的所有元素x都滿足條件x∈/x，那么R∈/R，這與R ∈R矛盾。相反，如果R∈/R，由于R中的所有元素x都滿足條件x∈/x，那么R ∈R，這與R∈/R矛盾。所以R不存在，它是一個無根據(jù)預(yù)設(shè)對象。

上述兩個證明表面上相似，實質(zhì)上存在顯著區(qū)別。從形式結(jié)構(gòu)上看，第一個證明較于第二個而言，缺少了開頭關(guān)于R的存在性假設(shè)與結(jié)尾關(guān)于R不存在的結(jié)論。如果按照文蘭基于反證法的視角為悖論提供的新解釋：“悖論是反證法的掐頭去尾”（[20]，第9 頁）。5文蘭從反證法視角對悖論的解釋與雷歇爾利用反證法證明無根據(jù)預(yù)設(shè)對象具有高度一致性，但是兩人在思想發(fā)展上看不出存在相互借鑒的情況，他們都是獨立提出和發(fā)展的。其中“頭”指的是反證法開頭明確宣示的假設(shè)，而“尾”指的是反證法結(jié)尾處關(guān)于該假設(shè)不成立的結(jié)論。具言之，悖論就是反證法刪除開頭的假設(shè)和結(jié)尾的結(jié)論剩下的中間段，解悖就是找到處于反證法開頭的假設(shè)，但是該假設(shè)通常是隱蔽的。（[20]，第4–10 頁；[21]）基于文蘭的解釋，第二個證明是一個完整的、標(biāo)準(zhǔn)的反證法樣式，而第一個證明則是第二個證明（反證法）的掐頭去尾；第一個證明表明了悖論的存在，第二個證明則揭示了悖因并解決了悖論。

從關(guān)注問題來看，羅素集R被構(gòu)造出來后，在第一個證明中，我們關(guān)注的是它的性質(zhì)，即R是否屬于自己。而在第二個證明中，我們首先關(guān)注其存在問題，在假設(shè)R存在的前提下，再合法地關(guān)注其性質(zhì)。之所以產(chǎn)生如此之差異，原因在于雷歇爾認為“只有當(dāng)我們知道所討論的‘它’是什么時，我們才能有意義地將任何描述性特征歸于它。”（[15]，第173 頁）所以，從雷歇爾的立場來看，第一個證明似乎是存在問題的。

進一步說，悖論只能表明問題的存在，但具體癥結(jié)何在？我們并不清楚。因此，基于不同的悖因分析，也就產(chǎn)生了不同的解悖思想與解悖方案。有人認為諸如羅素集這類集合太大而不能存在，在這樣的理念下產(chǎn)生了類型論、ZFC 等。有人認為根據(jù)造集原則構(gòu)造的對象都是存在的，但應(yīng)該進一步區(qū)分集合和真類，這些“太大的集合”本質(zhì)上是真類。悖論根源于將真類作為其他類的元素，據(jù)此就產(chǎn)生了公理集合論系統(tǒng)NBG。此外，康托爾還區(qū)分了一致多重體（consistent multiplicities）和不一致多重體（inconsistent multiplicities），并規(guī)定只允許一致多重體的存在。這些舉措實質(zhì)上都有一個共同特征：它們都主觀地斷言對象的存在問題，訴諸的是形而上學(xué)的本體論承諾。如VCP 雖然指導(dǎo)了類型論的成功構(gòu)建，但卻隱性地規(guī)定了不存在“太大的集合”。因此，它們都未提供一種充分自然的哲學(xué)說明。

反觀雷歇爾的VIR，其并非主觀地規(guī)定某物的存在或不存在，而是訴諸分析性的邏輯或數(shù)學(xué)方法對對象加以客觀性識別。正是奠基于這類客觀性方法，使得該原則既提供了合理的哲學(xué)解釋又闡明了非特設(shè)性要求。但是VIR 僅僅提供了哲學(xué)解釋，并未論及形式技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)上的方法論。這就涉及到成功引入原則SIP。

3.2 成功引入原則

總體而言，如果VIR 滿足了哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，SIP 則滿足了形式標(biāo)準(zhǔn)。SIP 的基本原理是：

如果要有意義地將一個對象引入討論階段，則引入描述不得假定該對象已經(jīng)存在。即如果要通過一個定義描述將某物引入討論，該描述采取的識別形式是“（唯一的）對象x為Cx所獲得”，那么這個識別描述C不得指稱或量化那個對象本身——無論如何間接。（[15]，第165 頁）

換言之，一個對象的識別條件一定不能直接或間接地自我指稱，禁止自指是成功引入對象的前提條件。具體而言，包括兩層邏輯涵義：禁止自指不必然成功引入對象，自我指稱一定不能成功引入對象。就解悖方法論而言，其強調(diào)后者的作用，因為一個對象只要存在自指，則該對象無法被引入。依據(jù)VIR 該對象就是無根據(jù)預(yù)設(shè)對象，只要它無法被引入，悖論便得以化解。例如，羅素集R的條件描述是“所有不屬于自己的集合構(gòu)成的集合”。當(dāng)討論R時，無論是討論R ∈R抑或R∈/R，在該條件描述中都存在自指現(xiàn)象，這違反了SIP 的要求。

不難發(fā)現(xiàn)，SIP 與VCP 似乎存在很大的相似性，因為兩者在形式上都強調(diào)禁止自指。但雷歇爾卻認為SIP 與VCP 完全不同，前者是一個純方法論原則，后者是一個本體論原則。他說：“這里通過成功引入原則（SIP）所設(shè)想的論證路線與羅素的VCP 是完全不同的，盡管它完成了幾乎相同的工作。因為它不解決什么類型的集合或收集存在或不存在的本體論問題?！保╗15]，第173 頁）然而，康蒂尼（A.Cantini）聲稱這兩個原則都很模糊，難以區(qū)分。西翁（A.Sion）則持一種相對溫和的觀點，“對羅素而言，由自我指稱所定義的類是不存在的，而對雷歇爾來說，我們甚至不能開始使用或討論這樣一個類，因為它好像什么都沒有說。在我看來，這兩種觀點都是正確的?！保╗17]）這些不同的觀點與爭論，哪一種才是合理的？

要對其進行回應(yīng)，我們有必要進一步理解VCP 和SIP 的關(guān)系。關(guān)于VCP，至少就羅素而言，它是一個解悖的語法與形式原則，同時還具有很強的哲學(xué)動機。基于前一方面可以將VCP 理解為一個方法論原則，基于后一方面可以將其理解為一個本體論原則。因此VCP 是一個集本體論與方法論為一體的解悖原則。而SIP 作為一個純方法論原則似乎是毋庸置疑的，因為它只是在形式上提出了一個描述規(guī)則，而且其本體論或哲學(xué)解釋工作是依靠VIR 獨立實現(xiàn)的。據(jù)此推知：SIP 是一個純方法論原則，而VCP 是本體論與方法論的統(tǒng)一體?；谶@一認識，我們能否將VCP 等同于SIP 和VIR 的結(jié)合呢？答案是否定的。因為這種等同僅僅是表面上的，它們實質(zhì)上并不相同。具體而言，雖然SIP 和VCP 都提供了一種形式上的解悖方法論，但兩者在哲學(xué)解釋上完全不同，SIP 依賴于具有非特設(shè)性的VIR，而VCP 訴諸的是主觀性的本體論承諾，這也正是VCP 遭到質(zhì)疑與責(zé)難的重要原因。因此，雷歇爾視SIP 為一個純方法論原則、VCP 為一個本體論原則抓住了彼此之間的本質(zhì)區(qū)別，但忽略了其密切的聯(lián)系。而康蒂尼將它們都視為模糊的，似乎不成立。真正中肯的評價來自西翁，他不僅認識到了自指所定義的無根據(jù)預(yù)設(shè)對象的非存在性，還看到了雷歇爾的方法論在預(yù)防悖論上的深刻作用。

綜上所述，VIR 作為哲學(xué)層面的一般方法論，其不涉及本體論承諾，具有明顯的非特設(shè)性。SIP 作為形式層面的一般方法論，它是VIR 的推理后承。VIR 識別事物的存在，SIP 描述存在的條件。這兩個原則的有機結(jié)合為集合論悖論的解決提供了一種成功的方法論。

這一方法論對集合論悖論的整體解決思路是：仍以羅素悖論為例，所有不屬于自己的集合構(gòu)成的集合R={x|x∈/x}。首先，根據(jù)VIR 原則，該對象被識別失敗，換言之，羅素集R不存在。其次，羅素集R也無法成功引入討論階段，因為引入描述“所有不屬于自己的集合構(gòu)成的集合”違反了SIP 原則，無論是討論R ∈R抑或R∈/R，在該條件描述中都存在自指現(xiàn)象。因此，無論是基于哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)還是形式標(biāo)準(zhǔn)，羅素悖論都得以有效化解。

4 雷歇爾方案的疑難審思與問題彌合

雖然VIR 和SIP 為集合論悖論的成功化解提供了一種更自然、非特設(shè)的方法論，但它也存在一些不足與問題。概而言之，VIR 的最大遺憾莫過于普適性識別方法的缺失，而SIP 遭遇到禁止一切自我指稱所帶來的疑難。

4.1 有效識別要求之識別方法

雷歇爾在根據(jù)VIR 識別對象的存在性時，隱約地提及一些識別方法。例如，在判定全集時說，集合論的冪集定理表明該集合不存在；而在論及羅素集時說，羅素集的論證表明該集合不存在。從中可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)其僅以只言片語描述識別方法，折射出他未認識到識別方法的重要性。毋庸置疑，VIR 在哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)上的成功，關(guān)鍵在于非特設(shè)性的哲學(xué)說明，即無根據(jù)預(yù)設(shè)，而無根據(jù)預(yù)設(shè)對象的識別依賴于識別方法的客觀性。因此，識別方法的重要性不言而喻。為彌補該缺憾，除引入上文中提及的反證法6反證法及其在識別無根據(jù)預(yù)設(shè)對象上的應(yīng)用，在上文中已經(jīng)作了詳細介紹，這里不再贅述。外，本文還打算介紹另一種普適性方法——生產(chǎn)性原則（productivity principle）。

這一方法與袁永鋒和張建軍（[22]）在羅素悖論的解決中所采取的方法極其相似，正如上文所說，他們通過訴諸外延與集合之間的關(guān)系，揭示超外延對象不是集合。他們的方法的確非常適用于無根據(jù)預(yù)設(shè)對象的識別，但由于其中涉及到謂詞、外延以及集合之間的復(fù)雜關(guān)系，要真正厘清其中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)是困難的。7事實上，關(guān)于謂詞、外延與集合之間的關(guān)系，是否所有謂詞都有外延，謂詞的外延是否一定是集合，類尤其是真類是否可作為謂詞的外延。這些主題在集合論悖論的研究中已經(jīng)產(chǎn)生了很多成果，但似乎并未最終達成共識。相較而言，生產(chǎn)性原則與其原理非常相似卻簡單很多。所以，本文就該識別方法做一個簡要介紹。

生產(chǎn)性原則是由喬利納（B.?ulina）提出的一種區(qū)分集合和悖論類（真類）以及顯示不允許真類存在的邏輯機制。為了理解該原則，我們首先要弄清喬利納對集合和類的定義，他并非直接在一階邏輯語言L={∈}中定義，而是區(qū)分了兩種語言L={∈}和LL={∈}，利用LL={∈}進行定義。之所以如此設(shè)計，是因為在LL中比在L中定義更簡單。LL與L有相同的詞匯表，只是解釋略微不同，其對象是類，可表示為集合的類稱作集合，其他的稱作真類或悖論類?；诖怂麑⒓虾驼骖惗x如下：

(1)A是一個真類或悖論類當(dāng)且僅當(dāng)?X(A∈/X)。

(2)A是一個集合當(dāng)且僅當(dāng)A不是一個真類。（[7]）

由該定義可知，喬利納的做法與NBG 非常相似，區(qū)分了真類與集合，而且真類不能作為其他類的元素。定義(1)表明真類不能作為其他類的元素，定義(2)表明不是真類的類則是集合，真類與集合之間是非此即彼的關(guān)系。

基于此，喬利納提出了生產(chǎn)性原則，“根據(jù)這一原則，悖論類正是那些有生產(chǎn)性選擇的類，即為類的每個子集s選擇一個在s之外的類的對象c的方法?！保╗7]）

在語言LL中，該原則可描述為如下命題：

命題1([7]).C是一個真類，當(dāng)且僅當(dāng)對于任一集合s ?C，存在x ∈Cs。

也就是說，如果C是一個真類，則對于C的任意子集s，能在屬于C但不屬于s的范圍內(nèi)找到一個對象x；反之，如果對于C的任意子集s，能在屬于C但不屬于s的范圍內(nèi)找到一個對象x，則C是一個真類。

由于該原則本質(zhì)上是區(qū)分真類與集合的一種方法，如果要把真類識別為不存在、集合識別為存在，終究還將訴諸本體論承諾，即規(guī)定集合存在而真類不存在。如果訴諸此路徑，勢必又會陷入特設(shè)性困境，致使VIR 的失敗。因此，VIR 作為一種非特設(shè)性的方法論原則，生產(chǎn)性原則無法直接為其所用，我們需要略微改進。既然真類是一種無根據(jù)預(yù)設(shè)對象，集合論悖論根源于預(yù)設(shè)了真類的存在。因此，解悖的關(guān)鍵在于該對象被識別失敗，也就是表明其不存在。據(jù)此，作為VIR 識別方法的生產(chǎn)性原則在語言LL中理應(yīng)描述為如下命題：

命題2.C被識別失敗，當(dāng)且僅當(dāng)對于任一集合s ?C，存在x ∈Cs。

也就是說，如果對于C的任意子集s，能在屬于C但不屬于s的范圍內(nèi)找到一個對象x，則C被識別失?。碈不存在）。同時，如果對于C的任意子集s，不能在屬于C但不屬于s的范圍內(nèi)找到一個對象x，則C被識別成功（即C存在）。

以最大序數(shù)悖論為例，我們用? 表示全體序數(shù)所構(gòu)成的序數(shù)類，假設(shè)存在一個由所有序數(shù)構(gòu)成的集合A ??，同時產(chǎn)生一個與A對應(yīng)的新序數(shù)δ，顯然，δ ∈?且δ∈/A。即δ ∈?A。所以，根據(jù)生產(chǎn)性原則，? 被識別失敗，抑或? 不存在。

4.2 成功引入原則之自我指稱

SIP 作為一般解悖方法論原則，無疑是非常成功的。因為循環(huán)自指是悖論產(chǎn)生的形式因，所以禁止循環(huán)必然能消除悖論。但是，禁止一切形式的循環(huán)似乎難以做到。比?。ˋ.Billon）曾指出，即使能禁止顯性循環(huán)定義也難以禁止隱性循環(huán)定義，而隱性循環(huán)與顯性循環(huán)一樣都會面臨相同的困難，因此我們似乎無法全面禁止循環(huán)。（[3]）最重要的是，循環(huán)現(xiàn)象在我們的現(xiàn)實世界中并不罕見，如數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、情境理論以及人工智能等領(lǐng)域都存在各種各樣的循環(huán)。所以，一刀切的做法會導(dǎo)致一些重要的循環(huán)現(xiàn)象無法得到刻畫，有些重要的理論被排除。

例如，最著名的公理集合論系統(tǒng)ZFC，假如我們僅從循環(huán)角度來看，這個系統(tǒng)可視作SIP 方法論的實例化方案。在該系統(tǒng)中，由于只承認良基集合，反對非良基集合的存在，于是通過在系統(tǒng)中添加基礎(chǔ)公理（或良基公理）FA 來杜絕循環(huán)現(xiàn)象。此舉導(dǎo)致的直接后果是，該系統(tǒng)論域中的對象只有良基集合，而非良基集合未得到有效刻畫。幸運的是，在阿采爾（P.Aczel）等人的努力下，構(gòu)造了能夠刻畫循環(huán)現(xiàn)象的非良基集合論系統(tǒng)ZFA。這個系統(tǒng)是通過將ZFC 中的基礎(chǔ)公理FA去掉，再添加反基礎(chǔ)公理（或非良基公理）AFA 后得到的一個集合論系統(tǒng)。該系統(tǒng)的優(yōu)勢在于，不僅能刻畫非循環(huán)性質(zhì)的良基集合，還能刻畫具有循環(huán)性質(zhì)的非良基集合。關(guān)于非良基集合系統(tǒng)的重要性，巴威斯（J.Barwise）在為阿采爾的《非良基集合》一書做序時更是意味深長地說道：“非良基集合的AFA 理論是一個很好的理論，它在數(shù)學(xué)和符號系統(tǒng)中的應(yīng)用充滿了潛力?！保╗2]，第xii 頁）

由此可見，SIP 采取禁止一切循環(huán)自指的做法存在排除重要定理和重大理論的風(fēng)險。所以，我們也許應(yīng)該進一步區(qū)分良性循環(huán)與惡性循環(huán)。惡性循環(huán)需要得到全面禁止，而良性循環(huán)不僅不能禁止，還需要加以適當(dāng)?shù)乜坍嫛?/p>

5 結(jié)論與進一步的討論

關(guān)于集合論悖論的解悖方法論研究，似乎可概括為定性與定量兩條進路。但無論是定性進路上的VCP 和PUS 還是定量進路上的主觀概率和信念修正模式，它們都因未真正滿足哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)而致使研究者們對其嘖有煩言。在這種不樂觀的背景下，雷歇爾提出的VIR 和SIP，可謂是目前最優(yōu)的解悖方法論。它不僅實現(xiàn)了形式上的解決，而且實現(xiàn)了哲學(xué)上的解決。雖然雷歇爾的方案在識別方法和自我指稱方面存在一些不足，但通過反證法和生產(chǎn)性原則的引入，良性循環(huán)和惡性循環(huán)的區(qū)分，這些問題將得到有效彌合。因而雷歇爾的方法論整體上是成功的。

截至目前，我們對雷歇爾方案的辯護實質(zhì)上都只依賴于形式和哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，并未涉及數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)。那么在數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)下，雷歇爾的方法論相較于其他方法論而言是否成功？當(dāng)然，其他方法論由于深陷哲學(xué)解釋的泥潭，從滿足順序來說，似乎根本無從談起數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)，某些方法論也確實并未將之納入考慮范圍。相較而言，雷歇爾的方法論已在前兩個標(biāo)準(zhǔn)上取得了成功，因此我們可以嘗試考察其在數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)下的情形。在數(shù)學(xué)實踐視角下，一個解悖方法論的成功似乎很難基于自身直接考量，其只能訴諸該方法論指導(dǎo)下所建立的具體理論的成功，即該理論在提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和促進數(shù)學(xué)實踐方面的功用。由于雷歇爾的方法論在形式技術(shù)上體現(xiàn)為禁止自指，在這一原則的指導(dǎo)下似乎至少可以以類型論和ZFC 作為典范系統(tǒng)。因此，我們將通過考察這兩個系統(tǒng)在數(shù)學(xué)實踐上的成功來為雷歇爾解悖方法論在數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)上的滿足提供辯護。就ZFC 而言，其被選定為數(shù)學(xué)的正統(tǒng)基礎(chǔ)似乎已經(jīng)提供了最好的論據(jù)。具體而言，在邏輯主義、形式主義和直覺主義三大數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派的競爭中，最后學(xué)界選擇ZFC 作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。因為ZFC 不僅可以消除已有悖論，也未發(fā)現(xiàn)新悖論；重要的是其保留了樸素集合論的核心內(nèi)容，為經(jīng)典數(shù)學(xué)提供了可靠的基礎(chǔ)；而且其作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)推動了數(shù)學(xué)的高速發(fā)展，集合論本身也逐漸成為了一門內(nèi)容豐富的獨立性學(xué)科。這一數(shù)學(xué)事實已然證明了雷歇爾方法論在數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)上的成功。

對于類型論來說，近年來，隨著定理機器證明的興起，計算機深度參與到數(shù)學(xué)定理的證明與驗證工作中，沃沃夫斯基（V.Voevodsky）在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上提出了一種基于類型論的一價基礎(chǔ)（Univalent foundations）計劃（[18]），并與ZFC 形成了競爭態(tài)勢。如果這一計劃得以實現(xiàn)，必將推動數(shù)學(xué)更高程度的發(fā)展。已有的數(shù)學(xué)實踐似乎已經(jīng)提供了一些好的導(dǎo)向，如實驗數(shù)學(xué)等新數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，四色定理等復(fù)雜性定理的證明。因此，如果類型論成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這些已存或可能的數(shù)學(xué)事實都將再次表明雷歇爾方法論的成功。有人可能會問，類型論是VCP 指導(dǎo)下的直接成果，豈不是應(yīng)該證明VCP 的成功嗎？事實并非如此，雖然就數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)而言VCP 似乎是成功的，但如前所述它在哲學(xué)辯護上已經(jīng)失敗了?？傊?，無論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在VCP 和類型論中作何選擇，這都將充分證明雷歇爾方法論的成功。

綜上，無論是基于形式和哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，還是新視角上的數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)，我們現(xiàn)在都可以說：雷歇爾的解悖方法論是成功的。