初等類的一個注記

裘江杰

初等類是模型論中的一個核心概念。對于任意的結構類K，K是初等類，當且僅當它對初等等價與超積封閉。這是關于初等類的一個基本刻畫定理，在許多模型論教材中都有介紹。國內(nèi)模型論方面的專著偏少，姚寧遠的《初等模型論》是新近的一部優(yōu)秀的著作，除了對基本結果的介紹，對Morley 定理以及穩(wěn)定理論等相對現(xiàn)代的內(nèi)容也作了細致的梳理?！冻醯饶Ｐ驼摗吩诮榻B了關于初等類的上述基本刻畫定理后，還給出了初等類閉包的構造，這種構造的思路清晰，并且似乎在其他的模型論教材中未見討論，因此比較新穎，也有益于初學者理解初等類這一概念；但是書中給出的構造方法似有漏洞，這一問題可能是作者疏忽了“共尾”現(xiàn)象造成的，而一旦注意到這一點就容易對之修補。筆者在給出修補的過程中發(fā)現(xiàn)或許可以引入一個自然的概念“取κ超積閉”，利用這個概念，可以“優(yōu)化”上述的刻畫定理，完成對構造的修補，而且也得到了一些小的結果，特別是對“初等等價”有了更多的認識；在嚴格的意義上，這些小結果不能算是新的，因為利用已經(jīng)有的命題可以相對直接地推出它們，不過，它們可能在別處未出現(xiàn)過1筆者搜索了幾本常見的模型論教材，未發(fā)現(xiàn)有相關的討論；這些都是微小的結果，不過發(fā)表出來對模型論學習者或有幫助。，因此筆者寫此小文作此介紹。

本文里使用的記號與概念都取自《初等模型論》等常見的模型論作品，不過為了完整性，也會在合適的地方論述它們。本文的具體安排如下：首先，我們會重述初等類的這一刻畫定理以及《初等模型論》中據(jù)此給出的對初等類閉包的構造方法，并指出該構造方法的問題；然后引入那個自然的概念，利用它進行修補；同時給出有關的幾個結果。

先引入一些要用到的記號和概念。

定義1.

(1) 用L表示一個一階語言；用T表示一個一致的理論，理論是對后承封閉的句子集，一致指其推不出矛盾；用M,N表示結構，相應的論域記為M,N；用K表示結構類。

(2) 對于一個對象S，用|S|表示它的基數(shù)，比如，|L|表示的是語言L的基數(shù)，反映的是L的公式的個數(shù)。

(3) 對于結構M，|M|=|M|，即用一個結構的論域的基數(shù)來代表相應結構的大小。

(4) 對給定的L結構類K，用Th(K)表示K的理論，即Th(K)={φ為L句子|對任意的M ∈K，M|=φ}；當K={M}為單元集時，也用Th(M)表示。

(5) 對給定的L句子集Σ，用Mod(Σ)表示Σ 的模型類，即Mod(Σ)={M為L結構|M|=Σ}。

定義2.

(1) 稱一個L理論T是完全的，如果對任意的L句子φ，φ與它的否定?φ中恰好有一個在T中。

(2) 設M,N是結構，稱它們是初等等價的，記為M ≡N，若Th(M)=Th(N)。

(3) 設K為L結構類，稱K為初等類，若有L句子集Σ 使得K=Mod(Σ)。

(4) 設K1,K2為L結構類，稱K2為K1的初等類閉包，若K2 是初等類，K1?K2并且對任意包含K1的初等類K3，K2?K3。

首先可以給出一些簡單的相關的結果，它們根據(jù)定義就可以得到。

命題3.

(1) 設K1,K2為L結構類，并且K1?K2，那么Th(K2)?Th(K1)。

(2) 設Σ1,Σ2為L句子集，并且Σ1?Σ2，那么Mod(Σ2)?Mod(Σ1)。

(3) 設K為初等類，那么K=Mod(Th(K))。

后文要用到的超積與超冪稍復雜一點，但它們也是基本的概念，一方面為了完整性，另一面為了簡潔，下面不給出證明地列出后文要用到的定義與結果。

定義4.設I為一個指標集，U為I上的超濾，Mi（i ∈I）為一族L結構，它們模U的超積，也是一個L結構，記為∏稱為這族結構的超積；當所有的結構Mi都是同一個結構M時，則記為∏稱為M的超冪。

命題5.

(1) 設I為一個指標集，U為I上的超濾，Mi（i ∈I）為一族L結構，那么對任意的L句子當且僅當{i ∈I |Mi |=φ}∈U。

(2) 設I為一個指標集，U為I上的超濾，M為結構，那么M初等嵌入到進而

(3) 設I為一個指標集，若Σ 對取有窮交封閉，即對Σ 的任意的非空有窮子集那么有I上的超濾U，使得Σ?U。

如果把（是）初等類看作為結構類的性質(zhì)，那么對照的，還有一些自然的性質(zhì)，我們羅列在下面，在后文中會討論它們之間的關系。

定義6.

(1) 設K為L結構類，稱K對初等等價封閉，若對任意的L結構M,N，如果M ≡N，并且M ∈K，那么N ∈K。

(2) 設K為L結構類，稱K對超積封閉，若對任意的指標集I，對I上任意的超積U，對任意的

(3) 設K為L結構類，稱K對超冪封閉，若對任意的指標集I，對I上任意的超積U，對任意的L結構M，如果M ∈K，那么∏

(4) 設K為L結構類，稱K對超冪反向封閉，若對任意的指標集I，對I上任意的超積U，對任意的L結構M，如果∏那么M也在K中。

(5) 設K為L結構類，稱K對同構封閉，若對任意的L結構M,N，如果M ～=N，并且M ∈K，那么N ∈K。

(6) 設K為L結構類，稱K對子結構封閉，若對任意的L結構M ∈K，M的所有子結構也都在K中。

可以從蘊含關系來看這些結構類上的性質(zhì)之間的關系，那么，對初等等價封閉是相對強的性質(zhì)。

命題7.

(1) 設K為L結構類，如果K對初等等價封閉，那么K對同構封閉。

(2) 設K為L結構類，如果K對初等等價封閉，那么K對超冪封閉。

(3) 設K為L結構類，如果K對初等等價封閉，那么K對超冪反向封閉。

關于初等類，有一個基本的刻畫定理，它相當于說，（是）初等類是結構類上強的性質(zhì)，我們也不給證明地給出它的表述。

命題8([4]，引理2.3.1).

設K為L結構類，那么K為初等類，當且僅當K對初等等價封閉并且K對超積封閉。

推論9.

(1) 設K為初等類，那么K對初等等價封閉。

(2) 設K為初等類，那么K對超積封閉。

(3) 設K為初等類，那么K對同構封閉。

(4) 設K為初等類，那么K對超冪封閉。

(5) 設K為初等類，那么K對超冪反向封閉。

給定任意的結構類K，一定有它的初等類閉包。

命題10([2]，第12 頁).設K為結構類，那么Mod(Th(K))是K的初等類閉包。

利用命題3 容易證明這個命題。首先，Mod(Th(K))是包含K的初等類；其次，假設Θ 也是包含K的初等類，那么據(jù)命題3(1)有Th(Θ)?Th(K)，再據(jù)命題3(2)有Mod(Th(K))?Mod(Th(Θ))，而Θ 為初等類，因此Mod(Th(Θ))=Θ，這樣保證Mod(Th(K))?Θ。

文獻[4]利用命題8，試圖給出求取一個結構類的初等類閉包的“構造性”的方法，這一構造進路基于一種一般性的思路，概言之，它們有著這樣的統(tǒng)一架構：對于具有某種特征的結構類（在這里是初等類），先確定可以進行構造“操作”的作為必要條件的特征（在這里是對初等等價封閉以及對超積封閉，當然還有別的，比如對取同構封閉等），然后確定其中的一些必要條件組合起來可以構成充分條件（在這里是，對初等等價封閉以及對超積封閉這兩個必要條件組合起來構成了（是）初等類的充分條件）。最后，利用這種組合確定相應的，獲得該特征的閉包的“構造性”的方法（這里是初等類閉包），它們通常是分解為若干個步驟實施的，在每一步“部分”落實某個必要條件，對幾個組合成為充分條件的必要條件，進行交替的“部分”落實，最后綜合起來，使得所有的必要條件最終都被落實，從而完成工作。

這種架構與思路具有方法論的意趣，因此它們本身就有著被獨立探討的意義，那么就本文的主題，初等類與初等類閉包而言，盡管我們已經(jīng)有命題10 這一結果，但是，基于命題8，在這種架構與思路下發(fā)展相應的“構造性”的方法，仍然是值得討論的。

文獻[4]中給出了如下的求取一個結構類的初等類閉包的“構造性”的方法。

注記11([4]，注2.3.1).

設K為L結構類，如下構造一個結構類的序列Ki，i ∈N：

(1)K0=K；

(2) 若i為奇數(shù)2n+1，那么使Ki={N是L結構|有L結構M ∈K2n使得M ≡N}；

(3) 若i為偶數(shù)2n+2，那么使Ki={N是L結構|N是K2n+1中一族結構的超積}；

首先需要說明，這一構造方法在一些情況下是有效的。

注記12.當K={M}為單元集時，據(jù)命題10，K的初等類閉包為Mod(Th(M))={N | N ≡M}，這意味著注記11 中的構造只需要走一步就可以了，因此這時注記11 的方法無問題。

受到注記12 的啟發(fā)，我們可以確定一類特殊的結構類，它們作為初等類的充分條件。

命題13.設K為L結構類，并且Th(K)是完全的，如果它對初等等價封閉，那么它是初等類。

證明是簡單的，設K對初等等價封閉且Th(K)完全，任取M ∈Mod(Th(K))，取一個結構N ∈K，那么由于它們都是Th(K)的模型，并且由于Th(K)的完全性，N ≡M，進而由K對初等等價封閉得M ∈K，因此K=Mod(Th(K))。

注記14.與注記12 中的理由一樣，對于給定的結構類K，如果Th(K)是完全的，那么注記11 的方法對獲得K的初等類閉包也是有效的，并且同樣只需要實施一步即可。

與命題13 對偶的，也可以考慮另外一邊，對超積封閉，是否有類似的結果。

問題15.是否可以確定一類特殊的結構類，使得對超積封閉是它們是初等類的充分條件？

我們稍偏題對這個問題作一點初步的討論。

首先，最平凡的一個答案是命題8 的一個變體：所有對初等等價封閉的結構類都如此；那么有意思的是本身無法推出對初等等價封閉的性質(zhì)，下面的命題給出我們一個回答。

命題16([1]，推論6.1.16).設K為L結構類，如果K對超積封閉、K對超冪反向封閉并且K對同構封閉，那么K對初等等價封閉，從而K是初等類。

這個命題的證明依賴于所謂的Keisler–Shelah 同構定理：對于任意的L結構M,N，M ≡N當且僅當存在指標集I，存在I上的超濾U使得∏對同構定理感興趣的讀者可以參看文獻[3]第13 章。

命題16 給出了對問題15 的一個回答；利用它所依賴的同構定理還可以得到對問題15 的一個回答。

命題17.設K為L結構類，K對同構封閉并且K對子結構封閉，那么對超積封閉是它們是初等類的充分條件。

證明是簡單的，只需要說明這時K對初等等價封閉；任意取相互初等等價的L結構M,N，設M ∈K，那么據(jù)同構定理取到兩個同構的L結構∏與對超積封閉，那么對同構封閉，那么；而N初等嵌入到∏那么N與的一個子結構同構，最終由K對同構封閉以及它對子結構封閉得到N ∈K。

注意，單單“子結構封閉+同構封閉”與“超冪反向封閉+同構封閉”這兩個條件是不同的。2感謝匿名審稿專家指出這一點。另外，僅憑對“同構封閉”以及對“子結構封閉”不能推出對“初等等價封閉”，例如，令K={M是群結構那么K對同構封閉并且對子結構封閉，但是K不對初等等價封閉，自然K也不是初等類。

我們再回到注記11 上來。假若按照注記11 中的方法，得到的序列Ki（i ∈N）滿足如下的條件：對任意非零的自然數(shù)那么這一構造則可能會失效。

對每個零自然數(shù)的n，取Mn-1∈K2nK2n-1。那么Mi（i ∈N）為ˉK中的一族結構，取U為N 上的非主超濾，那么∏U Mi不能保證一定在ˉK中，因此不能保證ˉK是初等類，這時注記11 中的方法失效。

問題18.有具體的結構類，使得注記11 的方法（即進行可數(shù)無窮步構造）對它獲得初等類閉包失效？

注記11 中方法可能失效的問題出在構造的“步數(shù)”太少了，使得無法保證一定能對取超積封閉，另一面，如果可以允許取任意“多”的結構進行超積構造的話，那么，不管構造的“步數(shù)”放多少長，都會遇到同樣的問題，因此修補的關鍵在于，是否可以在命題8 中放松對超積構造的“規(guī)?！保纱俗匀灰鋈缦碌母拍?。

定義19.設κ是一個基數(shù)，K為L結構類，稱K是取κ超積閉的，如果，對任意的λ ≤κ，對任意的基數(shù)為λ的指標集I，對I上任意的超積U，對任意的

依據(jù)這一定義，立即可以得到下面命題。

命題20.

(1) 設K為L結構類，若K對超積封閉，則對任意的基數(shù)κ，K是取κ超積閉的。

(2) 設K為L結構類，若K是取κ超積閉的，那么對任意的基數(shù)λ ≤κ，K是取λ超積閉的。

另一面，我們或許會懷疑，依基數(shù)的大小，取不同規(guī)模的對超積封閉，是否無法造成真正的差別？下面的例子表明，確實是有真正的差別的。

例21.令K={M是群結構則K是取?0超積閉的，但是不對取(2?0)+超積閉。

注意K是真類。

易見這個例子里的K不是初等類，并且也不對初等等價封閉，不過如前面看到的，它對同構封閉，也對子結構封閉。

利用取κ超積封閉這個概念，首先可以“優(yōu)化”命題8。

命題22.設K為L結構類，那么K為初等類，當且僅當K對初等等價封閉并且K對|L|超積封閉。

證明實質(zhì)上與命題8 的證明是一樣的，不過為了完整性，我們在這里再“復述”一遍。只需說明，從右到左也成立。

設|L|=κ，設L結構類K對初等等價封閉并且K對κ超積封閉。

記T=Th(K)，只需要說明K=Mod(T)。K ?Mod(T)平凡成立，因此只需說明K ?Mod(T)。

任取結構M ∈Mod(T)，記I是由Th(M)的所有的非空有窮子集組成的集合，注意這時有|I|=|Th(M)|=|L|=κ。

子命題.對任意的i ∈I，存在Mi ∈K，使得Mi |=i。

反證，假設有i ∈I，使得對任意的N ∈K，都有N |=?(∧i)，那么?(∧i)∈T，而T ?Th(M)，這將得?(∧i)∈Th(M)，矛盾。

對每個φ ∈Th(M)，令Aφ={i ∈I |φ ∈i}；記Σ={Aφ |φ ∈Th(M)}，易見Σ 對取有窮交封閉，因此有I上的超濾U，使得Σ?U。

由于K對κ超積封閉，因此

注記23.設K為L結構類，如下構造一個結構類的序列Kα，α<(|L|)+。

(1)K0=K；

(2)α是非零極限序數(shù)時，令Kα=∪β<α Kβ；

(3)α是后繼序數(shù)，并且α=β+2n+1，其中β為極限序數(shù)時，

令Kα={N是L結構|有L結構M ∈Kβ+2n使得M ≡N}；

(4)α是后繼序數(shù)，并且α=β+2n+2，其中β為極限序數(shù)時，

令Kα={N是L結構|有指標集I，|I| ≤|L|，有I上的超濾U，有Mi（i ∈I）為Kβ+2n+1中的結構，使得

另一面，假設有初等類Θ 使得K ?Θ，那么使用歸納法可證，對任意的α<(|L|)+，Kα ?Θ，這樣就得∪β<α Kβ=?Θ，這就保證了是K的初等類閉包。

至此，已經(jīng)完成我們的主要任務。接下來，稍展開一點，初步了解一下相關的結果，它們可以理解為對“對初等等價封閉”這個結構類上的性質(zhì)的一些“面貌”的反映。

據(jù)例子21 可知，對于一個給定的結構類，當它對小的基數(shù)κ，對κ超積封閉時，對大的基數(shù)λ>κ，未必會是對λ超積封閉的；而推論9 與命題22 一道則使我們可以得到一個可以向上提升的充分條件。

命題24.設K為L結構類，并且K對初等等價封閉，若K對|L|超積封閉，則對任意的λ>|L|，K對λ超積封閉。

這個結果由推論9 與命題22 直接可以推得：首先，據(jù)命題22，可得K是初等類，然后據(jù)推論9，K對超積封閉。

就如前面所言，某種意義上，這反映了“對初等等價封閉”是一個結構類上強的性質(zhì)。

一個自然的想法是，是否可以結合命題16、命題17 也得到這樣的充分條件？

似乎是不可行的，其原因是這兩個命題都實質(zhì)性地使用了Keisler–Shelah 同構定理，這會使得對超冪，進而對超積無上界“多”的結構族的構造；與命題24相對照，這也從另外一個側面反映了初等等價的“力量”。

同樣的道理，無法“優(yōu)化”命題16，把其中的對超積封閉“降”為對|L|超積封閉。

不過使用Keisler–Shelah 同構定理，可以得到“對初等等價封閉”的一個刻畫。

命題25.設K為L結構類，那么K對初等等價封閉，當且僅當K對超冪封閉，對超冪反向封閉，并且對同構封閉。

最后留一個問題。

問題26.是否有自然的性質(zhì)，使得對任意的L結構類K，只要K具有這種性質(zhì)，則K可以把對|L|超積封閉提升為對超積封閉？