分部積分在分?jǐn)?shù)階微積分逼近的誤差估計(jì)中的應(yīng)用

張光輝，任 敏

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

分?jǐn)?shù)階微分方程由于自身理論的迅速發(fā)展，在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、控制理論及金融等各學(xué)科中得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用[1-7]，為描述不同物質(zhì)的記憶和傳承性質(zhì)提供了有力工具.隨著分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用的不斷深入，分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值運(yùn)算和數(shù)值模擬[8]必不可少，尤其是在時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值計(jì)算中，時(shí)間初始奇異性問(wèn)題普遍存在，對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子合理有效地逼近是建立高效差分格式的關(guān)鍵技術(shù)[9].本文基于積分型余項(xiàng)的泰勒公式，給出了在分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值分析中應(yīng)用廣泛的插值逼近[10]和半點(diǎn)逼近等幾個(gè)逼近格式的誤差估計(jì)，并用分部積分進(jìn)行了證明.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1Riemann-Liouville積分[11]

稱為右側(cè)μ階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分.

引理1[12]對(duì)t0,t∈[0,T]和任意的n∈N，若函數(shù)u(t)∈C(n+1)[0,T]，則有：

(1)

2 主要結(jié)果

在分?jǐn)?shù)階微分或偏微分方程的數(shù)值計(jì)算中，對(duì)微積分算子中的積分項(xiàng)進(jìn)行逼近時(shí)，經(jīng)常需要用到插值近似，下面給出幾個(gè)插值逼近的積分型誤差余項(xiàng).

定理1若函數(shù)u(t)∈C(k+1)[0,T],0=t0

設(shè)u(t)關(guān)于tk-1,tk(1≤k≤N)的一次插值多項(xiàng)式為：

則用P1,ku(t)逼近u(t)的積分型誤差估計(jì)式為：

(2)

證明：由引理1的積分型余項(xiàng)taylor公式，u(t)在tk-1處有展開(kāi)式：

(3)

在(3)式中，令ξ=tk-1+s(t-tk-1)，s∈[0,1]，則(3)式化為：

(4)

利用分部積分，對(duì)(4)式右端積分項(xiàng)進(jìn)一步計(jì)算，有：

(5)

類似的，在區(qū)間[t,tk]上，應(yīng)用引理1有：

(6)

從(6)式中解出u′(t)，代入(5)式，有：

(7)

對(duì)(7)進(jìn)一步整理，得到(2)，則定理1得證.

定理2若函數(shù)u(t)∈C(k+1)[0,T],0=t0

設(shè)u(t)關(guān)于tk-2,tk-1,tk(2≤k)的二次插值多項(xiàng)式為：

則當(dāng)t∈(tk-1，tk)時(shí)，用P2,ku(t)逼近u(t)的積分型誤差估計(jì)式為：

(8)

證明：由引理1的型積分余項(xiàng)taylor公式，u(t)在tk-1處有展開(kāi)式：

(9)

(10)

利用分部積分，計(jì)算(10)式右端第一項(xiàng)積分，有：

類似地，利用分部積分計(jì)算(10)式右端第二項(xiàng)積分，有：

=(t-tk-1)2u″(t)-(t-tk-1)u′(t)+(t-tk-1)u′(tn-1).

將Q1、Q2的計(jì)算結(jié)果代入(10)式，得到：

(11)

類似于得出(11)式的推導(dǎo)過(guò)程，u(t)在tk-2、tk處分別有：

(12)

(13)

將(11)～(13)聯(lián)立，消去u′(t)、u″(t),得到(8)式，定理2得證.

推論1 若函數(shù)u(t)∈C(k+1)[0,T],0=t0

設(shè)u(t)關(guān)于tk-3,tk-2,tk-1(3≤k)的二次插值多項(xiàng)式為：

(14)

證明：類似于證明定理2的步驟，易得(14)式.

在時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分偏微分方程的離散過(guò)程中，在半點(diǎn)處建立差分格式是常用技巧，下面給出一個(gè)半點(diǎn)處積分算子的計(jì)算公式.

(15)

(16)

對(duì)g(t)求二階導(dǎo)數(shù)，得：

其中C為通用常數(shù).

u(0)=u′(0)=0,故由taylor定理，(15)式成立.

(17)

證明：在定理3中，令λ→2,易得(17)式成立.

3 算例分析

(18)

其中右端源像：

g(u)=u3,方程(18)具有解析解u(x,y,t)=tγsin(πx)sin(πy).

先將方程(19)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的分?jǐn)?shù)階積分-微分方程：

(19)

應(yīng)用(15)和(8)對(duì)(19)進(jìn)行數(shù)值離散和誤差估計(jì)，可建立一個(gè)求解(18)的ADI格式，并得到截?cái)嗾`差在時(shí)間方向的階為O(τγ),其中τ為t方向的離散步長(zhǎng).

取T=1,α=1.5,h1=h2=0.001,分別取不同的γ和不同的時(shí)間步長(zhǎng)τ,計(jì)算ADI格式對(duì)于不同的γ,當(dāng)t=t1=τ時(shí)所得數(shù)值解的誤差和時(shí)間方向的收斂階，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 固定h=0.001時(shí)，ADI格式在t=t1=τ的誤差和時(shí)間方向收斂階

該數(shù)值算例驗(yàn)證了ADI格式在時(shí)間方向臨近初始時(shí)刻的收斂階逼近γ,即截?cái)嗾`差時(shí)間方向的階為O(τγ),從而驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的理論公式應(yīng)用的有效性.

4 結(jié) 論

在分?jǐn)?shù)階微分方程，尤其是分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值計(jì)算中，對(duì)方程中積分項(xiàng)的合理有效逼近是構(gòu)造高精度收斂格式的重要技術(shù)和環(huán)節(jié)，文中對(duì)數(shù)值分析中常用的一、二次插值逼近和半點(diǎn)逼近方法的誤差估計(jì)，在對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子積分項(xiàng)的逼近計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用，是構(gòu)造和分析求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程，尤其是時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程差分格式的有力工具.