一道2021年安徽省冬季聯(lián)賽題的解法探究與推廣

欒 功

(廣西南寧市第三中學(xué) 530021)

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

試題第(1)問(wèn)考查了橢圓的長(zhǎng)軸、離心率等簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性；第(2)問(wèn)以圓錐曲線共軛弦性質(zhì)為背景設(shè)置了與動(dòng)直線有關(guān)的定值問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)有較高要求，值得深入探究.

2 解法探究

則x1+x2=-2t，x1x2=2t2-4，Δ=4t2-4(2t2-4).

由于直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，因此Δ>0，即t∈(-2,0)∪(0,2)，此時(shí)，直線PA,PB的斜率都存在，所以，要證tanα+tanβ=0，即證kPA+kPB=0.

所以(1-y1)(2-x2)+(1-y2)(2-x1)=x1x2+(t-2)(x1+x2)+4(1-t)=0.

所以kPA+kPB=0.即tanα+tanβ=0.

點(diǎn)評(píng)證法1把待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證兩直線PA,PB斜率之和為0，從而幾何問(wèn)題通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，既展示了坐標(biāo)法的魅力，又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.繼續(xù)探究，如圖1，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Δ=0時(shí)，t=-2或t=2，此時(shí)直線l與橢圓C相切，點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,1)或(2,-1)，直線l的斜率與橢圓C在點(diǎn)P處的切線的斜率互為相反數(shù)，這一發(fā)現(xiàn)為進(jìn)一步探究試題本質(zhì)提供了思路.

圖1

證法2 設(shè)直線PA的參數(shù)方程為

(1+3sin2α)t2+4(cosα+2sinα)t=0.

即2(yB-yA)=xB-xA.

所以tB(2sinβ-cosβ)=tA(2sinα-cosα).

化簡(jiǎn),得sin2α=sin2β.

由于0<α<π，0<β<π，且α≠β，所以α=π-β.

從而tanα+tanβ=0.

點(diǎn)評(píng)證法2從直線PA與PB的傾斜角入手，自然聯(lián)系到應(yīng)用直線的參數(shù)方程解題，亮點(diǎn)在于對(duì)坐標(biāo)的處理，借助參數(shù)的意義和三角恒等變換，整個(gè)運(yùn)算過(guò)程一氣呵成，簡(jiǎn)潔明了.

整理,得x′2+4y′2+4(x′+2y′)=0.

設(shè)直線AB的方程為mx′-2my′=1，

代入上式,得

x′2+4y′2+4m(x′+2y′)(x′-2y′)=0.

即(1+4m)x′2+(4-16m)y′2=0.

兩邊同時(shí)除以x′2,得

①

點(diǎn)評(píng)證法3通過(guò)平移變換巧妙地把橢圓上的定點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)原點(diǎn)P′，變換后兩直線P′A′,P′B′的斜率恰好是點(diǎn)A′,B′的坐標(biāo)比值，從而通過(guò)齊次化處理，把兩直線斜率之和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，解答簡(jiǎn)潔明了，相比通性通法中運(yùn)算量大的特點(diǎn)，平移變換后齊次化處理很大程度上避免了繁雜的運(yùn)算，是解答過(guò)定點(diǎn)兩條動(dòng)直線斜率之積、之和問(wèn)題的利器.

②.

(x+2y-4)(x-2y+m)=0.

③

切線x+2y-4=0上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，不妨取x=0，y=2代入②得

λ=-(1+2k1)(1+2k2).

比較方程②③中x2，y2的系數(shù),得

從而k1+k2=0.即tanα+tanβ=0.

點(diǎn)評(píng)證法4“曲線系方程法”相比前面證法，站在更高的觀點(diǎn)，為我們解決這類解析幾何問(wèn)題提供了新視角，但也有一定的局限性，在具體的解題實(shí)踐中，還需根據(jù)自身實(shí)際，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

3 推廣探究

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說(shuō)“分解和重組是思維的重要活動(dòng)”，因此我們有必要深入到試題的細(xì)節(jié)中去，通過(guò)逆向變換，亦或者改變曲線背景提出新的問(wèn)題，以探究試題內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì).

由kPA+kPB=0,得

分別整理,得

4y1y2+4y1-4y2=x1x2+2x1-2x2.

④

4y1y2+4y2-4y1=x1x2+2x2-2x1.

⑤

④-⑤,得8y1-8y2=4x1-4x2.

當(dāng)直線PA,PB的斜率互為相反數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)直線AB的斜率與橢圓C在點(diǎn)P處的切線的斜率互為相反數(shù)，也就是說(shuō)點(diǎn)P的位置唯一決定了AB的斜率，反過(guò)來(lái)AB的斜率也唯一決定點(diǎn)P的坐標(biāo).

則變換后的橢圓方程為

整理,得b2x′2+a2y′2+2x0b2x′+2y0a2y′=0.

設(shè)直線AB的方程為mx′+ny′=1，

代入上式,得(b2+2mx0b2)x′2+(a2+2ny0a2)y′2+2(nx0b2+my0a2)x′y′=0.

(a2+2ny0a2)k′2+2(nx0b2+my0a2)k′+b2+2mx0b2=0.

⑥

由題意知，kP′A′,kP′B′是方程⑥的兩個(gè)根，且kP′A′+kP′B′=0，故nx0b2+my0a2=0.

變式2 如圖2，點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0)為拋物線C:y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)，A(x1,y1)，B(x2,y2)為拋物線C上兩動(dòng)點(diǎn)，若直線PA與PB斜率存在且互為相反數(shù)，求證：直線AB的斜率是非零常數(shù).

圖2

⑦-⑧,得(y0-y1)(y0+y1)=2p(x0-x1).

即有y1+y2=-2y0.

⑨-⑧,得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).

則變換后的雙曲線方程為

整理,得4x′2-y′2+16x′-4y′=0.

⑩

設(shè)直線l′的方程為px′+qy′=1(其中p=4q)，代入⑩式,得

4x′2-y′2+(16x′-4y′)(px′+qy′)=0.

即(4+16p)x′2-(1+4q)y′2=0.

兩邊同時(shí)除以x′2,得

由于平移變換后點(diǎn)Q的坐標(biāo)變?yōu)镼′(0,0)，故kQ′A′，kQ′B′是方程的兩個(gè)根.

由于平移變換下不改變直線的斜率，

所以k1+k2=0.

推廣2 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸的定圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線)C上一定點(diǎn)，A,B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率存在時(shí)為定值，等于曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率的相反數(shù).

推廣2也稱為圓錐曲線共軛弦性質(zhì)，以其為背景命制的高考試題和競(jìng)賽試題屢見(jiàn)不鮮，像這樣通過(guò)挖掘改造著名數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)命題已成為近年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題命制的新趨勢(shì)，這也啟示一線教師在教學(xué)中應(yīng)充分利用這些素材，引導(dǎo)學(xué)生探究試題解法，剖析試題本質(zhì)，從而培育學(xué)生的思維品質(zhì)，落實(shí)學(xué)科素養(yǎng).