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    對一道分式型二元最值問題的探究

    2022-08-30 06:37:12
    數(shù)理化解題研究 2022年22期
    關(guān)鍵詞:換元分式最值

    李 寒

    (貴州省貴陽市第一中學(xué) 550081)

    本文通過對一道二元分式型齊二次條件最值題的探究,使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題,優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

    1 試題重現(xiàn)

    2 解法探究

    解法1因為a>0,b>0,所以

    點評解法2首先進(jìn)行比值換元和“二層”換元,然后進(jìn)行代數(shù)恒等變換,變形出關(guān)于“二層”新元的均值不等式的結(jié)構(gòu)形式,利用二元均值不等式求解.在運用均值不等式求最值時,“等號”能否取到是解答的關(guān)鍵.

    所以Mu2-8u+36M=0.

    因為M>0,且二次函數(shù)y=Mu2-8u+36M的圖象開口向上,

    將M對u求導(dǎo),得

    所以當(dāng)00,M在(0,6)上單調(diào)遞增;當(dāng)u>6時,M′<0,M在(6,+∞)上單調(diào)遞減.

    點評解法4是在解法2進(jìn)行比值換元和“二層”換元的基礎(chǔ)上求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解.利用導(dǎo)數(shù)求解二元條件最值問題是一種有創(chuàng)意的方法途徑.

    3 試題變式

    若將上面賽題中的“系數(shù)”7換為5,那么求解的情況是怎樣的呢?

    (1)強回聲型:共計8例(其中左肺5例,右肺3例),聲像特點為胎兒肺內(nèi)有強回聲包塊,且邊界較為清晰。并且回聲的強度高于同側(cè)其他部分以及對側(cè)的肺組織。彩色多普勒血流顯像提示4例胎兒的病灶內(nèi)部存在體外循環(huán)血流,提示為隔離肺。

    4 試題拓展

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