試證明兩條線段互相垂直

王梟翔

【摘要】互相垂直是兩直線或線段之間非常常見的位置關系，也是初中數(shù)學幾何題中常見的考查內(nèi)容.雖然證明難度較小，但其方法多樣，對學生的思維能力具有一定要求.下面將利用等腰三角形的“三線合一”和勾股定理逆定理兩種方法進行分析，希望達到以小見大的效果.

【關鍵詞】互相垂直;初中數(shù)學;幾何解題

1 例題呈現(xiàn)

如圖1所示，有一個正方形ABCD，在AB、AD兩邊上分別有E、F兩點，E將AB平分，F(xiàn)是AD的四等分點.連接EF、EC.求證：EF⊥CE

證法1 利用等腰三角形“三線合一”

證明 如圖2所示，延長FE、CB相交于點G，連接FC.

因為四邊形ABCD是正方形，

所以AD=DC=BC=AB.

設AD=4m，則AD=DC=BC=AB=4m，

因為E將AB平分，

所以AE=BE=2m.

因為F是AD的四等分點，

所以AF=14AD=14·4m=1m，

所以DF=4m-m=3m

在Rt△FDC中，由勾股定理得DF2+DC2=FC2，

即（3m）2+（4m）2=FC2 ，

所以FC=5m.

在△AEF和△BGE中，

∠A=∠B=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG（對頂角相等），

所以△AEF≌△BGE（ASA），

所以AF=GB=1m，EF=GE，

所以CG=4m+1m=5m，

所以△FGC是等腰三角形，且E是底邊FG的中點或高，

所以EF⊥CE.

評析 構(gòu)造三角形并證明該三角形是等腰三角形，然后說明這兩條直線或線段構(gòu)成了該三角形的底和高，接著根據(jù)“三線合一”證得這兩條直線或線段之間互相垂直，是初中數(shù)學幾何題中證明互相垂直的常用方法.能這樣處理，主要是因為運用了等腰三角形“三線合一”的理論.

證法2 利用勾股定理逆定理

證明 如圖3所示，連接CF.

因為四邊形ABCD是正方形，

所以AD=DC=BC=AB.

因為E將AB平分，

所以AE=BE.

因為F是AD的四等分點，

所以AF=14AD，

設AD=4x，則AD=DC=BC=AB=4x，AE=BE=2x，AF=x，

因為DF=AD-AF，

所以DF=4x-x=3x.

在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理可得FC2=DC2+DF2，

即 FC2=（4x）2+（3x）2

因為FC>0，

所以FC=5x.

在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可得EF2=AE2+AF2，

即 EF2=（2x）2+x2.

因為EF>0，

所以EF= 5x.

在Rt△BEC中，根據(jù)勾股定理可得EC2=BE2+BC2，

即 EC2=（2x）2+（4x）2

因為EC>0，

所以EC=2 5x.

因為在△EFC中，EF2+EC2=（ 5x）2+（2 5x）2=25x2，

FC2=（5x）2=25x2 ，

所以EF2+EC2=FC2，

所以△EFC是直角三角形，∠FEC=90°，

即EF⊥CE.

評析 在三角形中利用勾股定理逆定理證明該三角形是直角三角形，然后就證得這兩條直線或線段之間是互相垂直的.這樣做的理論基礎是“勾股定理逆定理”.注意，在使用“勾股定理逆定理”之前，一定要明確該三角形尚未知是直角三角形，更要防止學生使用“勾股定理”證明三角形是直角三角形的錯誤現(xiàn)象發(fā)生.

2 總結(jié)反思

當然，想要證明兩條直線或線段之間存在互相垂直的位置關系，除了以上兩種方法之外，其實還有很多方法.

如本題圖4所示，分別將EF、EC兩條線段放入△AEF和△BEC中，然后證明△AEF∽△BEC.由于△AEF和△BEC都是直角三角形，所以就可以通過“三垂直”模型證得這兩條直線或線段之間是互相垂直的.即在證明△AEF∽△BEC后，就可以得到∠AEF=∠BCE.∠BCE+∠BEC=90°，所以∠AEF+∠BEC=90°，即證得EF⊥CE.這樣做的主要理論依據(jù)是“相似三角形”和“三垂直”.

再如，可將幾何問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)模型.將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的方法解決數(shù)學問題，一直是數(shù)學解決問題的亮點所在.在有些問題中，可以將“這兩條直線或線段之間是互相垂直的位置關系”，理解成同一坐標系中兩互相垂直的直線，而這就可以通過K1·K2=-1實現(xiàn).如圖4所示，以E為原點建立平面直角坐標系.由于E是AB的中點，F(xiàn)是AD的四等分點，且線段EF所在直線是正比例函數(shù)，線段EC所在直線也是正比例函數(shù)，所以不妨設F（-2，-1），C（2，-4），然后可求出線段EF所在直線的解析式為y=12x，線段EC所在直線的解析式為y=-2x.此時不難看出，y=12x與y=-2x的斜率K分別為12和-2，且12×（-2）=-1.根據(jù)“k1·k2=-1時，兩直線互相垂直”，可知EF⊥CE.

如何證明兩條線段互相垂直，方法可謂多種多樣.然而在解題的過程中，要想熟練做到依據(jù)題意快速準確地解題，離不開對相關數(shù)學基礎知識的理解和掌握，只有熟練把握原理，才能真正做到學以致用，舉一反三和觸類旁通.