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    數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2022-07-23 09:26:02王繼輝
    數(shù)理天地(高中版) 2022年7期
    關(guān)鍵詞:思維方法數(shù)學(xué)解題數(shù)形結(jié)合

    王繼輝

    【摘 要】 數(shù)形結(jié)合是指數(shù)學(xué)問題已知中代數(shù)條件較為抽象或者圖形信息不夠精確難以解題,采用數(shù)與形相結(jié)合的思想對已知條件進行深度挖掘與升華,抓住數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系,進一步找準(zhǔn)數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵,實現(xiàn)高效解題.本文將以實際數(shù)學(xué)問題為例,通過演示詳細的解題過程,闡述數(shù)形結(jié)合思維方法在集合、函數(shù)、不等式以及幾何等問題中的應(yīng)用.

    【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;思維方法;數(shù)學(xué)解題

    1 數(shù)形結(jié)合在集合解題中的應(yīng)用

    例1 如圖1所示是表示集合關(guān)系的韋恩圖.已知全集U,集合A={-2,-1,0,1,2}和集合B={x|-2≤x≤0},則圖中陰影部分可以表示為(? )

    A.{1,2} ??????B.{0,1,2}

    C.{-2,1,2} D.{-2,0,1,2}

    分析 結(jié)合集合元素定義與韋恩圖特征,易知圖中陰影部分表示除去與集合B共有的元素之外集合A剩下的元素,即A∩CUB的值.

    解 全集為U,集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|-2≤x≤0},則圖中陰影部分表示的元素為A∩CUB={1,2},所以由韋恩圖可知圖中陰影部分表示為{1,2},A選項符合題意.

    2 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)解題中的應(yīng)用

    例2 如圖2所示是關(guān)于x的二次函數(shù)一部分圖像,已知該函數(shù)圖像通過點A(-3,0)函數(shù)圖像的對稱軸為x=-1.判斷以下四個結(jié)論正確的有?? .

    ①b2>4a;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a

    分析 根據(jù)一元二次函數(shù)圖像性質(zhì),開口方向反應(yīng)a的正負,再依據(jù)圖像對稱軸的橫坐標(biāo)位置可以判斷b值的正負,再依據(jù)題目所給已知條件點A的坐標(biāo)值即可進一步判斷c值.

    解 已知關(guān)于x的二次函數(shù)圖像通過點A(-3,0),此函數(shù)圖像的對稱軸為x=-1,函數(shù)圖像開口向下,由此可判斷a<0,又b2a=1,所以b=2a,所以b2=4a2>4a成立,結(jié)論①正確;2a-b=2a-2a=0,結(jié)論②錯誤;b=2a>5a,結(jié)論④正確;將點A(-3,0)坐標(biāo)值代入函數(shù)代數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c中,得9a-3b+c=0,所以有3a+c=0,c=-3a,則a-b+c=a-2a-3a=-4a>0,結(jié)論③錯誤.

    注 函數(shù)章節(jié)所包含內(nèi)容較為豐富,函數(shù)表達式及未知數(shù)關(guān)系等知識點相對較為抽象.教師在教學(xué)過程中要充分利用函數(shù)圖像性質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生掌握函數(shù)圖像的特征及其與函數(shù)表達式本身、未知數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系之間的聯(lián)系.

    3 數(shù)形結(jié)合在不等式解題中的應(yīng)用

    例3 若已知(12)x1=(2)x2=(13)x3=(3)x4=32,求x1、x2、x3、x4的大小關(guān)系為(? )

    A.x2>x4>x3>x1

    B.x2>x4>x1>x3

    C.x4>x2>x3>x1

    D.x4>x2>x1>x3

    分析 本題解題核心是依據(jù)函數(shù)值大小判斷函數(shù)代數(shù)式中未知數(shù)的大小關(guān)系.觀察題目已知條件發(fā)現(xiàn),題目中所涉及的函數(shù)均為指數(shù)函數(shù),由此本題的解題核心是在指數(shù)函數(shù)圖形特征的基礎(chǔ)上判斷相關(guān)位置上的數(shù)值大小.

    解 分別將函數(shù)C1∶y=(12)x、C2∶y=(13)x、C3∶y=(3)x、C4∶y=(2)x以及y=32的函數(shù)圖形畫在同一個直角坐標(biāo)系中,如下圖3所示

    直線y=32與四個指數(shù)函數(shù)圖像的交點橫坐標(biāo)分別對應(yīng)值x2、x4、x3、x1,依據(jù)圖形易判斷四者大小關(guān)系為x2>x4>x3>x1,A選項符合題意.

    注 ?數(shù)形結(jié)合思維方法在不等式解題中的應(yīng)用,可以通過函數(shù)圖形、集合圖形與代數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化,將不等式關(guān)系體現(xiàn)得更為直觀、明了,在一定程度上能夠減小解題計算量,提高解題速度與準(zhǔn)確率.

    4 數(shù)形結(jié)合在幾何解題中的應(yīng)用

    例4 ?已知空間幾何體ABCD-A1B1C1D1的形狀如圖4所示,連接此幾何體表面的某兩點,得到空間直線.將該幾何體沿著得到的直線旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為α(0°<α<360°),得到的幾何體與原幾何體重合,則稱此直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸.則正方體的旋轉(zhuǎn)軸有(? )條.

    A.7? B.9? C.13? D.14

    分析 根據(jù)題目所給出的幾何體對稱軸定義,結(jié)合題目所畫的正方體示意圖討論正方體的對稱軸個數(shù).此題屬于簡單題,但需要注意的是情況較多,容易混淆和遺漏,是個易錯題,而在解答此題目是需要注意的是分情況討論,將所有情況考慮全面.

    解 結(jié)合題中所給正方體ABCD-A1B1C1D1示意圖5,由幾何體對稱軸的定義,將從以下三大類進行討論:

    (1)連接正方體兩個對立面的中心,得到連線如上圖4EF所示,正方體圍繞此直線旋轉(zhuǎn),最小旋轉(zhuǎn)90°即可與自身重合.由于正方體對立面有三組,故此類情況下共有3條直線;

    (2)連接正方體對角的兩點,得到正方體體對角線如下圖6BD1所示,正方體圍繞此直線旋轉(zhuǎn),最小旋轉(zhuǎn)120°即可與自身重合.由于正方體體對角線共有4條,故此類情況下共有4條直線;

    (3)連接正方體對棱的中點,得到正方體體對棱中線如下圖6MN所示,正方體圍繞此直線旋轉(zhuǎn),最小旋轉(zhuǎn)180°即可與自身重合.由于正方體中相對應(yīng)的棱線共有6組,故此類情況下共有6條直線;

    綜上,正方體體對稱軸共有3+4+6=13條,C選項符合題意.

    注 在處理立體幾何問題過程中,由于空間立體幾何對學(xué)生的空間想象思維較強,單純依靠圖形解題難度較大,為突破空間立體幾何教學(xué)難關(guān),可以將空間幾何圖形與代數(shù)數(shù)值相結(jié)合,使圖形描述更加精準(zhǔn),圖形中的數(shù)學(xué)條件更加清晰.

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