高中生對(duì)圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及問(wèn)題分析

孫艷婷 李云飛

【摘 要】 “圓錐曲線(xiàn)”內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)十分重要的一部分，在數(shù)學(xué)知識(shí)的體系中起著承上啟下的作用，不僅在高中學(xué)習(xí)以及高考中占據(jù)一定的地位，與我們的日常生活也緊密相關(guān).可對(duì)于這部分知識(shí)，學(xué)生們的得分往往不盡人意，那么高中生對(duì)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀究竟如何呢？為此，筆者對(duì)部分高中生開(kāi)展了圓錐曲線(xiàn)認(rèn)知水平的調(diào)查.

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線(xiàn);高中數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

1 研究背景

1.1 圓錐曲線(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

1.1.1 “圓錐曲線(xiàn)”在高中數(shù)學(xué)課程中的重要性

“圓錐曲線(xiàn)”是蘇教版高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（2019版）第3章的內(nèi)容，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中起著十分重要的作用.首先，對(duì)于高二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在初中時(shí)期就已經(jīng)接觸到了關(guān)于求解直線(xiàn)與圓的問(wèn)題，在初中的基礎(chǔ)上，高中階段對(duì)這部分知識(shí)進(jìn)行了進(jìn)一步的拓展與加深，學(xué)生此時(shí)已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)抽象思維的能力，在這個(gè)階段進(jìn)行圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生既可以同化之前所學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，又為后續(xù)解決一些解析幾何綜合應(yīng)用的問(wèn)題起到鋪墊作用，進(jìn)一步完善關(guān)于解析幾何問(wèn)題的解決方法，為學(xué)生之后學(xué)習(xí)空間解析幾何打下良好的基礎(chǔ).

1.1.2 “圓錐曲線(xiàn)”蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

圓錐曲線(xiàn)整個(gè)模塊的核心思路是希望借助直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程的代數(shù)關(guān)系，研究幾何問(wèn)題，這就構(gòu)建了極強(qiáng)的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.需要我們學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和分類(lèi)討論思想.學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)這部分知識(shí)時(shí)，必然要涉及到直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程聯(lián)立解題，而這就需要培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)想象能力，在具體解體的的過(guò)程中，也要加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力[1HYPERLINK＼l"_ENREF_1"＼o"張?chǎng)蚊龋?020#21"].學(xué)生要能夠發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)和新知識(shí)之間的聯(lián)系，從而逐漸發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，將枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為獲取新知并成功解決問(wèn)題的動(dòng)力，教師更要引導(dǎo)學(xué)生形成解決問(wèn)題的思路，加深學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律的理解和認(rèn)知.

1.1.3 “圓錐曲線(xiàn)”的廣泛應(yīng)用

“圓錐曲線(xiàn)”不僅僅在高中數(shù)學(xué)課程中有著極其重要的地位，在其他的領(lǐng)域中也有著舉足輕重的作用，比如物理學(xué)中的天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也常常需要用到圓錐曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)解決物理問(wèn)題，還有實(shí)際生活中的建筑，如發(fā)電廠(chǎng)冷卻塔的外形線(xiàn)等的問(wèn)題也經(jīng)常要用到圓錐曲線(xiàn)相關(guān)知識(shí)來(lái)解決.由此可見(jiàn)，通過(guò)學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)知識(shí)既可以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，又可以幫助解決實(shí)際自然生活以及物理學(xué)問(wèn)題.

1.2 《課標(biāo)》以及考綱對(duì)圓錐曲線(xiàn)部分的要求

2017 年國(guó)家教育部頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，圓錐曲線(xiàn)屬于幾何與代數(shù)這一主線(xiàn)，是平面解析幾何的核心內(nèi)容.筆者根據(jù)《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》和《課標(biāo)》對(duì)圓錐曲線(xiàn)知識(shí)的要求，將此以表格形式呈現(xiàn)出來(lái)：

2 高中生對(duì)圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查研究

2.1 調(diào)查方法

此次調(diào)查的方法采用的是：普遍調(diào)查的方法[2HYPERLINK＼l"_ENREF_2"＼o"何西，2018#17"].此次考試本年級(jí)共有698名學(xué)生參加測(cè)試，采取一份試卷兩人閱評(píng)的方式，高二的教研組的13名教師中批改圓錐曲線(xiàn)試題的共有3名，分值誤差在2分以上是將采取第三輪評(píng)卷以保證學(xué)生分?jǐn)?shù)的公平性和準(zhǔn)確性.系統(tǒng)會(huì)根據(jù)學(xué)生的分?jǐn)?shù)進(jìn)行歸類(lèi)和統(tǒng)計(jì)，從而得出科學(xué)的依據(jù).

2.2 調(diào)查背景

此次調(diào)查是對(duì)高二學(xué)生的階段性測(cè)試，其中圓錐曲線(xiàn)占比50%左右，有關(guān)圓錐曲線(xiàn)考題單選題為第4、5、6、7、8 ，多選題為10、11、12題，解答題為18、22題.此次我選擇理科實(shí)驗(yàn)1班、理科普通3班、文科實(shí)驗(yàn)5班、文科普通6班作為調(diào)查對(duì)象，具體情況如下：

以上是江蘇省某市2020屆高二學(xué)生第一次月考成績(jī)整理得到的數(shù)據(jù).

通過(guò)對(duì)全校這698名學(xué)生試卷的統(tǒng)計(jì)，得出主要有以下丟分情況：

通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析，不難發(fā)現(xiàn)要想使學(xué)生在圓錐曲線(xiàn)部分少丟分，必須要從以上幾方面入手，找出問(wèn)題最根本所在.

（1）忽略題目中關(guān)鍵條件以及不能準(zhǔn)確分析中解題的關(guān)鍵要素（思慮不周）

解決此題的重要思路是通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想先將直線(xiàn)方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，再通過(guò)跟與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合圖形，完成從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化進(jìn)而將問(wèn)題解決.在解題時(shí)忽略了已知條件，未能分析解題的關(guān)鍵要素從而失分.

（2）沒(méi)能掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)定義，“數(shù)形結(jié)合”能力以及解題策略差（數(shù)學(xué)能力差）

圓錐曲線(xiàn)重點(diǎn)考察數(shù)形結(jié)合能力，不能考慮到將直線(xiàn)與方程進(jìn)行聯(lián)立解題說(shuō)明并沒(méi)有掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)真正的考察內(nèi)容，缺失了數(shù)形結(jié)合的思想從而導(dǎo)致失分.

（3）復(fù)雜計(jì)算不敢算或計(jì)算錯(cuò)誤（計(jì)算能力差）

學(xué)生對(duì)于計(jì)算能力的掌握實(shí)際上一直是弱項(xiàng)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，沒(méi)有大量的練習(xí)，是不可能有突破性的進(jìn)步和提升的，在圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)中，此方面處于弱勢(shì)的同學(xué)會(huì)表現(xiàn)得更加明顯，除了大量的練習(xí)以外還需要學(xué)生的細(xì)心和耐心，在高壓強(qiáng)度的學(xué)習(xí)下，要想學(xué)生能有此認(rèn)真平穩(wěn)的態(tài)度，這并非易事.

（4）書(shū)寫(xiě)不公正卷面不清晰以及筆記勾連（書(shū)寫(xiě)不規(guī)范）

卷面整潔是考試中獲得優(yōu)勝必不可少的一部分.

3 提高學(xué)生生對(duì)圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)能力的教學(xué)策略

我們把得分在120分及以上同學(xué)作為優(yōu)秀生，90-120分之間的同學(xué)作為普通生，0-90分之間的同學(xué)作為困難生.通過(guò)對(duì)抽調(diào)的試卷分析以及對(duì)不同程度的學(xué)生的得分情況來(lái)看，得出了學(xué)生在圓錐曲線(xiàn)失分的主要地方，根據(jù)學(xué)生試卷反映情況以及數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，我們得出了以下幾方面解決策略.

3.1 培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，有策略有方法的解決問(wèn)題

數(shù)學(xué)解題思維是學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)的重要突破點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教師口中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的.做題要有一定的邏輯順序，同時(shí)也要因人而異，找到屬于自己的一套方式方法.每個(gè)同學(xué)解題的切入點(diǎn)不同，所體現(xiàn)出的解題思維自然有所區(qū)別.能否形成數(shù)學(xué)思維，要靠平時(shí)的訓(xùn)練與培養(yǎng).因此在學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)的過(guò)程中，教師作為教育的主導(dǎo)者，要潛移默化的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，在不斷地練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，將思想作為指導(dǎo)，方法作為實(shí)施策略，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法.

通過(guò)調(diào)查也能看出：學(xué)生在解決問(wèn)題的主要影響因素有：（1）數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化意識(shí)不足，不能很好的理解題目;（2）“數(shù)”與“形”之間轉(zhuǎn)化能力弱，不能根據(jù)題中所給信息制定一個(gè)可執(zhí)行的解題策略;（3）有時(shí)盡管是正確的方向卻由于未檢驗(yàn)或漏掉重要信息而導(dǎo)致解題失敗.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生多元表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，這需要學(xué)生有清晰的解題方案和方法步驟.數(shù)學(xué)不單單是一門(mén)“計(jì)算”的學(xué)科，在解決問(wèn)題的過(guò)程中多方面培養(yǎng)人的思維的有序性，邏輯的縝密性才是學(xué)習(xí)的最終目的.波利亞的解題研究在這方面可以給我們提供很好的理論支撐以及可實(shí)施的具體方法.

（1）理解題目：確定未知量、數(shù)據(jù)、條件以及舍去題目中的多余部分.

（2）擬定方案：找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系，觀(guān)察未知量，回憶曾經(jīng)解過(guò)的與其相似的題目或引入某個(gè)輔助元素從而擬定一套可執(zhí)行的方案，此時(shí)就要擁有一定的數(shù)形結(jié)合能力作為解題的依據(jù).

（3）執(zhí)行方案：執(zhí)行解題方案并檢查每一個(gè)步驟.

（4）回顧：檢驗(yàn)已經(jīng)得到的回答，此時(shí)可以從解出的具體數(shù)值帶回已知條件，圖形也可以幫助我們進(jìn)行檢驗(yàn)判斷.

將這一解題策略具體運(yùn)用到學(xué)生解決圓錐曲線(xiàn)的過(guò)程中，不僅可以加強(qiáng)他們對(duì)已知與未知之間的聯(lián)系，鞏固深化腦中已有的知識(shí)，再建立起舊知識(shí)與新知識(shí)之間的橋梁，將完整的解題策略反復(fù)熟練運(yùn)用會(huì)顯著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

3.2 加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用、掌握歸納的結(jié)論

很多的同學(xué)在做解析幾何時(shí)，書(shū)寫(xiě)的很繁瑣，尤其是對(duì)于圓錐曲線(xiàn)一些常見(jiàn)的二級(jí)結(jié)論陌生，甚至根本不了解.教師要在此時(shí)發(fā)揮主導(dǎo)作用，不僅要將一些常見(jiàn)圓錐曲線(xiàn)的二級(jí)結(jié)論給學(xué)生推導(dǎo)整理，更要讓他們熟記于心.在解題過(guò)程中即使不能熟練運(yùn)用至少也要能自己推導(dǎo)出來(lái)所需要的公式或做題方法，掌握后常加以運(yùn)用，熟能生巧說(shuō)的也是這個(gè)道理.

3.3 提高學(xué)生的運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是由低級(jí)到高級(jí)、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由具體到抽象的過(guò)程，這就決定了數(shù)學(xué)運(yùn)算具有層次性，只有簡(jiǎn)單的、低級(jí)的、具體的運(yùn)算過(guò)了關(guān)，才能進(jìn)行深層次的復(fù)雜、高級(jí)、抽象運(yùn)算.如果簡(jiǎn)單的基本運(yùn)算技能都沒(méi)能掌握，那么復(fù)雜的運(yùn)算學(xué)生更無(wú)法解決[3HYPERLINK＼l"_ENREF_3"＼o"石偉娜，2016#19"].所以，在實(shí)際教學(xué)中，教師要注重學(xué)生有關(guān)運(yùn)算的基礎(chǔ)的練習(xí)，常以板書(shū)示范，在教師眼中顯而易見(jiàn)的計(jì)算環(huán)節(jié)對(duì)于很多學(xué)生并不能心領(lǐng)神會(huì)，要關(guān)注學(xué)生的狀態(tài)與反應(yīng)，及時(shí)溝通才能達(dá)到最佳教學(xué)效果.

3.4 督促學(xué)生正確、規(guī)范書(shū)寫(xiě)

對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，好的書(shū)寫(xiě)就已經(jīng)贏了第一步.事實(shí)上，良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣不僅對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科是有利的，對(duì)于其他科目一樣是十分有幫助的.而在日常教學(xué)過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生粗心大意，將原本計(jì)算正確的題目由于書(shū)寫(xiě)潦草或者書(shū)寫(xiě)失誤導(dǎo)致最終結(jié)果錯(cuò)誤，例如，將2n+1寫(xiě)成2n+1，lg2·32寫(xiě)成lg2·32等等，由于這樣的問(wèn)題造成成績(jī)不理想的結(jié)果實(shí)在是讓人覺(jué)得可惜，而這是完全可以避免的.因此教師要多提醒學(xué)生，在平時(shí)的作業(yè)以及測(cè)試中將“好的書(shū)寫(xiě)”提上日程，并不斷督促學(xué)生形成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣.

4 ?研究結(jié)論與不足

本文存在三點(diǎn)不足：（1）在此次調(diào)查中，只以一個(gè)學(xué)校作為調(diào)查樣本，調(diào)查容量較小，而且參考的圓錐曲線(xiàn)題目樣卷有限，具有一定的局限性;（2）本文沒(méi)有對(duì)學(xué)生如何形成這些學(xué)習(xí)問(wèn)題沒(méi)有進(jìn)行深入分析，論文探討內(nèi)容較淺;（3）由于時(shí)間以及本人的個(gè)人原因，使得此次調(diào)查的深度和廣度不夠，文中提到的建議與方法還需要進(jìn)一步實(shí)踐與探究.

參考文獻(xiàn)：

[1]張?chǎng)蚊?基于ACT-R理論的圓錐曲線(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)案例研究.2020，天津師范大學(xué).

[2]何西.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)學(xué)習(xí)障礙及應(yīng)對(duì)策略.2018，四川師范大學(xué).

[3]石偉娜.高二理科生運(yùn)算能力的調(diào)查研究.2016，河北師范大學(xué).