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    高一數(shù)學(xué)教材的學(xué)生改編陳題方法研究

    2022-07-23 09:26:02洪冰虹
    數(shù)理天地(高中版) 2022年7期
    關(guān)鍵詞:變式教學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

    洪冰虹

    【摘 要】 十九大報告提倡要給學(xué)生提供有質(zhì)量的教育,數(shù)學(xué)教學(xué)如何引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)有質(zhì)量的自主學(xué)習(xí)?近幾年一線教師推行一系列學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題的變式教學(xué)活動,以期提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率.改編數(shù)學(xué)陳題旨在促進(jìn)學(xué)生自主思考,生成知識遷移與應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力,從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率的提高.本文以人教版A版(2019)高一數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題為陳題,結(jié)合學(xué)生改編成果,探討引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行改編數(shù)學(xué)陳題的方法.

    【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);變式教學(xué);數(shù)學(xué)陳題

    十九大報告指出,“努力讓每個孩子都能享有公平而有質(zhì)量的教育”.對于數(shù)學(xué)教育來說,何謂有質(zhì)量的教育?《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)強(qiáng)調(diào):“教師需要引導(dǎo)學(xué)生積累發(fā)現(xiàn)和提出問題,分析和解決問題的經(jīng)驗,養(yǎng)成獨立思考與合作交流的習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).”簡而言之,數(shù)學(xué)教學(xué)中秉持教師為輔,學(xué)生為主的理念,教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)效率,讓教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用碰撞出知識的火花,使教學(xué)效果最大化,進(jìn)而實現(xiàn)學(xué)生有質(zhì)量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授曾提出:“數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從‘冰冷的美麗’中體驗‘火熱的思考’.”現(xiàn)代教學(xué)論亦指出教育的本質(zhì)是獲取而不是給予.那在平時的教學(xué)中,教師該如何引導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量?

    在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中,習(xí)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的核心工具之一.學(xué)生通過解題應(yīng)用鞏固知識,這是習(xí)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大價值.但習(xí)題的作用不應(yīng)止于此,作為教師的我們應(yīng)該去發(fā)掘習(xí)題的潛在價值,使習(xí)題的功能最大化,讓學(xué)生通過習(xí)題獲得更佳的學(xué)習(xí)效果.

    學(xué)生解題,題從何而來?從課本來?從試卷來?解題人卻獨獨不是出題人.學(xué)生習(xí)慣以解題者自居,從解題者的立場思考.雖有所收獲,但對于大部分學(xué)生來說,解題過程未必是學(xué)生主動內(nèi)化的過程,稍不注意淪為解題機(jī)器,收效甚微.皮亞諾指出:“只有學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)的東西才能積極地被同化,從而產(chǎn)生深刻地理解.”改編數(shù)學(xué)陳題的目的就在于打破學(xué)生的思維定勢,以出題者的身份主動發(fā)現(xiàn)問題,主動思考知識的遷移聯(lián)結(jié),從單一知識點輻射到相關(guān)知識點,化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí).

    對于教師來說創(chuàng)編也有一定的難度,何況學(xué)生.故而筆者覺得可以先讓學(xué)生嘗試改編數(shù)學(xué)陳題,相當(dāng)于“半編題”.陳題是指學(xué)生在自己或他人的幫助下已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)習(xí)題,它的出處可以是課本、練習(xí)冊或者試卷.改編數(shù)學(xué)陳題是指高中生解決數(shù)學(xué)陳題后,結(jié)合自己以往學(xué)習(xí)積累的經(jīng)驗,以獨立或者合作的形式對陳題進(jìn)行數(shù)據(jù)、條件、設(shè)問或結(jié)構(gòu)等的改編,將陳題改編成新題.

    改編數(shù)學(xué)陳題,對于高中生來說,雖然有難度但也能攻克,就需要學(xué)生墊墊腳尖努努力就能完成.而維果茨基也提出教師應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造“最近發(fā)展區(qū)”,不僅給予學(xué)生現(xiàn)階段水平能完成的學(xué)習(xí)任務(wù),也要引導(dǎo)學(xué)生跨越“最近發(fā)展區(qū)”走在發(fā)展的前頭.

    近幾年不少一線教師進(jìn)行學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題的嘗試,確信這一活動對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有促進(jìn)作用.金楊建老師說:“命制一道新題并不是憑空‘靈機(jī)一動’的原創(chuàng),更多的是給予某些好題‘水到渠成’的改編.”王愛娣老師也同意:“學(xué)生學(xué)會改編課本中的題目,不僅可以使學(xué)生由解題人的角度變換為出題人的角度,提高駕馭題目的能力,而且這個過程中,通過運用知識,可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).”可見,改編數(shù)學(xué)陳題對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一定的幫助.下面以人教版A版(2019)高中數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題為陳題,結(jié)合學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題成果探討引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行改編數(shù)學(xué)陳題的方法,此處略去解題過程.

    陳題1 已知|a|=2,|b|=1,且a-b與a+2b互相垂直,求證a⊥b.(必修二22頁練習(xí)2)

    1 同構(gòu)改編

    1.1 概念同義改編

    教師進(jìn)行學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題活動時應(yīng)遵循由易到難的原則,明確活動的目的是為了促進(jìn)學(xué)生思考,自主生成知識的遷移與應(yīng)用,不宜一開始就設(shè)置過高的目標(biāo),打擊學(xué)生的積極性.學(xué)生剛接觸改編,一切都很陌生,不知從何入手.此時可以引導(dǎo)學(xué)生從通俗易懂的角度入手--概念同義改編,讓學(xué)生把陳題中出現(xiàn)的概念換另一種形式描述,也就是改編該知識點的表達(dá)方式.這種形式的改編簡單易操作,也能促進(jìn)學(xué)生強(qiáng)化鞏固該知識點.以下就是學(xué)生對陳題1進(jìn)行概念同義改編的新題.

    生1 已知|a|=2,|b|=1,-b與a+2b互相垂直,求a與b的夾角.

    生2 已知|a|=2,|b|=1,-b與a+2b互相垂直,求a·b.

    和陳題相比變化不大,只是改了設(shè)問的表述,變成一道熟悉的新題.對設(shè)問同義改編可以加深學(xué)生對知識點的印象,比如此處改編加深學(xué)生對向量垂直的相關(guān)概念與公式的掌握,特別在學(xué)完向量的坐標(biāo)運算后,大部分學(xué)生總習(xí)慣用坐標(biāo)判定向量垂直:a→⊥b→x1x2+y1y2=0,卻忽視了最初的通用通法,即a→⊥b→a→·b→=0.

    1.2 數(shù)據(jù)等價改編

    數(shù)據(jù)改編之于學(xué)生也是一個可操作性強(qiáng)的方法,但數(shù)據(jù)改編的方向不是單一的.進(jìn)行數(shù)據(jù)改編教師要提醒學(xué)生取值的合理性,結(jié)果是否符合實際.數(shù)據(jù)改編僅換數(shù)值,對陳題思路沒有多大變化,這是浮于表面的改編,只能強(qiáng)化鞏固知識點.若是數(shù)據(jù)改編引起陳題解題思路轉(zhuǎn)變,乃至知識點的拓展,那就是深度挖掘了.下面針對陳題1進(jìn)行數(shù)據(jù)等價改編,深度挖掘則放到后面再詳談.

    生3 已知|a|=2|b|,-b與a+2b互相垂直,證明a⊥b.

    學(xué)生在此處側(cè)重于改編數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式,與概念同義改編異曲同工.雖然思路不變,但能觀察數(shù)據(jù)得出此類結(jié)果,學(xué)生也是下了一番功夫.不同的學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)造詣,作為教師,我們要因材施教,新課改也點明,讓每個學(xué)生在數(shù)學(xué)上有自己的發(fā)展.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生,在改編數(shù)學(xué)陳題活動中可能大多淺嘗輒止,僅僅進(jìn)行更改數(shù)據(jù)等很小的改編,前后差別不大.雖然這是比較淺顯的改編,但學(xué)生能自主思考發(fā)現(xiàn)問題提出問題,比起被動做題這就是在進(jìn)步了.

    1.3 互逆法

    學(xué)生掌握了同義和數(shù)據(jù)改編后,教師可以開始在改編教學(xué)中融合逆向思維,實施逆命題改編.把條件和結(jié)論互換,這對學(xué)生來說是輕而易舉的事.雖然容易,但能在一定程度上能轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維定勢,提高學(xué)生處理數(shù)學(xué)問題的靈活性,而不是一條路走到黑.以下是學(xué)生用互逆法改編陳題1得出的:

    生4 ?已知|a|=2,|b|=1,向量a與b的夾角為π2,求

    (a-b)·(a-2b).

    條件和設(shè)問互逆,題目的知識點沒有變化,但對于學(xué)生的刺激未必不大.學(xué)生在平時的解題過程中思維容易定勢,同一個知識點,用逆向思維的角度考察,反而懵了.如能引導(dǎo)學(xué)生打破慣性思維多進(jìn)行逆向改編,也不失為是對學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的初步鍛煉.雖然互逆法簡單易操作,但教師也要提醒學(xué)生注意逆命題是否為真.

    1.4 新瓶裝舊酒

    學(xué)生掌握基本的改編方法后,教師可以鼓勵學(xué)生做更多的嘗試--重塑題目,用不同的角度來考察同一個知識點,獲得似曾相識的新題,比如下面由陳題1改編而來的:

    生5 已知|a|=2,|b|=1,向量a與b的夾角為45°,且ka-b與a+2b互相垂直,求k?

    生6 ?已知|a|=3,|b|=4,向量a+34b與a-34b

    的夾角為?

    題目和前面的幾類新題相比變化較大,但本質(zhì)上考察的知識點還是圍繞向量的數(shù)量積和運算展開,只是解題思路發(fā)生了變化了.前面的幾種改編改的僅僅是題目的呈現(xiàn)形式,不觸及題目中心-解題思路.此處知識點沒變,換的是知識的切入點.學(xué)生對經(jīng)常遇到的模式敏感,若遇到罕見的考察方向,比如生6這道題,可能一開始也會無從下手.借助改編,幫助學(xué)生加深理解數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化和知識點的考察,提高學(xué)生審題能力,促進(jìn)學(xué)生主動消化知識點的同構(gòu)異現(xiàn).

    2 異構(gòu)改編

    2.1 重組整合

    同構(gòu)改編,基本上在陳題的知識圈里徘徊,學(xué)生上手了,教師就該提高要求,引導(dǎo)學(xué)生跳出原有的“知識圈”,以陳題的知識點為中心向外觸碰 “細(xì)枝末節(jié)”,進(jìn)行相關(guān)知識點改編,促進(jìn)學(xué)生對該知識的遷移應(yīng)用.

    生7 已知|a|=1,|b|=2,向量a與b的夾角為π6,求|a-2b|:

    生8 已知a=(2,5),b=(1,t),且b在a方向上的投影為2+153,求t:

    這幾道改編新題和陳題1關(guān)系不大,屬于相關(guān)知識點改編:向量的模、投影和坐標(biāo)運算.重組整合在一定程度上能促進(jìn)學(xué)生加快熟悉知識板塊的脈絡(luò),完善知識體系.平時復(fù)習(xí)課的模式大多是學(xué)生做題教師講題,學(xué)生處于相對被動的學(xué)習(xí)狀態(tài).加入改編元素的復(fù)習(xí)課,迫使學(xué)生主動梳理、應(yīng)用和聯(lián)結(jié)知識點.一道改編新題,輻射到其他知識點,收獲知識之間的聯(lián)結(jié)應(yīng)用,那是學(xué)生做幾道習(xí)題才能有的收獲,從一定程度上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率,保證學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量.

    2.2 深度挖掘

    知識點的改編可以是橫向知識點的拓展,比如重組整合將向量的數(shù)量積拓展到向量的模、投影和坐標(biāo)運算等相關(guān)知識點,由知識點的A面輻射到知識點的B、C面.改編也可以縱向,向知識點深挖進(jìn)行探究,從知識點A深究到知識點A1、A2 ……,比如下面的改編:

    陳題2 ?求-x2+2x-3>0的解集(必修一52頁例3).

    改編1 ?求x2-(1-a)x+a>0的解集.

    改編2 求1+a-2x-3x2>0的解集.

    改編3 求ax2-2x+a>0的解集.

    這幾道針對陳題2的改編重在系數(shù)的修改,也就是前面說的數(shù)據(jù)改編帶來知識點的深度挖掘.由常規(guī)一元二次不等式遷移到含參數(shù)不等式,層層遞進(jìn).進(jìn)行縱向深度的改編,對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力有一定的要求,基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生,我們不做過多的要求;但是有能力的學(xué)生,我們教師還是應(yīng)該鼓勵他們克服懶惰情緒,敢于挑戰(zhàn)嘗試.幫助他們走出學(xué)習(xí)的“舒適圈”,跨過“最近發(fā)展區(qū)”,走在發(fā)展前端.

    改編數(shù)學(xué)陳題的方法很多,此處未能一一闡述,僅講述幾種平時學(xué)生常用的方法,其中以數(shù)據(jù)、條件和設(shè)問的改編最為常見和高效.教師若能發(fā)掘更多適合學(xué)生的改編方法,指導(dǎo)學(xué)生有效改編數(shù)學(xué)陳題,讓學(xué)生轉(zhuǎn)化角色:以出題人的角度分析題目,找出隱含的數(shù)學(xué)信息,對題型做深度的思考,促進(jìn)知識點聯(lián)結(jié)和遷移.如此將能使學(xué)生適應(yīng)多變的習(xí)題,提高學(xué)生駕馭題目的能力和解題效率,獲得抽象,運算等多方面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展,實現(xiàn)學(xué)生有質(zhì)量的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

    【本文受汕頭市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃項目(2021GHB031)資助】

    參考文獻(xiàn):

    [1]劉巧林.編題教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的嘗試——以“平面向量”復(fù)習(xí)課為例[J].高考,2020(08):36.

    [2]金楊建.圍繞“形”和“意”,改編數(shù)學(xué)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2020(08):69-71.

    [3]課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書(2019年版)[M].人民教育出版社,2019.

    [4]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].人民教育出版社,2018.1.

    [5]董婷婷.一編多得——基于蘇教版初中數(shù)學(xué)教材的學(xué)生編題方法研究[J].生活教育,2018(08):106-109.

    [6]王愛娣.在做課本改編題中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J].初中生世界,2014(15):52-53.

    [7]張大均.《教育心理學(xué)》[M].人民教育出版社,2014(2018.7重?。?

    [8]胡德海.《教育學(xué)原理》第三版[M].人民教育出版社,2013.11.

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