修正本征Bernstein-Durrmeyer型算子的逼近

張 斌，虞旦盛

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 311121)

0 引言

1987年，Goodman等[1]引入了本征Bernstein-Durrmeyer型算子

Un(f,x)相較于一般Bernstein-Durrmeyer型算子的優(yōu)點(diǎn)是其保持線性函數(shù)，而普通Bernstein-Durrmeyer型算子并不保持線性函數(shù).許多學(xué)者對(duì)Un(f,x)的逼近性質(zhì)做了研究[2-14].在文獻(xiàn)[4]中，Gonska等給出了Un(f,x)對(duì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)逼近的正定理與逆定理，結(jié)論如下:

定理1設(shè)0≤λ≤1為固定常數(shù)，則對(duì)任何f∈C[0,1]，存在一個(gè)僅依賴于λ的正常數(shù)C，使得

定理2設(shè)0≤λ≤1，則對(duì)任意f∈C[0,1]，θ∈(0,2)，以下條件等價(jià)：

定理3設(shè)0≤λ≤1為固定常數(shù)，則對(duì)任何f∈C[0,1]，存在一個(gè)僅依賴于λ的正常數(shù)C，使得

我們還有下面的Voronovaskaja型估計(jì)：

定理4對(duì)任何f∈C2[0,1]，存在一個(gè)僅依賴于λ的正常數(shù)C，使得

1 引理及其證明

為了證明上述定理，首先給出幾個(gè)引理.

引理1[5]下列等式成立：

引理2下列等式成立：

(1)

(2)

(3)

證明對(duì)k=1，2，…，有

(4)

因此，結(jié)合引理1及式(4)，可立得(1)(2)及

證明由引理2及Cauchy不等式可得

證明由式(1)、(2)可得

pn,0(x)+pn,n(x)+1-pn,0(x)-pn,n(x)=1;

2 定理的證明

定理3的證明對(duì)任何f∈C[0,1]，定義K-泛函

(5)

(6)

(7)

(8)

由Taylor展開式可得

因此利用引理4知

從而有

I1+I2+I3+I4+I5.

首先估計(jì)I1.結(jié)合引理2和引理6，有

(9)

再來估計(jì)I2.再次應(yīng)用引理6，有

類似地，可以得到

(11)

由式(9)— (11)，并結(jié)合式(6)、(7)，可得

(12)

因此定理3得證.

定理4的證明對(duì)任何f∈C[0,1]，定義K-泛函:

(13)

(14)

(15)

簡單計(jì)算可得

因此，

M1+M2+M3+M4+M5.

先來估計(jì)M1.直接計(jì)算得

由式(1)-(3)及(13)得

(16)

類似地，可得到

(17)

對(duì)于M13，有

(18)

以下分兩種情形對(duì)M13進(jìn)行估計(jì).

(19)

(20)

結(jié)合式(16)—(20)，得

(21)

對(duì)于M2，有

(22)

對(duì)于M21，結(jié)合式(13)有

(23)

類似地可得到

(24)

對(duì)于M23，類似于對(duì)式(18)的討論，得

(25)

因此，結(jié)合式(23)—(25)，得

(26)

類似地，對(duì)于Mi,i=3,4,5，都有

(27)

結(jié)合式(21)、(22)、(26)和(27)，定理4得證.