淺議平面向量思想方法的落實設計

摘 要：向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。本文結(jié)合實際教學案例，闡述在教學中如何落實平面向量的基本思想和方法，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，感悟數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解。

關(guān)鍵詞：平面向量;代數(shù)法;幾何法;坐標法;數(shù)形結(jié)合

2018年，高中數(shù)學進入了“新課程”教學?！缎抡n程標準》（以下簡稱《標準》）提出：數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力和情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的?；诟咧袛?shù)學課程性質(zhì)和教育價值，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體。

我們發(fā)現(xiàn)，新修訂的課程方案和標準聚焦學生核心素養(yǎng)，其中課程目標與內(nèi)容、實施與評價等都發(fā)生了深刻的變化。新修訂的標準中，學科核心素養(yǎng)的凝練與水平的劃分、學業(yè)質(zhì)量標準功能的定位，使高中課程與新高考的要求實現(xiàn)了內(nèi)在的一致。這就要求教學既要凸顯核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，又要符合高考改革的關(guān)鍵變化。面對新修訂的課程和新高考即將大范圍推進的挑戰(zhàn)，“新教學、新學習”的探索變得尤其迫切和重要。

《標準》中核心素養(yǎng)的提出指向了一件事情，即關(guān)于培養(yǎng)人的問題的研究。作為教師，思考探索教育教學的新路徑、新形式、新方法成了迫在眉睫和勢在必行的事。面對瞬息萬變的信息化時代，教育教學不僅從真實中來，還要回到真實中去，要打通學校教育和真實世界的路徑，真真正正做到為了學生的發(fā)展，不僅要考慮今天學生在學校所學的知識，更要考慮他們未來解決問題的能力，也就是“超越學校價值”的知識成果。正因為如此，學生的學習，不應該是被動地去接納外在知識的灌輸，也不是從實踐開始的盲目試誤，而是通過主動的、有目的的活動，對人類已有認識成果及其過程的學習與體驗。它需要學生全身心地投入，真正成為教學活動的主體。因此，教學中，教師需要改變以講授知識點為立場的教學設計范式，應該以培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)為綱，尊重學科邏輯體系，基于《標準》的目標要求，充分考慮大觀念和關(guān)鍵能力，在規(guī)定的時間內(nèi)，設計組織教學內(nèi)容和活動，強調(diào)教學過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，明確評價目標和方法，從而實現(xiàn)以素養(yǎng)為本的教學設計。本文通過對學生課堂活動的設計，來實現(xiàn)向量思想方法的落實。

“幾何與代數(shù)”是高中數(shù)學課程的主線之一。無論在必修課程還是選擇性必修課程中，均突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解。向量是近代數(shù)學的基本概念之一，是一種重要的數(shù)學工具。向量理論具有深刻的數(shù)學內(nèi)涵、豐富的物理背景。向量既有代數(shù)形式，又有幾何形式，還有坐標形式，是溝通幾何和代數(shù)的橋梁。向量是描述直線、曲線、平面、曲面，以及高維空間數(shù)學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數(shù)學領域問題的基礎，在實際生活與學習中發(fā)揮重要作用。

在教學中，學生對向量的多重“身份”——代數(shù)形式、幾何形式與坐標形式的理解和認識有個逐步建立的過程。在向量基本概念和基本運算的學習過程中，學習建立了對向量“多重身份”的初步認識。本文的設計是在向量基本概念研究完成后，通過創(chuàng)設具體的題目情境，與學生一起探究向量的不同角度的研究方法，讓學生經(jīng)歷將代數(shù)、幾何、坐標等方法結(jié)合起來解題的過程，加強對向量思想方法的理解，觸發(fā)學生對向量代數(shù)、幾何和坐標特征的關(guān)注與思考，感受幾何直觀和代數(shù)運算之間的融合。同時達到學生對數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)、多種方法內(nèi)在的聯(lián)系的深刻認識，提高數(shù)學素養(yǎng)。

一、多角度研究的初步體驗

我們先選一個結(jié)構(gòu)簡單，比較容易入手的例題，學生可以通過研討生成多種基本的方法。

已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，求的最大值。

我們知道，平面內(nèi)任意兩個不共線的向量都可以作為基底，但在選取基底時，應盡量使用有利于解決問題的基底。借助平面向量基本定理，可以將平面內(nèi)任意多個向量的問題轉(zhuǎn)換為兩個特定的不共線向量的問題，這樣就將問題大大地簡化。這也是我們要學習平面向量基本定理的原因之一。本題有很好的一組基底，，可用這組基底線性表示，所以便可轉(zhuǎn)化為基底之間的運算，即：

設，則.

所以的最大值為1.

利用向量的坐標求向量的數(shù)量積是一種常用的方法，在運算時，如果建立適當?shù)淖鴺讼?，就可以大大地簡化運算，同理，向量的長度、距離，以及向量之間的夾角都可以利用向量的數(shù)量積的坐標運算得解。對學生而言，什么時候可以使用向量的坐標法是一個難點。其實選擇的主要依據(jù)，就是看題目，以及已知的條件是否適合建立合適的平面直角坐標系。當然，很容易觀察到本題有一組現(xiàn)成的標準正交基底，所以建立平面直角坐標系，將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標運算也非常便捷。

平面向量的數(shù)量積運算是向量之間的一種特殊的運算，不同于向量的加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果仍是向量，數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量。這部分知識對于學生而言是相對抽象的，并不好理解與接受。在實際教學中，需要借助功的定義，幫助學生理解向量的數(shù)量積運算來源于物理學知識，在實際生活中，向量這種運算是存在著的。向量的投影及其數(shù)量是充分體現(xiàn)行的幾何身份的知識，是解決向量相關(guān)問題所特有的工具[1]。本題可以結(jié)合平面向量的數(shù)量積的幾何意義得到為在方向投影的數(shù)量與模長之積，解法直觀形象，一目了然。

通過上面的探索，學生會發(fā)現(xiàn)，同一道向量題目，入手點不同，可以得到不同的解題路徑。

二、經(jīng)驗驗證與能力提升

例：若非零向量滿足，則以下說法正確的是_____________。

①? ?②

③? ?④

受到引例的啟發(fā)，本題學生可以從以下不同角度進行嘗試：

（一）代數(shù)方法

由，等式兩邊同時平方，可得：，即.

欲考查與的大小關(guān)系，只需考查與0的關(guān)系。由，易得.因題目中沒有給出與的關(guān)系，所以與的大小無法判斷。

同理，

，所以可得：.

所以本題答案為③。從上述過程中可以得到，用代數(shù)方法解決向量問題，代數(shù)運算是很好的入手點，通過向量運算的代數(shù)恒等變形，可以得到一些代數(shù)形式的條件，這些條件為問題的解決提供支撐。

（二）坐標方法

設，則由可得：，所以，因題目未給出關(guān)于與的信息，所以與的大小無法判斷。

同理，

，所以可得：.

由此可得本題答案為③。坐標方法解決本題的最大障礙在于由于引入未知數(shù)個數(shù)較多（三個），學生選擇此法的信心不足。但通過解題過程，學生會感受到坐標的運算帶來變量的迭代，在此過程中變量過多的問題也得到了解決。

（三）幾何方法

本題目的主要條件是，當不共線的時候，我們從向量加法的定義，可以將與畫在一個等腰三角形中。根據(jù)模長的不同情況，畫圖可得與的大小無法判斷，而一定成立。

事實上，我們可以證明，所以是直角邊，而是斜邊，所以.

當共線的時候，上述結(jié)論也成立，故本題答案為③。

此法中，能根據(jù)平面向量加法法則畫出圖形是關(guān)鍵，但得到正確答案還需過一關(guān)：畫出所有可能的情況。如果只畫出一種情況，就可能得到片面的結(jié)論。由此可見，幾何法也有一定的局限性：它較大程度依賴于作圖，而作圖有可能會過于主觀，有失客觀性，使得結(jié)論不夠全面。

這三種解法的入手角度不同，各有特點，學生通過研討，會進一步加深對向量基本思想方法的理解。另外，我們注意到，每種方法雖然入手角度不同，解決路徑不同，但所有的方法實質(zhì)上都是統(tǒng)一的。通過對這道題目的多角度、多維度的研究，學生再一次體會到向量的代數(shù)、幾何及坐標方法在具體題目情境中的使用。通過不同方法之間的對比與參照，初步感受數(shù)學知識之間的聯(lián)系[2]。

三、綜合鞏固與能力再提升

此模塊設計用于鞏固上面得到的方法，讓學生進一步感受三種方法的不同，在每種方法的使用過程中充分感受向量的核心思想方法，同時能夠形成選擇合適方法的經(jīng)驗。

練習1：在中，，，，求.

這道題可以嘗試代數(shù)法、坐標法和幾何法。我們知道，向量的代數(shù)法主要依賴于代數(shù)變形和代數(shù)運算，而這些的實現(xiàn)往往方式繁多，很容易陷入一系列毫無頭緒的代數(shù)變形，導致解題目標不明確，效率低下。本題意在讓學生再次體會在向量的代數(shù)運算中，選擇一組基底能夠讓向量的運算更簡明高效。本題有一組比較好的基底：，所求向量均可用這組基底表示。則即為基底的運算。

因為，，所以建系引入坐標，把轉(zhuǎn)化為坐標運算也是很自然的想法?？梢越柚绢}讓學生體會幾種不同的建系方式，進而形成自己的經(jīng)驗。

事實上，也可以嘗試找到的幾何意義，即在方向的投影的數(shù)量與的乘積。但因為幾何意義不是太明顯，還需要通過解三角形求一些基本量，運算量不小。即便如此，作為一種方法，讓學生通過思考比較，做出方法的取舍，通過反思，將經(jīng)驗內(nèi)化為能力與思想，建立很好的數(shù)學感覺。

練習2：在中，，

，則_______。

1.首先，對于代數(shù)法，有了前面題的代數(shù)解法中對基底的認識，這道題選擇作為基底解題會比較順利。

2.這道題的幾何解法最為簡潔，即先求在方向上投影的數(shù)量。由相似于，所以可求出，，所以。對數(shù)量積幾何意義掌握比較好的一部分同學可以想到這種方法?？衫么祟}強化對向量幾何意義的關(guān)注。

3.因為有現(xiàn)成的直角，也可以嘗試建系。這種想法在執(zhí)行初期最大的障礙是未知量個數(shù)較多帶來的。讓學生經(jīng)歷坐標法解題的過程，感受到有的未知數(shù)會在坐標運算中消除，進而形成經(jīng)驗。

練習3：已知向量是單位向量，，對任意，恒有，則以下說法正確的是（）。

A.? ? ? B.

C.? D.

本題目是以純向量形式給出的，學生在尋找?guī)缀侮P(guān)系的時候就能體會到向量是自由向量這一特征。這道題目最巧的入手點是幾何特征，學生需要將代數(shù)關(guān)系“對任意，恒有”轉(zhuǎn)化為動態(tài)的幾何情境。這是本題幾何法最難也是最巧的地方。

本題目也可以采用代數(shù)方法：將這一模長不等式轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)這一純代數(shù)問題解決。選擇這一方法的學生應該比較多。

坐標法也是本題可以嘗試使用的方法，預計學生不會輕易嘗試，主要原因還是變量個數(shù)較多，但有上一道題的經(jīng)驗作為支撐，可以鼓勵學生進行嘗試。變量的個數(shù)可以通過建系巧妙減少，此處可以與學生討論建系的幾種方式，讓學生通過實踐形成經(jīng)驗。

結(jié)束語

以上是對平面向量的思想方法的落實的一個基本設計，我們通過設計教學活動，讓學生在實踐中感悟。當然，思想方法的落實是個長期的工作，不可能一蹴而就。在之后的解析幾何、空間向量等模塊我們將繼續(xù)在具體情境中與學生一起感受向量的多重身份、多種研究角度，以及它在聯(lián)系代數(shù)與幾何中所發(fā)揮的不可替代的作用。我們高中數(shù)學研究的對象可以分為數(shù)與形兩大部分，數(shù)與形是相互聯(lián)系的，這種相互聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。它的應用，分為兩個方面，一個是借助數(shù)的準確性來研究形的某種屬性，另一個是借助形的直觀，研究數(shù)之間的某些關(guān)系。數(shù)形結(jié)合是高中學生的一個基本數(shù)學能力，也是我們充分感受數(shù)學的魅力和力量的載體。我們在教學中要善于利用這些題目，讓學生體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一。

參考文獻

[1]尹曉宇.用思維導圖促進學生深度學習：以《平面向量數(shù)量積解題策略》復習為例[J].中學教學參考.2021（5）.

[2]張艷萍.深剖觀向量，多思謀題法：對2020年江蘇高考平面向量問題的解法探究[J].數(shù)學教學通訊.2020（36）.

作者簡介：段英華（1982— ），女，漢族，山西平遙人，北京市十一學校，一級教師，博士。研究方向：應用數(shù)學。