基于結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的深度學(xué)習(xí)探究

吳秋香

數(shù)學(xué)常常被稱(chēng)為“結(jié)構(gòu)的科學(xué)”，因?yàn)樗Y(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，環(huán)環(huán)遞進(jìn)，任何一個(gè)環(huán)節(jié)缺漏都會(huì)導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)識(shí)上的障礙而難以進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程?；诮Y(jié)構(gòu)化教學(xué)的深度學(xué)習(xí)探究，教師應(yīng)明確把握知識(shí)的本質(zhì)，理解知識(shí)內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，積極參與、深度體驗(yàn)、合作探究等積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)用結(jié)構(gòu)化的思想和數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界、分析世界和表達(dá)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。因此，教學(xué)中要準(zhǔn)確把握教材的整體結(jié)構(gòu)，著力在關(guān)聯(lián)、遷移、重組中積極實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促成學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。

一、整體關(guān)聯(lián)，讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)具有很強(qiáng)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，但由于課堂教學(xué)的需要，教材都是把這些知識(shí)分割成一個(gè)個(gè)獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容，知識(shí)的呈現(xiàn)以螺旋式上升為主，存在序列性、遞進(jìn)性的特點(diǎn)。如果教師對(duì)教材體系和知識(shí)本質(zhì)把握不到位，學(xué)生學(xué)習(xí)就會(huì)出現(xiàn)表面化、淺層化、困難化的形式。因此，在教學(xué)上要把這些獨(dú)立的、零散的知識(shí)內(nèi)容整合成一個(gè)穩(wěn)定的知識(shí)結(jié)構(gòu)，分析其本質(zhì)屬性并溝通其聯(lián)系顯得尤為必要。結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)全面把握教材的整體結(jié)構(gòu)，關(guān)注教材的橫向關(guān)聯(lián)、縱向關(guān)聯(lián)，將不同年級(jí)、不同學(xué)段的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，由點(diǎn)帶面，織面成網(wǎng)，形成知識(shí)體系，從而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（一）橫向關(guān)聯(lián)

橫向關(guān)聯(lián)就是利用不同知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用聯(lián)系的眼光，把零散的、碎片式的、雜亂無(wú)章的知識(shí)點(diǎn)多維度地審視和建構(gòu)。教師引導(dǎo)學(xué)生抓住“一條主線”，根據(jù)當(dāng)前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去聯(lián)想、調(diào)動(dòng)、激活以往的經(jīng)驗(yàn)，以融會(huì)貫通的方式組織學(xué)習(xí)內(nèi)容，這樣有利于學(xué)生深入理解知識(shí)，整體建構(gòu)知識(shí)體系，形成網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

例如，以五年級(jí)上冊(cè)的“多邊形的面積復(fù)習(xí)課”教學(xué)為例，長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積計(jì)算公式，看似相互獨(dú)立，實(shí)則相互關(guān)聯(lián)。為了幫助學(xué)生厘清它們之間的關(guān)系，建立平面圖形面積計(jì)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師提出：1.把平行四邊形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形，什么變了，什么不變？2.三角形和梯形的公式為什么要除以2？

課堂上教師留給學(xué)生足夠的時(shí)間去獨(dú)立思考，在合作探究后集體交流，在同學(xué)間的相互傾聽(tīng)、反思、討論中，有的學(xué)生在同學(xué)的相互補(bǔ)充與啟發(fā)下，能夠明白如果以梯形的面積計(jì)算公式（S=（a+b）×h÷2）為“軸”，如果梯形的上底縮小為0（b=0），就成為一個(gè)三角形，所以三角形面積S=a×h÷2；如果上下底一樣長(zhǎng)，就變成了平行四邊形（長(zhǎng)方形或正方形），所以面積S=a×h或S=a×a（如圖1所示）。

這樣，通過(guò)公式梳理，萬(wàn)象歸一，學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一美，同時(shí)啟迪了思維，促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，從而打通知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（二）縱向關(guān)聯(lián)

布魯納指出：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！辈剪敿{特別強(qiáng)調(diào)掌握知識(shí)內(nèi)部的基本結(jié)構(gòu)對(duì)于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)的四個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容分別編排在教材的不同階段，教師不僅要橫向?qū)Ρ冉滩模€要縱向?qū)Ρ冉滩?，立足于知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的聯(lián)結(jié)和建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、調(diào)動(dòng)、激活以往的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，關(guān)聯(lián)知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)。

例如，教學(xué)六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)“常見(jiàn)的量”?！俺Ｒ?jiàn)的量”在小學(xué)階段知識(shí)點(diǎn)有很多，這些知識(shí)點(diǎn)是雜亂、零散的，1～6年級(jí)全部有分布，即使經(jīng)過(guò)梳理，學(xué)生也很難掌握。復(fù)習(xí)時(shí)可以提出核心問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，合作探究長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位、質(zhì)量單位、時(shí)間單位之間的關(guān)聯(lián)，最后再集體匯報(bào)交流。教師根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)制作成表，通過(guò)圖表的展示及學(xué)生間的思維碰撞，溝通對(duì)比不同量之間在計(jì)量的步驟、過(guò)程、標(biāo)準(zhǔn)的一致性，即“先確定計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)（定標(biāo)準(zhǔn)）；然后用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去測(cè)量需要測(cè)量的對(duì)象（去測(cè)量）；最后數(shù)一數(shù)有幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)量（得結(jié)果）”，打通它們之間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，帶著問(wèn)題深入探究，縱向溝通面積單位之間的聯(lián)系，橫向溝通長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位之間的關(guān)聯(lián)，使之整體化、結(jié)構(gòu)化，從而使學(xué)生自我建構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)整體性和結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

指向結(jié)構(gòu)化的課堂，不僅要重知識(shí)“求聯(lián)”，也要重思維“發(fā)展”，讓學(xué)生感受到知識(shí)結(jié)構(gòu)化和數(shù)學(xué)的力量，達(dá)到以結(jié)構(gòu)化促進(jìn)課堂效率的提升。同時(shí)也要精準(zhǔn)研讀學(xué)生，提升學(xué)生思維與品質(zhì)，讓學(xué)習(xí)的深度真正發(fā)生。

二、遷移類(lèi)比，讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生

遷移和類(lèi)比是深度學(xué)習(xí)中常用的學(xué)習(xí)方式，解決的是學(xué)科知識(shí)向?qū)W生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。結(jié)構(gòu)化教學(xué)注重教材知識(shí)編排的邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)將學(xué)習(xí)到的知識(shí)舉一反三，主張將熟悉的經(jīng)驗(yàn)、規(guī)則、方法遷移到新的情境中，為學(xué)習(xí)相似的、關(guān)聯(lián)的問(wèn)題自然地進(jìn)行正遷移。

（一）方法遷移

學(xué)生有著與生俱來(lái)的好奇心和探究欲望。面對(duì)新的學(xué)習(xí)情境，面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性往往更加高漲，自主探究的熱情也更加持久。數(shù)學(xué)教材將知識(shí)內(nèi)容按照螺旋式上升編排，有許多知識(shí)內(nèi)容之間具有相似性，教師在教學(xué)中要讓學(xué)生把熟悉的學(xué)習(xí)方法或知識(shí)結(jié)構(gòu)遷移到相似的學(xué)習(xí)任務(wù)中，有利于學(xué)生自主探究、自主建構(gòu)，有利于學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

例如，教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了多位數(shù)乘一位數(shù)，因此大部分學(xué)生能利用已有知識(shí)計(jì)算“42×12”，因?yàn)閮晌粩?shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法與多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法在算理上是一致的，不同的是一個(gè)因數(shù)由一位數(shù)變成了兩位數(shù)。但是，學(xué)習(xí)僅僅止于學(xué)生會(huì)算是不夠的，教師應(yīng)適時(shí)地追問(wèn)：“這樣的計(jì)算你們以前學(xué)過(guò)了嗎？”“沒(méi)學(xué)過(guò)為什么都會(huì)了？”引導(dǎo)學(xué)生去思考已有舊知與新知的聯(lián)系，深入思考兩者之間的異同處。學(xué)生會(huì)在思考交流中發(fā)現(xiàn)：用兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法能解決三位數(shù)乘兩位數(shù)的問(wèn)題，方法都是相通的，都要逐位計(jì)算。“那如果第一個(gè)因數(shù)變成了四位數(shù)、變成了五位數(shù)，怎么辦呢？”“千位上的數(shù)也要乘，萬(wàn)位上的數(shù)也要乘”“不論第一個(gè)因數(shù)有幾位，都要依次去乘?！睂W(xué)生不再停留在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，而是通過(guò)深入剖析舊知與新知之間的聯(lián)系，將方法繼續(xù)遷移，從而實(shí)現(xiàn)一節(jié)課走向一類(lèi)課，由一類(lèi)課走向一節(jié)課的雙向跨越。緊密的知識(shí)點(diǎn)融為一體，讓學(xué)生在層層遞進(jìn)的遷移過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)體系，收獲學(xué)習(xí)成功的體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

（二）結(jié)構(gòu)遷移

數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的內(nèi)在邏輯性，許多同類(lèi)知識(shí)具有相似的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。教師在教學(xué)中要善于捕捉知識(shí)點(diǎn)之間相同的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，并遷移到新的學(xué)習(xí)任務(wù)中，為學(xué)生開(kāi)拓獨(dú)立自主的探究空間，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的深度發(fā)生。

例如，教學(xué)“乘法交換律”時(shí)，由于乘法交換律與加法交換律的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)極其相似，因此，教師可以將二者結(jié)合起來(lái)。教師要厘清運(yùn)算的本質(zhì)，“數(shù)源于數(shù)”，比如，加法交換律、乘法交換律，為什么可以交換？加法交換律的本質(zhì)是：改變加數(shù)位置，和不變。教學(xué)時(shí)可借助數(shù)數(shù)活動(dòng)，兩堆物體，不管先數(shù)甲堆還是先數(shù)乙堆，合并起來(lái)總數(shù)總是一樣的；乘法交換律的本質(zhì)是：改變乘數(shù)位置，積不變。借助數(shù)數(shù)活動(dòng)，先數(shù)每行個(gè)數(shù)乘以行數(shù)或先數(shù)每列個(gè)數(shù)乘以列數(shù)，總數(shù)不變。因此，教師要從加法交換律的教學(xué)過(guò)程中提煉出“觀察算式—仿寫(xiě)算式—解釋規(guī)律—表述規(guī)律—應(yīng)用規(guī)律”的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，并引導(dǎo)學(xué)生將該學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)遷移到乘法交換律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、小數(shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，這將為學(xué)生架設(shè)起自主探究的“腳手架”，為學(xué)生留足自主探索的空間，為學(xué)習(xí)的深度發(fā)生提供強(qiáng)有力的支撐。

借助比較，發(fā)現(xiàn)不管是分?jǐn)?shù)乘法、小數(shù)乘法還是整數(shù)乘法，都可以劃歸為表內(nèi)乘法，只是計(jì)算單位不同。通過(guò)這樣“結(jié)構(gòu)式”的教學(xué)，幫助學(xué)生進(jìn)行前后知識(shí)的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)串成線，潛移默化地指導(dǎo)學(xué)生的思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、重組教材，讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生

結(jié)構(gòu)化教學(xué)主張?jiān)谌姘盐战滩牡恼w結(jié)構(gòu)及邏輯脈絡(luò)的基礎(chǔ)上對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整及組合，通過(guò)教材的重組讓教學(xué)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

（一）調(diào)整順序

教材知識(shí)的編排順序通常是從易到難、螺旋式上升的，但有的知識(shí)因受到負(fù)遷移的影響，較難實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化。此時(shí)若能調(diào)整教材的呈現(xiàn)次序，為學(xué)生制造認(rèn)知沖突，打破原有的認(rèn)知平衡，則更有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，達(dá)成對(duì)知識(shí)的深度建構(gòu)，促使學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

例如，在教學(xué)人教版四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的加、減法”時(shí)，教材例題1的兩道題（6.45+4.29和6.45-4.29）都是兩位小數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生雖然能算對(duì)，但并不一定理解算理，可能有部分學(xué)生受到負(fù)遷移，會(huì)誤以為小數(shù)加、減法也可以“末位對(duì)齊”。例題2的兩道題（6.45+8.3和8.3-6.45）存在小數(shù)數(shù)位不同的問(wèn)題，如果將例題2前置，當(dāng)學(xué)生的計(jì)算出現(xiàn)分歧，即爭(zhēng)論到底是末位對(duì)齊還是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊時(shí)，學(xué)生原有的認(rèn)知平衡將被打破，迫使其改造已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，建立新的認(rèn)知平衡，順利地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，較好地建構(gòu)新知，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的深度認(rèn)識(shí)。

（二）整合課時(shí)

結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)在寬廣的知識(shí)背景中自主探究、主動(dòng)建構(gòu)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。對(duì)于相似度高、容易混淆的教學(xué)內(nèi)容，可以把它們整合在一個(gè)課時(shí)，并提供豐富的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生在深度的思考、激烈的爭(zhēng)辯中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自我建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)習(xí)的深度發(fā)生。

例如，人教版四年級(jí)下冊(cè)“三角形”的教學(xué)中安排了三角形的認(rèn)識(shí)（概念、各部分名稱(chēng)、底和高）、三角形的穩(wěn)定性、兩點(diǎn)之間的距離、三角形的三邊關(guān)系、三角形的分類(lèi)、三角形的內(nèi)角和、四邊形的內(nèi)角和的知識(shí)。按“概念”“特性”“邊”“類(lèi)”“角”這樣的順序編排，看似合理。但仔細(xì)思考這些課時(shí)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)將知識(shí)間橫向并聯(lián)、并列的內(nèi)容整體呈現(xiàn)。在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)在探究“三角形的高”時(shí)，對(duì)于鈍角三角形的三條高沒(méi)辦法展開(kāi)討論，因?yàn)閷W(xué)生還未學(xué)習(xí)三角形的分類(lèi)；在對(duì)三角形分類(lèi)教學(xué)時(shí)，還未學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和，對(duì)直角三角形和鈍角三角形解釋也不夠，這樣的教學(xué)有點(diǎn)“不通”“不透”的感覺(jué)，無(wú)法讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)?；谶@樣的考慮，我們可以對(duì)本單元的課時(shí)進(jìn)行整合，單元內(nèi)容前置性學(xué)習(xí)，大概念統(tǒng)整，把單元內(nèi)容縱向打通，形成結(jié)構(gòu)，從整體上把握教材。

總之，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，教師要用整體關(guān)聯(lián)的思想去理解教材，掌握知識(shí)間的縱向與橫向聯(lián)系；教師要用遷移的思想去讀懂教材，將知識(shí)間的方法結(jié)構(gòu)進(jìn)行遷移同化；教師要用重組的思想去把握教材，在把握教材的整體結(jié)構(gòu)及邏輯脈絡(luò)的基礎(chǔ)上對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整及組合。教師要有意識(shí)地從整體上認(rèn)識(shí)和把握教材，解析教材，提煉核心知識(shí)，讓學(xué)生“見(jiàn)樹(shù)木，更見(jiàn)森林”，采用關(guān)聯(lián)、遷移、重組進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”的引導(dǎo)。學(xué)生不斷運(yùn)用舊知識(shí)建構(gòu)新知識(shí)的成長(zhǎng)過(guò)程，有利于他們形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)他們的深度學(xué)習(xí)。