線圈在通電直導(dǎo)線旁平移過程中磁通量的變化量求解

王偉民

摘要：分析線圈穿越通電直導(dǎo)線的“理想”過程中，穿過線圈磁通量的變化量為無窮大的原因;對三角形線圈在無線長通電直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場中沿確定方向平移運動一段確定距離（但沒有穿過通電直導(dǎo)線）的過程中穿過線圈磁通量的變化量進(jìn)行求解.

關(guān)鍵詞：線圈;磁通量;微元;平移;磁場強度

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0115-03

例1如圖1所示，無限長絕緣直導(dǎo)線L通入的電流為I，與邊長為a的正△ABC線圈共面，且BC∥L，線圈沿其所在的平面按垂直于直導(dǎo)線的方向向上運動.求從線圈頂點A剛接觸直導(dǎo)線L到BC邊離開直導(dǎo)線L的過程中，穿過正△ABC線圈磁通量的變化量.

上面這道題目是早前有老師在某個物理QQ群內(nèi)詢問的一個問題，我們嘗試分析一下可否求解.

△ABC線圈穿越通電直導(dǎo)線L某一時刻的情形如圖2所示，設(shè)此時頂點A到直導(dǎo)線L的距離為x，因為在線圈按題目要求向上平移穿越通電直導(dǎo)線的過程中，其平移運動方向的變化不影響穿過線圈磁通量的變化量，所以，為便于分析，我們可以按線圈沿AB邊所在直線的方向平移進(jìn)行求解.

圖2中，線圈斜向上運動一個豎直微元距離dx達(dá)到△A′B′C′位置，由于通電直導(dǎo)線L上下兩側(cè)的磁場方向相反，所以，若取垂直紙面向外的方向為磁通量的正方向，跟原來處于△ABC位置時穿過線圈的磁通量相比，線圈到達(dá)△A′B′C′位置后，穿過線圈磁通量的增量dΦ將等于穿過面S3的磁通量dΦ3減去分別穿過面S1和S2的磁通量dΦ1和dΦ2之和：

dΦ=dΦ3-（dΦ1+dΦ2）

因為空間內(nèi)到無限長通電直導(dǎo)線距離為r位置點的磁場強度為B=kIr（I為導(dǎo)線中的電流，k為比例系數(shù)），所以

dΦ1=S1B1

=a·dx·kI32a-x

=akI32a-xdx.

由于面S2和S3的縱向長度較大，不像S1那樣縱向長度是一段微元，而這兩個面上到通電直導(dǎo)線L距離不等的點磁場強度不等，所以無法用上述求解dΦ1的方法那樣去求解dΦ2和dΦ3.我們不妨將dx視為常量，采用定積分的方法來求解dΦ2和dΦ3

如圖3所示，在面S3上到通電直導(dǎo)線L距離為y的位置取一段豎直寬度為dy的微元，則有：

dΦ3=∫32a-x0233dx·dy·kIy

=233kI·dxlny32a-x0

=233kI·dx[ln（32a-x）-ln0]

這里ln0是一個沒有意義的數(shù)，求解將無法再繼續(xù)進(jìn)行下去.那么，問題出在何處？

由無限長通電導(dǎo)線周圍空間的磁場強度公式B=kIr可以看出，當(dāng)三角形線圈上的某點運動到通電導(dǎo)線位置時r=0，則線圈該處的磁場強度B成了一個無窮大的數(shù)值了，所以，穿過線圈某一個確定平面的磁通量也將變得無窮大，而ln0雖然沒有意義，它卻表示負(fù)無窮大，所以-ln0表示無窮大.看起來，線圈穿越通電直導(dǎo)線時，穿過線圈的磁通量的變化量為無窮大，這在實際操作中是不可能發(fā)生的狀況——實際的導(dǎo)線和組成線圈的導(dǎo)線都有一定的粗細(xì)，線圈與通電直導(dǎo)線最近的情況也只是線圈導(dǎo)線與通電直導(dǎo)線的側(cè)面相切的情形，此刻它們的軸心有一定的距離，所以，實際情形中是無法完成“線圈穿過通電直導(dǎo)線”這樣的“理想”操作的.為使問題有實際意義，我們不放將例題1給出的問題條件適當(dāng)更改，對題目進(jìn)行如下改編——

例2如圖4所示，邊長為a的等邊△ABC線圈與無限長通電直導(dǎo)線L共面，L中電流為I，且BC∥L，初始時刻線圈邊BC與L間的距離為332a，求將△ABC線圈向上平移32a的過程中穿過線圈磁通量的變化量？

解析無論是傾斜向上平移還是豎著向上平移，在△ABC線圈豎直向上運動同樣距離的過程中，穿過三角形線圈磁通量的變化量相同，所以，我們可讓線圈沿AB邊所在直線斜向上平移進(jìn)行求解.設(shè)平移過程中線圈在某一時刻的位置如圖5所示，此時三角形線圈的頂點A到通電直導(dǎo)線L的距離為x，接下來讓線圈向上平移一段微元距離dx（dx是線圈傾斜平移過程中在豎直方向運動的微元距離），跟△ABC線圈原來所在位置相比，平移微元距離dx到達(dá)△A′B′C′位置之后，穿過線圈磁通量的變化量dΦ等于穿過面S2的磁通量dΦ2與穿過面S1的磁通量dΦ1之差：

dΦ=dΦ2-dΦ1

而dΦ1=S1B1=adx·kIx+32a=akIx+32adx

為表示dΦ2，將x和dx視為常量，在面S2上到線圈頂點A豎直距離為y處取一豎向微元dy，則有：

dΦ2=∫32a0233dx·dy·kIx+y

=233kIdxln（x+y）32a0

=233kI[ln（x+32a）-lnx]dx

∴dΦ=dΦ2-dΦ1

=233kI[ln（x+32a）-lnx]dx-kIax+32adx

=kI[233ln（x+32a）-233lnx-ax+32a]dx

所以，將△ABC線圈向上平移32a過程中穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ為：

ΔΦ=∫32a3akI[233ln（x+32a）-233lnx-ax+32a]dx

=kI{233[（x+32a）ln（x+32a）-（x+32a）]

-233[xlnx-x]-aln（x+32a）}32a3a

=kI{233[（3a）ln（3a）-（3a）]-233[32aln32a-32a]-aln（3a）}

-kI{233[（332a）ln（332a）-（332a）]-233[3aln（3a）-3a]-aln（332a）}

=kI[2aln（3a）-2a-aln（32a）+a-aln（3a）]

-kI[3aln（332a）-3a-2aln3a+2a-aln（332a）]

=3kIa[ln（3a）-ln（332a）]

運用上述方法，我們可以對其它具有固定幾何形狀的平面狀線圈，在一條無限長通電直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場中沿確定方向平移運動確定距離過程中（平移過程中線圈的任何部位不觸碰通電直導(dǎo)線），穿過線圈磁通量的變化量.

參考文獻(xiàn)：

[1]?吳秀欽.對高中物理解題思維方法的有效探討＼[J＼].數(shù)理化解題研究，2021（22）：84-85.

[2] 李習(xí)凡.例談數(shù)學(xué)方法解決高中物理最值問題＼[J＼].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014（5）：45-46.

[責(zé)任編輯：李璟]