基于用野列舉法求概率冶的項(xiàng)目式教學(xué)實(shí)踐

王國(guó)芳 陳海烽

[摘要]為了實(shí)現(xiàn)由“講堂”向“學(xué)堂”的轉(zhuǎn)變，構(gòu)建新型的課堂，文章以“求田忌賽馬的勝率”為項(xiàng)目任務(wù)，從項(xiàng)目任務(wù)的確定、項(xiàng)目規(guī)劃的制訂以及項(xiàng)目管理三個(gè)方面對(duì)項(xiàng)目教學(xué)進(jìn)行了探索.

[關(guān)鍵詞]項(xiàng)目教學(xué);問(wèn)題;探究與交流;學(xué)生成果

項(xiàng)目教學(xué)是指以“問(wèn)題”為教學(xué)載體，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究的教學(xué)活動(dòng)，由項(xiàng)目任務(wù)、項(xiàng)目規(guī)劃、項(xiàng)目管理三個(gè)要素構(gòu)成.素養(yǎng)時(shí)代的項(xiàng)目學(xué)習(xí)指對(duì)知識(shí)的深度理解，創(chuàng)建真實(shí)的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題和成果，用高階學(xué)習(xí)帶動(dòng)低階學(xué)習(xí)，將素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為持續(xù)的學(xué)習(xí)實(shí)踐[1].筆者基于“列舉法求概率”的教學(xué)實(shí)例對(duì)項(xiàng)目式教學(xué)進(jìn)行探索.

項(xiàng)目任務(wù)的確定

選題是項(xiàng)目教學(xué)的首要環(huán)節(jié)，一個(gè)好的選題能夠激發(fā)不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生的探索欲望，激發(fā)他們通過(guò)查閱資料、分析推理、動(dòng)手實(shí)踐、運(yùn)用學(xué)科知識(shí)和技能進(jìn)行研究.統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容極具情境性，考慮到初中生好勝、求趣的心理特征，故選取2021年福建省中考試卷第23題“求田忌賽馬的勝率”為本文的項(xiàng)目任務(wù)，期望學(xué)生利用教材等課程資源經(jīng)歷“求田忌賽馬勝率”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，會(huì)用列舉法求等可能隨機(jī)事件的概率，由此深化學(xué)生對(duì)概率意義的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)他們的隨機(jī)觀念，發(fā)展他們數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

項(xiàng)目規(guī)劃的制訂

成功的項(xiàng)目教學(xué)案例，是真正實(shí)現(xiàn)了課堂從教師“教”到學(xué)生“學(xué)”的轉(zhuǎn)變，它需要教師做好嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捻?xiàng)目規(guī)劃.

（一）教學(xué)策略

田忌賽馬不僅是小學(xué)語(yǔ)文的教學(xué)內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材“對(duì)策問(wèn)題”的內(nèi)容，還能考查高中獨(dú)立事件并集的概率轉(zhuǎn)化為概率和，它既是小升初的銜接點(diǎn)，也是初升高的銜接點(diǎn).

田忌賽馬是一個(gè)經(jīng)典的博弈問(wèn)題，完成這個(gè)任務(wù)的關(guān)鍵是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型（古典概型的概率）.本題屬于策略開放式的探究題，考查了學(xué)生閱讀、思考、表達(dá)的能力，學(xué)生在熟悉的情境下，面對(duì)新的拓展問(wèn)題，需要運(yùn)用類比思維模仿題干中的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，建構(gòu)數(shù)學(xué)表達(dá)模型.田忌賽馬是三局兩勝制，學(xué)生在用樹狀圖解題時(shí)錯(cuò)誤地變成了田忌、齊王各出一匹馬相互較量定輸贏.對(duì)于復(fù)雜的概率問(wèn)題，如何才能將涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上因素試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果不重不漏地列舉出來(lái)，是本次任務(wù)的關(guān)鍵點(diǎn).

教師給出項(xiàng)目任務(wù)后，將全班學(xué)生分為八個(gè)小組，每組六人，在分組時(shí)，要考慮性別與數(shù)學(xué)水平層次不同.學(xué)生通過(guò)閱讀教材，觀看微課視頻等課程資源獲取學(xué)科知識(shí)并對(duì)選題進(jìn)行自主探究后，以小組為單位進(jìn)行交流和展示個(gè)人成果，在探究過(guò)程中，教師提供必要的學(xué)科知識(shí)幫助學(xué)生辨析錯(cuò)誤.綜上所述，本次項(xiàng)目教學(xué)的策略為以學(xué)代教，以小課題帶大任務(wù).

（二）教學(xué)過(guò)程

1.項(xiàng)目導(dǎo)入：播放田忌賽馬故事視頻（時(shí)間1分50秒）.

設(shè)計(jì)意圖：以數(shù)學(xué)文化為素材的試題是近年中高考試卷中的創(chuàng)新題和熱點(diǎn)題，田忌賽馬的故事憑借孫臏的計(jì)謀創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例，體現(xiàn)了古代先賢的智慧，本項(xiàng)目的導(dǎo)入意在告訴學(xué)生，生活處處皆數(shù)學(xué).

2.第一輪探究與交流

閱讀2021年福建中考第23題的題干，回答問(wèn)題：

“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A₁，B₁，C₁，田忌也有上、中、下三匹馬A₂，B₂，C₂，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示為A₁>A₂>B₁>B₂>C₁>C₂（注：A>B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣（C₂A_l，A₂B₁，B₂C₁）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例.

問(wèn)題1：請(qǐng)用文字語(yǔ)言表述原題中的不等式A₁>A₂>B₁>B₂>C₁>C₂及C₂A_l的含義.

設(shè)計(jì)意圖：閱讀是獲取信息的重要方式，從某種意義上講，閱讀教學(xué)的成功與否決定了教學(xué)的成敗，數(shù)學(xué)學(xué)科的閱讀教學(xué)是教會(huì)學(xué)生進(jìn)行文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.

3.第二輪探究與交流

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問(wèn)題：

問(wèn)題2：如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？求其獲勝的概率.

說(shuō)明：可以利用桌子上的撲克牌，（紅牌8，6，4;黑牌，7，5，3）模擬齊王、田忌的馬匹進(jìn)行探究.

學(xué)生成果展示：

分析：

設(shè)計(jì)意圖：讓數(shù)學(xué)抽象能力較弱的學(xué)生借助棋牌（3張紅牌與3張黑牌分別代表齊王和田忌的上中下三匹馬）進(jìn)行探究，讓他們通過(guò)自身的實(shí)踐提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.第三輪探究與交流

問(wèn)題3：如果齊王的“出馬”順序依

次為上中下，求田忌獲勝的概率.

學(xué)生成果展示：

解：如果齊王的“出馬”順序依次為上中下時(shí)，他們的所有可能的對(duì)陣情況如表1.

設(shè)計(jì)意圖：此問(wèn)題在原命題中并沒(méi)有，添加這一任務(wù)是為了完成下一個(gè)任務(wù)，為學(xué)生搭建一個(gè)腳手架，讓學(xué)生的分析能力在最鄰近的發(fā)展區(qū)獲得發(fā)展.

5.第四輪探究與交流

問(wèn)題4：如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由;若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

學(xué)生成果1展示：

如表2.

學(xué)生成果2展示：

解：

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在涉及兩（多）個(gè)因素試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果能不重不漏地列舉出來(lái)，掌握不同形式的列舉法求隨機(jī)事件的概率問(wèn)題.

6.第五輪探究與交流

問(wèn)題5：甲、乙、丙三位好友決定抓閹來(lái)決定誰(shuí)得到僅有的一張冬奧門票，他們準(zhǔn)備了一個(gè)不透明的盒子，里面裝了一個(gè)紅球，兩個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別.抓中紅球的人才能得到門票，剛要抓閹，甲問(wèn)：“誰(shuí)先抓？先抓的人會(huì)不會(huì)抓中的機(jī)會(huì)比別人大？”你認(rèn)為他的懷疑有沒(méi)有道理？談?wù)勀愕南敕ê屠碛?

學(xué)生成果展示：

解：甲的懷疑沒(méi)有道理，先抓后抓抓中的機(jī)會(huì)是一樣的，我們用樹狀圖來(lái)列舉結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：此題運(yùn)用類比的思想與“田忌賽馬”相聯(lián)系，把三個(gè)人抓閹的順序想象成田忌出馬的順序，把球的顏色想象成齊王出馬的順序，就可用問(wèn)題4中學(xué)生展示的成果模型予以解決.設(shè)計(jì)此題，意在讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中將所探究出來(lái)的技能通過(guò)拓展性問(wèn)題往能力上過(guò)渡，培養(yǎng)學(xué)生遷移學(xué)習(xí)與深度思考的能力.

7.反思與交流

在同學(xué)們探究問(wèn)題4時(shí)，有部分同學(xué)畫出如下樹狀圖，請(qǐng)你們思考是否正確，并說(shuō)明理由.如果是錯(cuò)誤的，請(qǐng)你根據(jù)此樹狀圖命制題目，使之成為正確的解答.

設(shè)計(jì)意圖：這種樹形圖刻畫的是田忌和齊王各出一匹馬較量定勝負(fù)，比賽只進(jìn)行了一輪，并非題意的三局兩勝制，整個(gè)賽馬過(guò)程還需兩輪且每輪出場(chǎng)的每對(duì)賽馬不同.設(shè)置這一任務(wù)是為了幫助學(xué)生變誤為悟，讓學(xué)生命制題目是為學(xué)生提出問(wèn)題提供機(jī)會(huì)、搭建平臺(tái)、學(xué)會(huì)逆向思維.

項(xiàng)目管理

（一）教學(xué)時(shí)間與教學(xué)空間管理

在進(jìn)行該項(xiàng)項(xiàng)目教學(xué)的前一天，要求學(xué)生閱讀教材和利用網(wǎng)上視頻學(xué)習(xí)“用列舉法求概率”的內(nèi)容，完成教材中的兩道練習(xí)題并發(fā)布到班級(jí)群，為第二天田忌賽馬的任務(wù)做好知識(shí)儲(chǔ)備，項(xiàng)目教學(xué)完成后，要求學(xué)生上網(wǎng)查找概率論的相關(guān)史料，每位同學(xué)解決古文化（或游戲問(wèn)題）中有關(guān)概率的問(wèn)題各兩道，體會(huì)概率在采取決策，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的作用.因此，本課題雖然在課內(nèi)時(shí)間僅為一課時(shí)，但需要開放的教學(xué)時(shí)間.學(xué)生交流的平臺(tái)是以課堂為主，班級(jí)QQ群或微信群為輔.

（二）評(píng)價(jià)表

1.參與學(xué)習(xí)活動(dòng)評(píng)價(jià)表（表3）.

2.學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)表（表4）.

總結(jié)與反思

1.選題應(yīng)基于課程標(biāo)準(zhǔn)

與傳統(tǒng)教學(xué)相比，項(xiàng)目式教學(xué)能更有效地提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，但并非所有的課程內(nèi)容都適合項(xiàng)目式教學(xué)法，統(tǒng)計(jì)概率、函數(shù)（方程）的應(yīng)用，平面幾何等相關(guān)內(nèi)容可以采用項(xiàng)目式教學(xué)法，但實(shí)數(shù)的運(yùn)算就不適合項(xiàng)目式教學(xué)法，從學(xué)科素養(yǎng)上來(lái)看，幾何直觀、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算適宜項(xiàng)目式教學(xué)，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理并不適應(yīng)項(xiàng)目式教學(xué)，選題的難度設(shè)計(jì)應(yīng)符合初中生，任務(wù)太容易完成激發(fā)不起學(xué)生的挑戰(zhàn)欲望和學(xué)習(xí)的積極性，但若選題太難，學(xué)生就有可能達(dá)不成任務(wù).

2.個(gè)性化學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合

項(xiàng)目式教學(xué)是一個(gè)以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的課堂教學(xué).在學(xué)習(xí)形式上，學(xué)生自學(xué)、互學(xué)、群學(xué)相結(jié)合.自學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)能力，互學(xué)使每一個(gè)學(xué)生深入學(xué)習(xí)，一部分學(xué)生針對(duì)不會(huì)的內(nèi)容提出問(wèn)題，另一部分學(xué)生針對(duì)這些問(wèn)題予以解決，在互學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生不僅參與了學(xué)，也參與了教，學(xué)生之間的相互辯論，激活了學(xué)生的思維.

3.充分發(fā)揮教師的促進(jìn)者的角色

作用

在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，不可盲目尊重學(xué)生的獨(dú)特體驗(yàn)，使課堂教學(xué)成為放羊式教學(xué)，教師主導(dǎo)性的缺失，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生主體性的發(fā)揮受到自身水平的限制，使他們的認(rèn)知水平降低.學(xué)生自主化學(xué)習(xí)，只有在教師正確的引領(lǐng)下，才能保證學(xué)習(xí)的方向性和有效性.

參考文獻(xiàn)：

[1]夏雪梅.素養(yǎng)時(shí)代的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)[J].理論研究，2019（05）：7-11.