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    子群的陪集與群的同構(gòu)定理的幾何解釋

    2022-06-24 05:49:52高印芝袁蘭黨
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2022年3期
    關(guān)鍵詞:同態(tài)子群同構(gòu)

    高印芝, 袁蘭黨

    (1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,石家莊050024; 2.河北省數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)國際聯(lián)合中心,石家莊050024)

    1 引 言

    近世代數(shù)是以討論代數(shù)體系的性質(zhì)與構(gòu)造為中心的一門學(xué)科.它運(yùn)用具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關(guān)系,用更抽象的嚴(yán)格的代數(shù)方法研究代數(shù)體系,對(duì)群的研究是該課程的重點(diǎn). 為研究群的結(jié)構(gòu),利用子群給出了群的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,這個(gè)等價(jià)關(guān)系將群中的元素進(jìn)行分類,進(jìn)而有了陪集的概念. 為研究不同群間的關(guān)系,揭示其本質(zhì),給出了特殊子群——不變子群,進(jìn)而定義了商群. 近世代數(shù)研究的重要工具是集合、映射、同態(tài)、同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系. 下面先介紹相關(guān)的概念(見文獻(xiàn)[1]).

    定義1設(shè)G是一個(gè)非空集合,在集合G中定義運(yùn)算“·”:任取a,b∈G,均有a·b∈G.若該運(yùn)算滿足結(jié)合律,即對(duì)于G的任意元a,b,c,均有(a·b)·c=a·(b·c),且對(duì)于G的任意元a,b,方程a·x=b和y·a=b在G中都有解,則稱集合G關(guān)于運(yùn)算“·”作成一個(gè)群. 如果群G中的運(yùn)算“·”滿足交換律,即對(duì)于G的任意元a,b,均有a·b=b·a,則稱其為加群.

    定義2若群G的非空子集H對(duì)于群G的運(yùn)算“·”也作成群,則稱H為群G的子群.進(jìn)一步,如果H為群G的子群,且對(duì)G的任意元a,均有a·h·a-1∈H(a-1為a的逆元),則稱H為G的不變子群,記作H?G.

    易見,加群G的每一個(gè)子群均為不變子群.

    定義3設(shè)H是群G的子群,a∈G,稱集合aH={a·h|h取遍H中的所有元素}為子群H的包含元素a的左陪集,集合Ha={h·a|h取遍H中的所有元素}為子群H的包含元素a的右陪集.

    易證,(i) 對(duì)于G的元a,b,aH=bH的充分必要條件是b-1·a∈H;

    (ii)對(duì)于G任意的元a,均有aH=Ha的充分必要條件是H為G的不變子群.

    進(jìn)一步,令H為G的不變子群,把H的所有陪集作成一個(gè)集合S={aH,bH,cH,…},定義S中的運(yùn)算:aH·bH=(a·b)H,可以證明集合S關(guān)于該運(yùn)算作成一個(gè)群,稱之為商群,記作G/H.

    以上概念都是很抽象的,沒有具體實(shí)例是很難理解到其實(shí)質(zhì)的,也就無從談起將其應(yīng)用到實(shí)際中去解決具體問題.

    本文討論的關(guān)于群的3個(gè)同構(gòu)定理,就是研究群G、群G的不變子群以及商群間的重要關(guān)系,也是群論的重要內(nèi)容之一,是教學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn).

    本文將3個(gè)同構(gòu)定理的內(nèi)容對(duì)應(yīng)到所熟悉的2維和3維空間以及其子空間(平面或直線)間的關(guān)系中,以其直觀性來理解同構(gòu)定理的內(nèi)容,體會(huì)它們所揭示的問題本質(zhì).

    2 相關(guān)結(jié)論的幾何解釋及意義

    2.1 陪集的幾何意義

    令G=(3,+),H=(π,+),K=(L,+),則H,K均為G的子群,這里π,L依次為空間內(nèi)過原點(diǎn)的平面與直線. 若β∈3,則陪集β+H是空間內(nèi)包含β平行于π的平面π′(如圖1所示). 陪集β+K是包含β平行于L的直線L′(如圖2所示). 這是因?yàn)?,如果α∈?γ∈L,則由平行四邊形法則,β+α∈π′,β+γ∈L′.

    圖1 圖2

    令(G=2,+),K=(L,+),則K為G的子群,這里L(fēng)為平面內(nèi)過原點(diǎn)的直線.若β∈2,則 陪集β+K是平面內(nèi)包含β平行于L的直線L′(如圖3所示).

    圖3

    2.2 同構(gòu)定理的幾何解釋

    定理1[1]設(shè)G和H是兩個(gè)群,并且G與H同態(tài),那么這個(gè)同態(tài)滿射的核N是G的一個(gè)不變子群,并且G/N?H.

    在定理1中,設(shè)(G=2,+),H=(x軸,+). 令f∶ (a,b)→(a,0),易知f為G到H的同態(tài)滿射,同態(tài)滿射的核N為y軸,且N為G的不變子群.

    商群G/N為平面內(nèi)平行于y軸的直線族:{x=a|a∈}. 令σ∶直線L∶x=a→點(diǎn)M∶(a,0),則σ為G/N與H間的同構(gòu)映射.

    若設(shè)(G=3,+),H={πa|πa∶平面x+y+z=a,a∈},且規(guī)定H的運(yùn)算:

    πa+πb=πa+b,

    顯然結(jié)合律成立,且對(duì)任意的πa:π0+πa=πa,πa+π-a=π0,這樣H構(gòu)成群.令φ∶點(diǎn)(x,y,z)→平面πx+y+z,顯然φ為(G=3,+)到H的一個(gè)映射.

    任取平面πa:x+y+z=a上的一點(diǎn)(x0,y0,z0),則(x0,y0,z0)→πx0+y0+z0=πa,所以φ為(G=3,+)到H的一個(gè)滿射. 另一方面

    (x1,y1,z1)→πx1+y1+z1, (x2,y2,z2)→πx2+y2+z2,

    (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),

    易知φ保運(yùn)算,所以(G=3,+)與H同態(tài),同態(tài)核N為平面π0:x+y+z=0上的點(diǎn)集.這里G/N為空間內(nèi)平行于π0的平面族. 由定理1知,G/N?H,事實(shí)上G/N=H.

    定理2[2]如果H,K是G的子群,滿足H?G,則HK是G的子群,(H∩K)?K,并且

    K/(K∩H)?HK/H.

    在定理2中,令(G=3,+),H=(L1,+),K=(L2,+),L1≠L2,則HK=(π,+),這里π為L(zhǎng)1與L2所確定的平面;H∩K={(0,0,0)},K/(K∩H)=K,HK/H為平面π內(nèi)與L1平行的直線族.這樣K?HK/H,其同構(gòu)映射為:L2上的一點(diǎn)M與平面π內(nèi)過點(diǎn)M與L1平行的直線L′對(duì)應(yīng).即M→L′(如圖4所示).

    圖4 圖5

    若令H=(π1,+),K=(π2+),π1≠π2,則HK=G,H∩K=(L,+),這里L(fēng)為π1與π2的交線.K/(H∩K)為平面π2內(nèi)與L平行的直線族.HK/H為空間內(nèi)與π1平行的平面族.f∶L′→π′為K/(K∩H)與HK/H間的同構(gòu)映射(如圖5所示).

    定理3[3]如果H,K是群G的不變子群,且K是H的子群,則H/K是G/K的不變子群,且

    在定理3中,令(G=3,+),H=(π,+),K=(L,+),L?π. 則G/K為空間內(nèi)與L平行的直線族;H/K為平面π內(nèi)與L平行的直線族;G/H為空間內(nèi)與π平行的平面族,且

    這里β+H/K為平面π′=β+π內(nèi)平行于直線L的直線族(如圖6).

    圖6

    對(duì)任意L″∈π′,由于L為過原點(diǎn)的直線,L″平行于L,所以L+L″=L″,于是

    {L+(β+H/K)|β∈G}={β+H/K|β∈G}

    3 結(jié) 論

    正如引言所說,近世代數(shù)是以討論代數(shù)體系的性質(zhì)與構(gòu)造為中心的一門學(xué)科,主要研究群、環(huán)、域等,其主要特點(diǎn)就是抽象,這體現(xiàn)在概念、定理和結(jié)論上. 這就使得初學(xué)者倍感迷茫,所以教學(xué)中教師常采用適當(dāng)?shù)姆绞浇忉尦橄蟮母拍?,以幫助學(xué)生理解,如文獻(xiàn)[4-5]中就有相關(guān)學(xué)習(xí)方法介紹或用具體的代數(shù)結(jié)構(gòu)來詮釋抽象的概念,以達(dá)到理解其本質(zhì)的目的. 如整數(shù)集合、置換集合、矩陣集合及向量空間等. 本文的特點(diǎn)是利用幾何空間中的直線與平面作為特例,尤其是借助幾何圖示詮釋了抽象的陪集及同構(gòu)定理.在教學(xué)中筆者總是用具體的、直觀的例子解釋抽象的概念及其邏輯關(guān)系,目的是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣,進(jìn)而對(duì)看似枯燥的數(shù)學(xué)研究對(duì)象有更深刻的認(rèn)識(shí). 我們的學(xué)生越來越喜歡數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué)是我們數(shù)學(xué)工作者的目的所在.

    致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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