• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    實李代數(shù)完備化的若干條件

    2023-01-29 19:34:30嚴(yán)再立
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2022年3期
    關(guān)鍵詞:子代數(shù)導(dǎo)子代數(shù)

    張 磊, 嚴(yán)再立

    (寧波大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,浙江寧波315211)

    1 引 言

    如果一個李代數(shù)的中心為0,所有的導(dǎo)子都是它的內(nèi)導(dǎo)子,則稱其為完備李代數(shù).完備李代數(shù)的概念源于完備群的概念,第一次出現(xiàn)在導(dǎo)子塔定理[1]中,它的正式定義由 Jacobson[2]在1962年給出.完備李代數(shù)是比半單李代數(shù)更廣泛的一類李代數(shù).特征零代數(shù)閉域上的半單李代數(shù)是完備李代數(shù).在上世紀(jì)九十年代,孟道驥和合作者[3-7]系統(tǒng)發(fā)展了復(fù)數(shù)域上完備李代數(shù)的理論,特別地,他們給出了復(fù)可解完備李代數(shù)的結(jié)構(gòu).

    由于冪零李代數(shù)的中心不為0,因此冪零李代數(shù)不是完備李代數(shù).即使這樣,完備李代數(shù)和冪零李代數(shù)依然有著緊密的關(guān)聯(lián).如果冪零李代數(shù)是一個可解完備李代數(shù)的極大冪零理想(冪零根基),則稱其為可完備化冪零李代數(shù).到目前為止,以下一些復(fù)冪零李代數(shù)是可完備化冪零李代數(shù).

    (i) 交換李代數(shù)和海森堡代數(shù)[3];

    (ii) 半單李代數(shù)的Borel子代數(shù)的極大冪零理想[4];

    (iii) 具有極大秩的冪零李代數(shù)[5];

    (iv) Quasi-Heisenberg代數(shù)和一些兩步冪零李代數(shù)[7-8];

    (v) 某些filiform李代數(shù)[9];

    (vi) 某些Quasi-filiform李代數(shù)[10].

    至今為止,對完備李代數(shù)的研究主要集中在復(fù)完備李代數(shù),對實完備李代數(shù)的研究還比較少.本文主要研究實完備李代數(shù)的結(jié)構(gòu),證明實李代數(shù)是完備李代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)其復(fù)化李代數(shù)是完備李代數(shù).

    2 基礎(chǔ)知識及主要定理

    為介紹本文的一些定理及其證明,需要回顧李代數(shù)的基本定義和一些相關(guān)知識.

    定義1設(shè)L是復(fù)數(shù)域上的有限維向量空間,并且假設(shè)在L中定義一種運算L×L→L,即在L中任意取兩個元素x,y都有唯一的元素與之對應(yīng),表示為(x,y)[x,y],稱為x和y的李括號,如果滿足以下條件,則稱L為復(fù)數(shù)域上的李代數(shù).

    (L1) 這個括號運算是雙線性的,即對于任意的x1,x2,y∈及任意復(fù)數(shù)a1,a2都有

    [a1x1+a2x2,y]=a1[x1,y]+a2[x2,y];

    (L2) [x,x]=0,對于任意的x∈L;

    (L3) [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0,對于任意的x,y,z∈L.

    有了李代數(shù)的定義之后可以回顧可解李代數(shù)和冪零李代數(shù)的概念,設(shè)L的一個理想序列

    L(0)=L,L(1)=[L,L],L(2)=[L(1),L(1)], …,L(i)=[L(i-1),L(i-1)], ….

    如果存在一個正整數(shù)n使得L(n)=0,則稱L是可解李代數(shù).類似地設(shè)L的一個降中心理想序列

    L0=L,L1=[L,L],L2=[L,L1], …,Li=[L,Li-1], ….

    如果存在n使得Ln=0,則稱L是冪零李代數(shù).注意到L(i)?Li對于所有的i都成立,因此所有的冪零李代數(shù)都是可解李代數(shù).

    設(shè)D是李代數(shù)L的一個線性變換,如果D有

    D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy], ?x,y∈L,

    則稱D為L的一個導(dǎo)子.導(dǎo)子的概念在[12-13]中也涉及到.設(shè)A∈L,記伴隨變換adA:L→L為

    adA(X)=[A,X], ?X∈L,

    易知adA是L上的線性變換且滿足條件

    adA[X,Y]=[adA(X),Y]+[X,adA(Y)], ?X,Y∈L.

    adA是由A誘導(dǎo)出的D的內(nèi)導(dǎo)子.記李代數(shù)L上所有導(dǎo)子的集合為Der(L),所有內(nèi)導(dǎo)子的集合為adL.

    另外再記李代數(shù)L的中心為C(L)={z∈L|[x,z]=0,?x∈L}.有了導(dǎo)子、內(nèi)導(dǎo)子和中心的定義就可以引出完備的定義.

    定義2一個域上的李代數(shù)L,如果滿足

    C(L)=0,Der(L)=adL,

    則稱李代數(shù)L是完備李代數(shù).

    在上世紀(jì)90年代,孟道驥研究了復(fù)完備李代數(shù)的一般理論,對復(fù)可解完備李代數(shù)做了一個完整的敘述[3-5].

    假設(shè)n是一個復(fù)冪零李代數(shù),h?Der(n)是n上的極大環(huán)面子代數(shù),即由半單線性變換組成的極大交換子代數(shù).定義一個復(fù)可解李代數(shù)L=h⊕n,它的李括號運算為

    [h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

    定理1假設(shè)L是復(fù)可解完備李代數(shù),則以下三條結(jié)論成立.

    (i)L有分解L=h⊕n,其中h是L的極大交換子代數(shù),n是L的極大冪零理想,即冪零根基.

    (ii)adh在n上的限制adh|n是Der(n)的交換子代數(shù),也是n上的極大環(huán)面子代數(shù).

    (iii)h同構(gòu)于n上的一個極大環(huán)面子代數(shù).

    本文主要證明以下兩個定理.

    定理2一個實李代數(shù)L是完備李代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)L的復(fù)化李代數(shù)L是完備李代數(shù).

    定理3一個實冪零李代數(shù)n是可完備化冪零李代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n的復(fù)化冪零李代數(shù)n是可完備化冪零李代數(shù).

    3 定理2的證明

    證(i) 充分性.假設(shè)L是完備李代數(shù),首先證明L的中心為0.反設(shè)L的中心不為0,即存在x1∈L,對于任意的x,y∈L有[x1,x]=0.對于[x+iy]∈L,有

    [x1,x+iy]=[x1,x]+i[x1,y]=0.

    由此可知L的中心不為0,這與條件L是完備李代數(shù)相矛盾,因此L的中心為0.

    對于任意一個導(dǎo)子D∈Der(L),定義一個線性映射D∈End(L)為

    D(a+ib)=D(a)+iD(b), ?a,b∈L.

    (1)

    對于任意的a1,a2,b1,b2∈L,利用(1)式可以得到

    D([a1+ib1,a2+ib2])=D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

    (2)

    另一方面,有

    [D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)]
    =[D(a1)+iD(b1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2)+iD(b2)]
    =D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

    (3)

    結(jié)合(2)和(3)兩個式子可以發(fā)現(xiàn)

    D([a1+ib1,a2+ib2])=[D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)].

    由導(dǎo)子的定義可以得到D是L的一個導(dǎo)子.又由于L是完備李代數(shù),存在一個元素M=m1+im2∈L滿足D=adM,其中m1,m2∈L.因此對于任意的a∈L,可以推出

    D(a)=D(a)=adM(a)=[m1+im2,a]=[m1,a]+i[m2,a].

    從而m2=0,D(a)=[m1,a]=adm1(a),進而得出D=adm1,即D為L的內(nèi)導(dǎo)子.因此L是完備李代數(shù).

    (ii) 必要性. 假設(shè)L是完備李代數(shù),則L的中心為0,易知L的中心也為0.那么接下來只需要證明L的導(dǎo)子都是其內(nèi)導(dǎo)子.對于任意的導(dǎo)子D∈Der(L),存在兩個線性映射D1,D2∈End(L)使得

    D(a)=D1(a)+iD2(a), ?a∈L.

    (4)

    對于任意的a,b∈L,由(4)可以推出

    D([a,b])=[D(a),b]+[a,D(b)]=[D1(a)+iD2(a),b]+[a,D1(b)+iD2(b)]

    =[D1(a),b]+i[D2(a),b]+[a,D1(b)]+i[a,D2(b)].

    又由于

    D([a,b])=D1([a,b])+iD2([a,b]),

    可以得出

    D1([a,b])=[D1(a),b]+[a,D1(b)],D2([a,b])=[D2(a),b]+[a,D2(b)].

    這說明D1,D2都是L的導(dǎo)子.即存在X,Y∈L,使得D1=adX,D2=adY.將其代入(4)可知

    D(a)=D1(a)+iD2(a)=adX(a)+iadY(a)=(adX+ad(iY))(a).

    即D=ad(X+iY),那么L的導(dǎo)子就是其內(nèi)導(dǎo)子,再根據(jù)L的中心為0可得L是完備李代數(shù).

    4 定理3的證明

    證(i) 必要性.假設(shè)n是實可完備化冪零李代數(shù),也就是說,存在一個有極大冪零理想n的實可解完備李代數(shù)L.根據(jù)定理2可以直接得出,實可解完備李代數(shù)L的復(fù)化可解李代數(shù)L也是完備李代數(shù).注意到[L,L]?n,那么根據(jù)定理1,n是L的冪零根基.這就意味著n是一個可完備化冪零李代數(shù).

    (ii) 充分性.假設(shè)h是實冪零李代數(shù)n上的一個極大環(huán)面子代數(shù),也就是由半單線性變換構(gòu)成的Der(n)的極大交換子代數(shù).令L=h⊕n為實可解李代數(shù),

    [h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

    設(shè)L=h⊕n是L的復(fù)化可解李代數(shù).根據(jù)假設(shè),n是可完備化冪零李代數(shù),即存在一個復(fù)可解完備李代數(shù)s1=h1⊕n.注意到h是n的一個極大環(huán)面子代數(shù).根據(jù)文獻(xiàn)[11],h和h1在Der(n)的內(nèi)自同構(gòu)下是共軛的.這說明李代數(shù)L同構(gòu)于完備李代數(shù)s1,因此L是完備李代數(shù).現(xiàn)在根據(jù)定理2,L是完備李代數(shù).因為n是L的冪零根基,所以n是實可完備化冪零李代數(shù).

    5 結(jié) 論

    文中利用復(fù)化李代數(shù)的導(dǎo)子性質(zhì),證明實李代數(shù)及其復(fù)化具有一致的完備性.結(jié)合復(fù)可解完備李代數(shù)的結(jié)構(gòu),又給出實冪零李代數(shù)及其復(fù)化具有一致的可完備化性.完備性作為李代數(shù)的一種同構(gòu)不變量,本文結(jié)論可把實完備李代數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為復(fù)完備李代數(shù)的研究,在實李代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其分類研究中具有一定意義.

    致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

    猜你喜歡
    子代數(shù)導(dǎo)子代數(shù)
    素*-環(huán)上可乘混合斜Lie(Jordan)導(dǎo)子的可加性
    *-代數(shù)上ξ-*-Jordan-型非線性導(dǎo)子
    兩個有趣的無窮長代數(shù)不等式鏈
    Hopf代數(shù)的二重Ore擴張
    什么是代數(shù)幾何
    科學(xué)(2020年1期)2020-08-24 08:08:06
    擴張的圈Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的導(dǎo)子
    四元數(shù)辛李代數(shù)MAD子代數(shù)的共軛性
    Cartan型李代數(shù)W(n;m)的一類Borel子代數(shù)
    一個非平凡的Calabi-Yau DG代數(shù)
    n-李代數(shù)的廣義Frattini子代數(shù)及其擴張
    亚洲欧美成人综合另类久久久| 超碰av人人做人人爽久久| 午夜福利视频精品| 欧美xxxx性猛交bbbb| 亚洲人成网站在线播| 亚洲无线观看免费| 两个人的视频大全免费| 日韩av免费高清视频| 精品久久久久久久末码| 久热久热在线精品观看| 精品酒店卫生间| 国产永久视频网站| 亚洲国产欧美人成| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 国产伦精品一区二区三区四那| 在线天堂最新版资源| 精品久久久久久久久亚洲| 国产精品精品国产色婷婷| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 亚洲人成网站高清观看| 大话2 男鬼变身卡| 日日撸夜夜添| 热99国产精品久久久久久7| 国产乱人偷精品视频| 久久鲁丝午夜福利片| 日韩国内少妇激情av| 午夜视频国产福利| 亚洲人成网站高清观看| 青春草视频在线免费观看| 男人添女人高潮全过程视频| 99久久精品一区二区三区| 性高湖久久久久久久久免费观看| 亚洲国产高清在线一区二区三| 国产黄频视频在线观看| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 精品午夜福利在线看| 国产精品欧美亚洲77777| 欧美一区二区亚洲| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 欧美另类一区| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 男人爽女人下面视频在线观看| 亚洲精品国产av蜜桃| 在线观看一区二区三区激情| 午夜免费观看性视频| 少妇的逼水好多| 高清在线视频一区二区三区| 精品人妻熟女av久视频| 青春草亚洲视频在线观看| 99久久精品热视频| 18禁在线播放成人免费| 国产免费一区二区三区四区乱码| 国产黄色视频一区二区在线观看| 精品午夜福利在线看| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 99九九线精品视频在线观看视频| 岛国毛片在线播放| 热99国产精品久久久久久7| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 在线亚洲精品国产二区图片欧美 | 91久久精品国产一区二区成人| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 亚洲欧美日韩另类电影网站 | av免费在线看不卡| 欧美变态另类bdsm刘玥| 久久 成人 亚洲| 日本黄大片高清| 欧美丝袜亚洲另类| 草草在线视频免费看| 美女中出高潮动态图| 视频中文字幕在线观看| 精品国产一区二区三区久久久樱花 | 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 精品视频人人做人人爽| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜 | 中文字幕av成人在线电影| 国产v大片淫在线免费观看| 亚洲精品色激情综合| 色5月婷婷丁香| 免费观看的影片在线观看| 国产精品福利在线免费观看| 丝袜喷水一区| 欧美性感艳星| 国产av码专区亚洲av| 人妻系列 视频| 七月丁香在线播放| 久久av网站| 国产精品久久久久成人av| 久久 成人 亚洲| 亚洲,一卡二卡三卡| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 美女中出高潮动态图| 亚洲,一卡二卡三卡| 身体一侧抽搐| 成年免费大片在线观看| 十分钟在线观看高清视频www | 超碰av人人做人人爽久久| 老司机影院毛片| 亚洲欧美日韩另类电影网站 | 精品一区在线观看国产| 黄色日韩在线| 国产黄色视频一区二区在线观看| 视频区图区小说| 国产av一区二区精品久久 | 一本一本综合久久| 亚洲真实伦在线观看| 丝袜喷水一区| 一区二区三区四区激情视频| 寂寞人妻少妇视频99o| 亚洲av不卡在线观看| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 大陆偷拍与自拍| 亚洲人与动物交配视频| 一本色道久久久久久精品综合| 在线精品无人区一区二区三 | 免费看光身美女| 丰满人妻一区二区三区视频av| 免费看不卡的av| 99久国产av精品国产电影| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲人成网站在线观看播放| 亚洲高清免费不卡视频| 日本色播在线视频| 一本色道久久久久久精品综合| 视频区图区小说| 三级国产精品欧美在线观看| 网址你懂的国产日韩在线| freevideosex欧美| 在线观看一区二区三区| 亚洲国产av新网站| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 久久99热这里只有精品18| 看免费成人av毛片| 久久精品久久久久久久性| av一本久久久久| 亚洲精品aⅴ在线观看| 中文在线观看免费www的网站| 国产成人精品久久二区二区免费| 欧美日韩福利视频一区二区| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 97精品久久久久久久久久精品| 大码成人一级视频| 成人黄色视频免费在线看| av网站在线播放免费| 久久久久国产一级毛片高清牌| 中文字幕人妻熟女乱码| 嫁个100分男人电影在线观看 | 国产成人免费无遮挡视频| 久久国产精品人妻蜜桃| 国产精品国产三级专区第一集| 免费看不卡的av| 亚洲专区国产一区二区| www.精华液| 电影成人av| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 在线观看人妻少妇| 亚洲,一卡二卡三卡| 成人手机av| 国产91精品成人一区二区三区 | 亚洲,欧美,日韩| 97精品久久久久久久久久精品| 国产精品欧美亚洲77777| 国产精品 国内视频| 欧美av亚洲av综合av国产av| 人妻人人澡人人爽人人| 亚洲欧洲国产日韩| 视频区欧美日本亚洲| 欧美+亚洲+日韩+国产| 日日爽夜夜爽网站| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 亚洲,欧美精品.| 一区二区三区激情视频| 人人澡人人妻人| 日本色播在线视频| 国产精品九九99| 老熟女久久久| 精品卡一卡二卡四卡免费| 亚洲国产av影院在线观看| 视频区欧美日本亚洲| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 精品高清国产在线一区| 欧美黄色淫秽网站| 久久人妻熟女aⅴ| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 欧美黑人精品巨大| 五月开心婷婷网| 国产成人影院久久av| 亚洲视频免费观看视频| 国产精品一二三区在线看| xxxhd国产人妻xxx| 精品国产一区二区久久| 国产男女超爽视频在线观看| 日本五十路高清| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 国产一区亚洲一区在线观看| 久久人妻熟女aⅴ| 日本五十路高清| 一级a爱视频在线免费观看| 黑人猛操日本美女一级片| 视频在线观看一区二区三区| 亚洲国产av影院在线观看| av一本久久久久| 欧美成狂野欧美在线观看| 国产成人一区二区在线| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 亚洲欧美一区二区三区久久| 大码成人一级视频| 伊人亚洲综合成人网| 亚洲久久久国产精品| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 大片免费播放器 马上看| 亚洲综合色网址| 成人手机av| 国产熟女欧美一区二区| 色精品久久人妻99蜜桃| www.av在线官网国产| 一个人免费看片子| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 极品人妻少妇av视频| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 欧美激情 高清一区二区三区| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 欧美人与性动交α欧美软件| 国产高清国产精品国产三级| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 久久女婷五月综合色啪小说| 九草在线视频观看| 国产欧美日韩精品亚洲av| 看免费成人av毛片| 99国产精品一区二区蜜桃av | 一级黄片播放器| 国产高清videossex| 老司机午夜十八禁免费视频| 国产成人影院久久av| 人体艺术视频欧美日本| 另类亚洲欧美激情| 晚上一个人看的免费电影| 多毛熟女@视频| 日本av免费视频播放| 免费高清在线观看视频在线观看| 亚洲国产中文字幕在线视频| 色婷婷av一区二区三区视频| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 一级毛片电影观看| 高清av免费在线| 中国国产av一级| 高潮久久久久久久久久久不卡| av国产精品久久久久影院| 精品久久久精品久久久| 亚洲成人免费电影在线观看 | 性高湖久久久久久久久免费观看| 十八禁高潮呻吟视频| 另类精品久久| 国产精品久久久久久精品电影小说| 91精品国产国语对白视频| 亚洲精品国产色婷婷电影| 欧美黄色淫秽网站| 在线观看免费午夜福利视频| 免费看十八禁软件| 国产精品av久久久久免费| 黄片小视频在线播放| 亚洲国产看品久久| 男女午夜视频在线观看| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 人成视频在线观看免费观看| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 精品久久久精品久久久| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 久久久国产欧美日韩av| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 精品久久久精品久久久| 脱女人内裤的视频| 欧美+亚洲+日韩+国产| 男女免费视频国产| 日韩av免费高清视频| 国产一区亚洲一区在线观看| 波多野结衣一区麻豆| 久久久亚洲精品成人影院| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 国产在线免费精品| 欧美黑人欧美精品刺激| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 国产日韩欧美在线精品| 久久精品国产a三级三级三级| 老汉色∧v一级毛片| 秋霞在线观看毛片| 下体分泌物呈黄色| 2021少妇久久久久久久久久久| 一级毛片女人18水好多 | 午夜精品国产一区二区电影| 一边摸一边做爽爽视频免费| 丝袜脚勾引网站| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 啦啦啦在线免费观看视频4| 激情五月婷婷亚洲| 成人三级做爰电影| 中文字幕色久视频| 国产成人免费观看mmmm| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 婷婷色综合大香蕉| 亚洲五月婷婷丁香| 亚洲精品自拍成人| 亚洲黑人精品在线| 国产成人精品久久久久久| 丝袜美腿诱惑在线| 国产精品一区二区在线观看99| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 亚洲久久久国产精品| 亚洲男人天堂网一区| 久久亚洲国产成人精品v| h视频一区二区三区| 一区福利在线观看| 国产淫语在线视频| 免费少妇av软件| 免费少妇av软件| 欧美av亚洲av综合av国产av| 波多野结衣av一区二区av| 精品人妻1区二区| www.自偷自拍.com| 中文字幕制服av| 男人舔女人的私密视频| 久久久久久久大尺度免费视频| 又紧又爽又黄一区二区| 97精品久久久久久久久久精品| 女性被躁到高潮视频| 热99国产精品久久久久久7| 免费日韩欧美在线观看| 欧美性长视频在线观看| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 欧美国产精品va在线观看不卡| 我要看黄色一级片免费的| 一区二区三区乱码不卡18| 最近手机中文字幕大全| 在现免费观看毛片| a级毛片黄视频| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 一边摸一边做爽爽视频免费| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 99精国产麻豆久久婷婷| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 巨乳人妻的诱惑在线观看| 日本91视频免费播放| 国产又爽黄色视频| 考比视频在线观看| 99re6热这里在线精品视频| 国产精品九九99| 最近中文字幕2019免费版| 日本a在线网址| 麻豆av在线久日| 免费高清在线观看视频在线观看| 两性夫妻黄色片| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 免费不卡黄色视频| 一级片'在线观看视频| 国产精品一区二区在线不卡| 国产99久久九九免费精品| 精品国产国语对白av| 男人爽女人下面视频在线观看| 亚洲精品第二区| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 国产精品二区激情视频| bbb黄色大片| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 中国美女看黄片| 亚洲欧洲国产日韩| 美女福利国产在线| 亚洲成人免费av在线播放| 午夜免费男女啪啪视频观看| 国产精品.久久久| 高清黄色对白视频在线免费看| 18在线观看网站| 亚洲国产av新网站| 亚洲欧洲日产国产| 国产99久久九九免费精品| 最近手机中文字幕大全| 又紧又爽又黄一区二区| 三上悠亚av全集在线观看| 国产一区有黄有色的免费视频| 国产午夜精品一二区理论片| 国产一区二区三区综合在线观看| 免费观看人在逋| 久久99精品国语久久久| 亚洲 欧美一区二区三区| 91成人精品电影| 精品少妇黑人巨大在线播放| 中国美女看黄片| 久久热在线av| 秋霞在线观看毛片| 国产91精品成人一区二区三区 | 亚洲 国产 在线| 一区福利在线观看| 久久女婷五月综合色啪小说| 日韩一本色道免费dvd| 亚洲国产av新网站| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 亚洲国产最新在线播放| 亚洲欧美激情在线| 亚洲成人免费av在线播放| 亚洲男人天堂网一区| 日本a在线网址| 精品熟女少妇八av免费久了| 亚洲欧洲日产国产| 9191精品国产免费久久| 一边摸一边做爽爽视频免费| 亚洲成人免费av在线播放| 91精品三级在线观看| 高清黄色对白视频在线免费看| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 午夜久久久在线观看| 丝袜美足系列| 国产亚洲一区二区精品| 国产精品久久久av美女十八| 看免费成人av毛片| 麻豆av在线久日| 欧美黄色淫秽网站| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 国产片特级美女逼逼视频| 久久人人97超碰香蕉20202| 热99久久久久精品小说推荐| 欧美激情高清一区二区三区| 69精品国产乱码久久久| 男女高潮啪啪啪动态图| 婷婷色综合www| 国产高清视频在线播放一区 | 中文字幕色久视频| 亚洲精品国产色婷婷电影| 91精品国产国语对白视频| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 国产xxxxx性猛交| 亚洲中文av在线| 免费高清在线观看视频在线观看| 婷婷丁香在线五月| 久久精品国产综合久久久| 国产成人欧美| 久久毛片免费看一区二区三区| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 免费人妻精品一区二区三区视频| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产成人a∨麻豆精品| 麻豆乱淫一区二区| 国产又爽黄色视频| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 免费观看a级毛片全部| 老司机在亚洲福利影院| 天堂中文最新版在线下载| 最近手机中文字幕大全| 亚洲 国产 在线| 啦啦啦 在线观看视频| 这个男人来自地球电影免费观看| 成人三级做爰电影| 婷婷色综合www| 亚洲国产精品国产精品| 亚洲国产日韩一区二区| 青草久久国产| 久久午夜综合久久蜜桃| 丝袜脚勾引网站| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 欧美日韩一级在线毛片| 日本av手机在线免费观看| 韩国高清视频一区二区三区| 亚洲人成网站在线观看播放| 男女下面插进去视频免费观看| 爱豆传媒免费全集在线观看| 一级毛片我不卡| 人人妻,人人澡人人爽秒播 | 交换朋友夫妻互换小说| 一个人免费看片子| 欧美日韩综合久久久久久| 视频区图区小说| 久久国产亚洲av麻豆专区| 久久久久久久大尺度免费视频| 捣出白浆h1v1| 99香蕉大伊视频| 午夜免费鲁丝| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 99国产精品免费福利视频| 国产精品成人在线| 精品一区二区三区av网在线观看 | 一级a爱视频在线免费观看| 日韩欧美一区视频在线观看| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 国产精品三级大全| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 精品一品国产午夜福利视频| 精品福利永久在线观看| 国产精品欧美亚洲77777| 97人妻天天添夜夜摸| 国产不卡av网站在线观看| 在线观看免费日韩欧美大片| 黄色怎么调成土黄色| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 黄色一级大片看看| 一区二区av电影网| 人妻人人澡人人爽人人| 国产免费又黄又爽又色| 老鸭窝网址在线观看| 国产精品一区二区在线不卡| 亚洲精品国产区一区二| 国产精品.久久久| 操美女的视频在线观看| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 亚洲国产看品久久| 丝袜人妻中文字幕| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 欧美 日韩 精品 国产| 久久女婷五月综合色啪小说| 国产精品亚洲av一区麻豆| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 国产主播在线观看一区二区 | 亚洲成人手机| avwww免费| 亚洲国产中文字幕在线视频| 国产91精品成人一区二区三区 | 精品亚洲成国产av| 波多野结衣一区麻豆| 下体分泌物呈黄色| 亚洲av电影在线进入| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 国产亚洲精品第一综合不卡| 人成视频在线观看免费观看| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 亚洲国产成人一精品久久久| 精品久久久久久久毛片微露脸 | 免费少妇av软件| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 久久 成人 亚洲| 国产真人三级小视频在线观看| 亚洲五月婷婷丁香| 99九九在线精品视频| 精品国产乱码久久久久久男人| 2021少妇久久久久久久久久久| 高清黄色对白视频在线免费看| 国产黄色视频一区二区在线观看| 久久久国产精品麻豆| 大片电影免费在线观看免费| 婷婷色av中文字幕| 精品国产乱码久久久久久男人| 久久久久精品国产欧美久久久 | 精品一区二区三区四区五区乱码 | 黑丝袜美女国产一区| 中文字幕av电影在线播放| 国产伦理片在线播放av一区| www.精华液| 国产又爽黄色视频| 亚洲av男天堂| 自线自在国产av| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 久久人人爽人人片av| 色精品久久人妻99蜜桃| 少妇 在线观看| 一级,二级,三级黄色视频| 国产成人精品久久二区二区免费| 久久久欧美国产精品| 国产一区二区在线观看av| 少妇 在线观看| 99精国产麻豆久久婷婷| 久久国产精品人妻蜜桃| 少妇精品久久久久久久| 久久性视频一级片| 2021少妇久久久久久久久久久| 99re6热这里在线精品视频| 久久久久国产一级毛片高清牌| 美女视频免费永久观看网站| 大型av网站在线播放| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 欧美变态另类bdsm刘玥| av片东京热男人的天堂| 超碰97精品在线观看| 大型av网站在线播放| 国产成人a∨麻豆精品| 免费看不卡的av| 可以免费在线观看a视频的电影网站| 老司机靠b影院| 男女边摸边吃奶| 一区二区三区乱码不卡18| 一二三四社区在线视频社区8| 国产精品免费大片| 人人妻,人人澡人人爽秒播 | 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 亚洲av综合色区一区| 老鸭窝网址在线观看| 婷婷色综合www| 女人久久www免费人成看片| 国产精品一区二区在线不卡| 国产xxxxx性猛交| 少妇人妻久久综合中文| 久久精品久久久久久久性| 精品福利永久在线观看| 精品久久久精品久久久| 看免费成人av毛片| 亚洲国产精品一区三区| 精品一区二区三卡| 99久久精品国产亚洲精品| 欧美日韩亚洲高清精品| 日韩av在线免费看完整版不卡| 老司机深夜福利视频在线观看 | 久久国产精品男人的天堂亚洲| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 国产一级毛片在线| 婷婷色麻豆天堂久久| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 免费高清在线观看日韩| 亚洲 欧美一区二区三区| a级片在线免费高清观看视频| 亚洲国产欧美在线一区| videos熟女内射| 精品久久久久久电影网| 欧美日韩亚洲高清精品| 欧美精品一区二区免费开放| 国产亚洲av高清不卡| 久久99一区二区三区| 咕卡用的链子|