對(duì)一道與拋物線有關(guān)的最值題解法的探究

張鵬

與拋物線有關(guān)的最值問題一般難度較大.常見的命題形式有求拋物線中弦長(zhǎng)的最值，求直線與拋物線的最小距離，求拋物線上點(diǎn)到直線的最小距離，求拋物線中三角形的最小面積、最小周長(zhǎng)等.本文對(duì)一道與拋物焦點(diǎn)有關(guān)的距離的最值問題進(jìn)行了探究，并對(duì)求解與拋物線有關(guān)的最值問題的兩種方法進(jìn)行了歸納.

題目中給出的信息較少，且較為簡(jiǎn)單，我們可根據(jù)題意繪制出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合法來解題;也可以設(shè)出拋物線的參數(shù)方程，利用參數(shù)法來求解.

方法一：數(shù)形結(jié)合法

與拋物線有關(guān)的最值問題通常較為復(fù)雜，我們可根據(jù)題意先畫出圖形，分析點(diǎn)、直線、拋物線的位置關(guān)系，然后根據(jù)拋物線的定義和幾何性質(zhì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，如拋物線的切線、坐標(biāo)軸的垂線等，或構(gòu)造出幾何圖形，如三角形、矩形、梯形，借助平面幾何圖形的性質(zhì)來找到滿足題意的最小、最大距離，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式或正余弦定理建立關(guān)系式，求得問題的答案.

方法二：參數(shù)法

圓錐曲線、直線都有與之相對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程，如拋物線 的參數(shù)方程為 參數(shù) ;過點(diǎn)M（x0，y0），傾斜角為α的直線Z的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）等.在解答與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的拋物線最值問題時(shí)，我們可根據(jù)拋物線的參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其看作定點(diǎn)，建立關(guān)系式，求得目標(biāo)式，便可利用三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)或函數(shù)的圖象、性質(zhì)求得最值.對(duì)于本題，可根據(jù)拋物線的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求得| PF|、|PA|，便可求得目標(biāo)式，再參考解法二即可求得最值.

根據(jù)拋物線的參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，有利于迅速將目標(biāo)式用參數(shù)表示出來，再運(yùn)用代數(shù)方法就能快速求得最值.運(yùn)用參數(shù)法解答圓錐曲線問題，可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、函數(shù)的最值問題，這樣有利于轉(zhuǎn)換解題的思路，提升解題的效率，

可見，解答與拋物線有關(guān)的最值問題，不僅可通過數(shù)形結(jié)合，借助圖形通過直觀的方式找到取得最值的情形，還能通過引入?yún)?shù)，借助參數(shù)法來將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、三角函數(shù)最值問題來求解.數(shù)形結(jié)合法、參數(shù)法都是解答與拋物線有關(guān)的最值問題的重要方法，它們的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn)各不相同，同學(xué)們要注意分辨.在解題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)先根據(jù)題意畫出圖形，然后將問題與拋物線的定義、幾何性質(zhì)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、切線、不等式等關(guān)聯(lián)起來，以尋找最佳的解題方案.0F263EE8-608A-4810-BF30-378B2751CA59