初中數(shù)學(xué)習(xí)題變式處理藝術(shù)

福建福安城北中學(xué)（355000） 肖 莉

初中數(shù)學(xué)教材中有很多經(jīng)典習(xí)題，這些習(xí)題在訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及提高學(xué)生解題能力方面具有較大的教育價值。教師如果只是單純利用這些經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行理論知識講解或者解題技巧和方法訓(xùn)練，那么習(xí)題的價值就被削弱了。教師如果講一道習(xí)題或者讓學(xué)生解答一道習(xí)題，眼光只放在此題上，不進(jìn)行任何拓展與延伸，那么學(xué)生的思維就會變得越來越“單線條”，不懂靈活變通，一旦練習(xí)和考試題型稍有變化，學(xué)生就不知道如何解答。教師如果對習(xí)題進(jìn)行拓展與延伸，挖掘習(xí)題的內(nèi)在規(guī)律，合理開展習(xí)題變式教學(xué)，對習(xí)題進(jìn)行變式處理，將會取得舉一反三、觸類旁通的效果，學(xué)生的思維也將更靈活，解題效率會更高。

一、初中數(shù)學(xué)“一題多變”的意義

有研究表明，中學(xué)階段是學(xué)生智力和思維發(fā)展最關(guān)鍵的階段。這一階段的學(xué)生學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，思維靈活，個性獨特，在這一階段加強(qiáng)對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，往往能事半功倍。新課改后，不少數(shù)學(xué)教師越來越重視對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，開始從傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)中走出來，不斷進(jìn)行教學(xué)方法、教學(xué)活動、習(xí)題設(shè)計的創(chuàng)新和改革?！耙活}多變”是廣大數(shù)學(xué)教師為培養(yǎng)學(xué)生思維能力進(jìn)行的一項重要舉措，將經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行變式處理，可以提高學(xué)生的自主能力，訓(xùn)練學(xué)生思維，啟發(fā)學(xué)生智力，挖掘?qū)W生潛能。將初中數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行變式處理有如下意義。

（一）有利于提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

提高自主學(xué)習(xí)能力是新課改對學(xué)生提出的要求，也是學(xué)生自我發(fā)展的關(guān)鍵。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，應(yīng)該具備主動建構(gòu)知識的能力。學(xué)生只有主動學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，才能真正將獲取的知識轉(zhuǎn)化為個人能力?！耙活}多變”這一習(xí)題處理策略，通過對典型習(xí)題進(jìn)行題干、問題、題型等多變處理，能夠讓學(xué)生從單一習(xí)題解答向多元習(xí)題探究過渡，逐漸走向深度學(xué)習(xí)。這無疑可以增強(qiáng)學(xué)生自主探究的意識，不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

（二）有利于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

“一題多變”對學(xué)生最主要的影響就體現(xiàn)在思維方面。將一道看似簡單的習(xí)題逐步進(jìn)行變式處理，由易到難、層層遞進(jìn)，這有利于學(xué)生深入思考問題。同時，“一題多變”既可以改變例題的題干，又可以改變問題，還可以從題型和解題方法上進(jìn)行變式處理。其中解題方法的變式處理主要包括“一題多解”。在教學(xué)實踐中，教師適當(dāng)增加“一題多解”類題型，能夠促使學(xué)生探索多種思考問題和解決問題的方法，從而打開學(xué)生思維，達(dá)到促進(jìn)學(xué)生思維向靈活性和多變性發(fā)展的目的。

（三）有利于提高學(xué)生分析和解決問題的能力

分析和解決問題的能力是學(xué)生學(xué)習(xí)一門課程后應(yīng)該具備的核心能力，學(xué)生的思維也是通過解決問題來體現(xiàn)的，具備良好思維的學(xué)生通常分析和解決問題的能力較強(qiáng)。增設(shè)習(xí)題不僅是為了幫助學(xué)生鞏固知識，而且是為了促進(jìn)學(xué)生分析和解決問題能力的發(fā)展。將習(xí)題進(jìn)行變式處理是對傳統(tǒng)習(xí)題的創(chuàng)新，將更有利于鍛煉學(xué)生分析和解決問題的能力。

（四）有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

新課改后，“減負(fù)提質(zhì)”成為教師的重任，而“雙減”政策出臺后，如何減掉學(xué)生課后作業(yè)負(fù)擔(dān)又不降低教學(xué)質(zhì)量，是廣大教師需要研究的重要課題。習(xí)題作為培養(yǎng)學(xué)生思維、提高學(xué)生能力的重要內(nèi)容，用得好就是給課堂教學(xué)“助力”，用得不好就是“阻力”，更是學(xué)生的負(fù)擔(dān)，既降低學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，又影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。教師倘若可以對習(xí)題進(jìn)行變式處理，則能夠有效避免習(xí)題量大、單一、枯燥等傳統(tǒng)“題海戰(zhàn)術(shù)”的弊端，不至于讓學(xué)生對習(xí)題產(chǎn)生厭倦心理和排斥情緒，極大地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

二、初中數(shù)學(xué)習(xí)題變式處理策略

（一）題干變化

許多數(shù)學(xué)習(xí)題看似孤立，實際上都是對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，不同習(xí)題間也存在內(nèi)在邏輯聯(lián)系，比如解題思路、方法的一致性和相似性。鑒于此，教師在指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時，不妨嘗試引導(dǎo)學(xué)生收集、比較、探究不同習(xí)題，尋求解答習(xí)題的通法，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

［例1］某二次函數(shù)圖像經(jīng)過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三點，求該函數(shù)的解析式。

變式1：某二次函數(shù)圖像經(jīng)過一次函數(shù)y=-x-3 的圖像與x軸、y軸的交點A、C，同時也經(jīng)過點B（1，0），求該二次函數(shù)的解析式。

變式2：某拋物線經(jīng)過B（1，0）、C（0，-3）兩點，直線x=-1是其對稱軸，求該拋物線的解析式。

變式3：一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1，0），在y軸上的截距是-1，二次函數(shù)圖像與其相交于A（1，m）、B（n，4）兩點，直線x=2是二次函數(shù)的對稱軸，求這兩個函數(shù)的解析式。

該組變式習(xí)題在原習(xí)題的基礎(chǔ)上難度逐漸增大，符合學(xué)生的認(rèn)知水平和思維發(fā)展規(guī)律，幫助學(xué)生實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的鞏固、內(nèi)化和吸收，有利于提高學(xué)生歸納和整合知識、解題方法的能力。

（二）題型變化

在原習(xí)題基礎(chǔ)上進(jìn)行題型變化是習(xí)題變式的經(jīng)典手法，這種變式處理是一個“大手術(shù)”，對原來的習(xí)題做了“整容式處理”。習(xí)題的類型發(fā)生了變化，但習(xí)題的解題依據(jù)和核心思想是不變的。習(xí)題變式的目的在于幫助學(xué)生拓展與延伸，將單一習(xí)題轉(zhuǎn)變?yōu)槎喾N題型，激發(fā)學(xué)生的解題興趣，訓(xùn)練學(xué)生的解題能力。

［例2］在△ADE中，∠DAE=120°，點B和C在DE上，△ABC是等邊三角形，求證：BC2=BD·CE。

此題是一道探究性極強(qiáng)的證明題，學(xué)生解答原習(xí)題后，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下變式探究。

變式1：變“證明題”為“填空題”。題干保持不變，問題變?yōu)椋壕€段BC、BD、CE滿足的數(shù)量關(guān)系有哪些？

習(xí)題經(jīng)過變式處理后，學(xué)生需要在原題基礎(chǔ)上將BC分別代換為AB、AC，將問題轉(zhuǎn)為找△ABD與△ECA的關(guān)系問題，增強(qiáng)了原習(xí)題的探究性，突出考查學(xué)生的探究能力和綜合分析能力。

變式2：變“證明題”為“計算題”。題干增設(shè)條件：三角形邊長為4，BD=2。求CE的長。

將原習(xí)題題型轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要探究出線段BC、BD、CE的數(shù)量關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為“知二求一”的題型，突出考查了學(xué)生的計算能力。

變式3：變“證明題”為“自主探究題”。題干保持不變，將問題改為：圖中有哪些線段是另外兩條線段的比例中項？

將原本固定的習(xí)題類型變得更加開放，有利于拓寬學(xué)生的思維空間，鍛煉學(xué)生的開放性思維。

以上習(xí)題變式處理，都融合了轉(zhuǎn)化思想，在原習(xí)題基礎(chǔ)上適當(dāng)進(jìn)行變式處理，從一道常規(guī)習(xí)題延伸拓展出多種題型，不僅增加了習(xí)題的多樣性，而且加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高了學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，間接增強(qiáng)了學(xué)生知識歸納和整理的意識，促使學(xué)生從多角度思考問題，更深入地探究問題。

（三）解法變化

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，也是新課改對廣大數(shù)學(xué)教師提出的根本要求。“思維高度決定行為高度”，思維是行為的導(dǎo)向，只有學(xué)生真正具備數(shù)學(xué)思維，才能靈活解答各類復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此，在習(xí)題教學(xué)中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，通過習(xí)題變式處理，讓學(xué)生感知習(xí)題的變化，在變化和解題過程中逐步形成變式思維，靈活地運用數(shù)學(xué)知識高效解決數(shù)學(xué)問題?！耙活}多解”習(xí)題變式法，能有效增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性和發(fā)散性，促使學(xué)生舉一反三、觸類旁通，激發(fā)學(xué)生潛能。

［例3］如圖1 所示，P是△ABC邊BC上的一動點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，CF是AB邊上的高線，證明：PD+PE=CF。

證法1（截長法）：過點P作PH⊥FC于點H，輔助線如圖1所示，先證明四邊形DPHF是矩形，從而推導(dǎo)出PD=FH，然后再證明△PEC≌△CHP，進(jìn)一步推導(dǎo)出PE=CH，最終證明結(jié)論成立。

圖1 截長法輔助線圖

證法2（補(bǔ)短法）：過點C作CG⊥DP，交DP的延長線于點G，輔助線如圖2所示。觀察圖形，分析已知條件可證得四邊形DGCF是矩形，從而推導(dǎo)出FC=DG=PD+PG，CG∥AB，∠PCG=∠B=∠ACP，Rt△PGC≌Rt△PEC，PG=PE，結(jié)論同樣成立。

圖2 補(bǔ)短法輔助線圖

此題是一道“一題多解”題，在指導(dǎo)學(xué)生解答這道習(xí)題時，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生探索多種解題方法，巧妙應(yīng)用“截長法”“補(bǔ)短法”解題，通過作輔助線、畫圖將題干已知信息清晰呈現(xiàn)，快速找到解題思路和解題突破口，在提高學(xué)生解題效率的同時達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生變式思維的目的。

（四）變中生變

習(xí)題變式教學(xué)并非單純?yōu)榱私鉀Q一個問題，而是解決一類問題，傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”雖能起到鞏固復(fù)習(xí)的作用，但卻無法開拓學(xué)生解題思路，也不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。要真正發(fā)揮習(xí)題的價值，就需要數(shù)學(xué)教師對習(xí)題進(jìn)行創(chuàng)新變式處理，達(dá)到“以少勝多”的目的，給學(xué)生拓展出更多具備相關(guān)性、相反性、相似性的新習(xí)題，讓數(shù)學(xué)課堂常新、善變。

在原有習(xí)題的基礎(chǔ)上不斷加條件，逐步提高問題難度，這種習(xí)題變式是變中生變，以變應(yīng)變，開放性強(qiáng)、趣味性強(qiáng)、探究性強(qiáng)，用以鍛煉學(xué)生變通思維、發(fā)散性思維最好不過。這種變式處理符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，循序漸進(jìn)且層層深入，讓學(xué)生的思考更有深度，對知識的理解更透徹，掌握更扎實，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。

三、初中數(shù)學(xué)習(xí)題變式處理注意事項

不可否認(rèn)，對習(xí)題進(jìn)行變式處理是對傳統(tǒng)習(xí)題設(shè)計的創(chuàng)新，是為了促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。但在實踐中，教師首先應(yīng)該本著“真實育人”的原則，在追求“變化”的同時也要尊重學(xué)生的主體性和客觀性，結(jié)合學(xué)生思維、能力等實際情況對習(xí)題進(jìn)行變式處理，甚至可以鼓勵學(xué)生自己對習(xí)題進(jìn)行創(chuàng)新和改編，將習(xí)題變式的權(quán)力讓給學(xué)生，讓學(xué)生享受探究多變習(xí)題的樂趣，喚醒學(xué)生的主動意識，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，提高學(xué)生解決問題的能力。其次，對習(xí)題進(jìn)行變式處理要盡可能朝多元化發(fā)展，不僅可從題干變化著手，還要充分關(guān)注題型、方法的變化。教師在指導(dǎo)學(xué)生解答多變習(xí)題時，要盡可能啟發(fā)學(xué)生找出原題和變式題的共同點，找出問題的核心和解決問題的關(guān)鍵思路，促使學(xué)生做到以不變應(yīng)萬變，觸類旁通。最后，教師在增設(shè)變式習(xí)題時，應(yīng)做好備課工作，充分研究經(jīng)典習(xí)題，力爭設(shè)計出真正有利于學(xué)生思維能力發(fā)展的習(xí)題，而不是為了“變”而“變”，始終遵循“變”是為了學(xué)生發(fā)展，為了課堂增效的原則，不過分追求“量”的變化，著重突出“質(zhì)”的變化，確保做好習(xí)題變式處理的同時不影響習(xí)題的價值。

綜上所述，習(xí)題變式的處理，將看似孤立的數(shù)學(xué)問題從不同角度和方向進(jìn)行延伸，形成了有規(guī)律可循的數(shù)學(xué)系列習(xí)題，真正幫助學(xué)生在解題過程中找到更多解題思路、方法，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成過程，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解題能力的教學(xué)目的。作為新時代的數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)積極創(chuàng)新、勇于探索，對習(xí)題進(jìn)行變式處理，幫助學(xué)生舉一反三，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，拓展學(xué)生思維，促使學(xué)生主動建構(gòu)知識體系，讓數(shù)學(xué)教學(xué)實現(xiàn)“輕負(fù)高質(zhì)”，讓學(xué)生快樂、輕松、高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。