• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一類不定積分的兩種解法

    2022-06-07 03:04:33胡夢薇
    數(shù)學學習與研究 2022年6期
    關(guān)鍵詞:不定積分三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)

    胡夢薇

    【摘要】本文研究了一類不定積分的兩種解法:一種是教材常用的分部積分循環(huán)解出的方法,另一種是借助于歐拉公式構(gòu)造復變函數(shù)積分的新解法,并且給出了此類不定積分的計算結(jié)果.其中第二種方法具有計算簡潔的優(yōu)點.

    【關(guān)鍵詞】不定積分;指數(shù)函數(shù);三角函數(shù);歐拉公式

    一、引言

    在高等數(shù)學教學中,我們經(jīng)常會遇到計算有關(guān)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積形式

    ∫eaxsin bxdx,ab≠0(1.1)

    的不定積分,此類不定積分計算過程比較復雜,也是教學中的難點問題.鑒于此,本文給出了兩種求解方法:一種是教材中常用的分部積分循環(huán)解出的方法,另一種是利用復變函數(shù)知識,借助于歐拉公式的推廣形式,構(gòu)造一個復變函數(shù)積分進行求解.

    二、準備知識

    定義2.1 如果自變量從初值x0變到終值x,對應的函數(shù)值由f(x0)變化到f(x),則稱x-x0為自變量的增量,f(x)-f(x0)為函數(shù)的增量,分別記作Δx,Δy,即

    Δx=x-x0,或x=x0+Δx.

    Δy=f(x)-f(x0).

    函數(shù)增量又可表示為

    Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

    定義2.2 設函數(shù)y=f(x)在點x0及其領(lǐng)域內(nèi)有定義,當自變量x在x0處有增量Δx時,函數(shù)有相應的增量

    Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

    如果當Δx→0時,ΔyΔx的極限存在,則稱f(x)在點x0處的導數(shù)存在或者可導,這個極限值就稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù),記為y′x=x0,即

    y′x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2.1)

    也可以記為f ′(x0),dydxx=x0,df(x)dxx=x0.

    如果(2.1)式的極限不存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處導數(shù)不存在或者不可導.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.這時,對于(a,b)內(nèi)的每一個確定的x,都有唯一的導數(shù)值f ′(x)與之對應,所以f ′(x)也是x的函數(shù),稱它為y=f(x)的導函數(shù),記為

    y′,f ′(x),dydx,df(x)dx.

    區(qū)間(a,b)稱為函數(shù)y=f(x)的可導區(qū)間,于是導函數(shù)的定義為

    f ′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.

    下面給出文章中用到的幾個基本初等函數(shù)的求導公式:

    (1)C′=0;

    (2)(ex)′=ex;

    (3)(sin x)′=cos x;

    (4)(cos x)′=-sin x.

    定義2.3 ?設函數(shù)y=f(u)和u=φ(x),u=φ(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定義域中,則通過u,y與x建立了對應關(guān)系,記為y=f[φ(x)],稱此函數(shù)是由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)復合而成的復合函數(shù),其中u稱為中間變量.

    定義2.4 ?設函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,則稱f ′(x0)Δx為函數(shù)f(x)在點x0處的微分,記作dy或df(x),即

    dy=f ′(x0)Δx,

    并且說函數(shù)f(x)在點x0處可微.

    通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分,記作dx,即

    dx=Δx.

    于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作

    dy=f ′(x0)dx.

    根據(jù)微分的定義dy=f ′(x0)dx,再由導數(shù)公式,就得到相應的微分公式,這里給出本文用到的幾個基本初等函數(shù)的微分公式:

    (1)d(C)=0;

    (2)d(ex)=exdx;

    (3)d(sin x)=cos xdx;

    (4)d(cos x)=-sin xdx.

    定義2.5 設函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有定義,如果存在一個函數(shù)F(x),使得在該區(qū)間內(nèi)任意一點都有

    f ′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

    則稱F(x)是f(x)在該區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù).

    定義2.6 在區(qū)間I內(nèi),如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),那么函數(shù)族F(x)+C(C為任意常數(shù))稱為f(x)在I內(nèi)的不定積分,記作

    ∫f(x)dx,

    即∫f(x)dx=F(x)+C.

    其中記號“∫”稱為積分號,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量,C稱為積分常數(shù).

    下面給出本文需要用到的有關(guān)復數(shù)域上的三個定義.

    定義2.7 形如z=x+iy或z=x-iy的數(shù),稱為復數(shù),其中x和y是任意的實數(shù).i滿足i2=-1,i稱為虛數(shù)單位.

    定義2.8 歐拉公式

    eiθ=cos θ+isin θ,

    這里e是自然對數(shù)的底,i是虛數(shù)單位,它將函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

    定義2.9 對于任何復數(shù)z=x+iy,我們用關(guān)系式

    ez=ex+iy=e(cos y+isin y)(2.2)

    來定義指數(shù)函數(shù)ez.

    當z的實部x=0時,就是定義2.8的歐拉公式,所以(2.2)是歐拉公式的推廣.

    根據(jù)不定積分的定義和求導數(shù)的運算法則,可以得到如下不定積分的性質(zhì)(假設所討論的不定積分均存在):

    性質(zhì)2.1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號之外,即

    ∫kf(x)dx=k∫f(x)dxk≠0.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE

    性質(zhì)2.2 兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各個函數(shù)不定積分的代數(shù)和,即∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

    下面給出文章中用到的不定積分的幾個基本公式:

    (1)∫sin xdx=-cos x+C;

    (2)∫cos xdx=sin x+C;

    (3)∫exdx=ex+C.

    (4)∫kdx=kx+C.

    定理2.1 設函數(shù)u(x),v(x)在點x處可導,則函數(shù)u(x)v(x)在點x處可導,且

    (u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).

    簡記為

    (uv)′=u′v+uv′.

    定理2.2 (復合函數(shù)的微分法) 若y=f(u),u=φ(x),且φ(x)在點x處可導,f(u)在對應點u處可導,則f(φ(x))在點x處可導,且[f(φ(x))]′=f ′(u)φ′(x).

    簡記為

    y′x=y′uu′x.

    例如,下面兩個復合函數(shù)求導:

    (eax)′=aeax; (sin bx)′=bcos bx.

    計算不定積分的常用方法:

    定理2.3 第一類換元積分(湊微分法):

    設∫f(u)du=F(u)+C,且u=φ(x)可微,則

    ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C.

    定理2.4 (分部積分法)設函數(shù)u=u(x),v=v(x)具有連續(xù)的導數(shù),由函數(shù)乘積的導數(shù)公式有

    (uv)′=uv′+u′v.

    兩邊取不定積分得∫(uv)′dx=∫uv′dx+∫u′vdx.

    移項得∫uv′dx=uv-∫u′vdx,

    ∫udv=uv-∫vdu.

    上述公式叫作分部積分公式.

    三、問題解決的兩種方法

    方法一:使用分部積分循環(huán)解出法.

    ∫eaxsin bxdx,ab≠0

    =1a∫sin bxdeax

    =1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

    =1aeaxsin bx-ba2∫cos bxd(eax)

    =1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx,

    移項,得

    1+b2a2∫eaxsin bxdx=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx,

    則有

    ∫eaxsin bxdx=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

    因為不定積分代表全體原函數(shù),循環(huán)解出時,特別注意要加上任意常數(shù)C. 可以看出,此法比較煩瑣,并且容易出現(xiàn)計算錯誤,需要尋找更簡潔的方法.由于受到相關(guān)文章的構(gòu)造復變函數(shù)思想的啟發(fā),給出下面的第二種解法.

    方法二:構(gòu)造復變函數(shù)積分

    ∫eaxcos bxdx+i∫eaxsin bxdx

    =∫eax(cos bx+isin bx)dx

    =∫eax+bixdx

    =1a+bie(a+bi)x+C

    =a-bia2+b2eaxcos bx+isin bx+C

    =1a2+b2eax[(acos bx+bsin bx)+(asin bx-bcos bx)i]+C.

    等號兩端比較虛部得

    ∫eaxsin bxdx

    =aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

    此方法的解題步驟總結(jié)如下:

    (1)構(gòu)造一個復變函數(shù)積分;

    (2)使用不定積分的性質(zhì)和定義2.7的有關(guān)公式,解出不定積分;

    (3)比較式子等號兩端的虛部,得到所求的結(jié)果.

    下面舉例說明.

    例如 求∫e-3xsin 6xdx.

    方法一:分部積分循環(huán)解出法

    解 ∫e-3xsin 6xdx.

    =1-3∫sin 6xd(e-3x)

    =1-3e-3xsin 6x+2∫e-3xcos 6xdx

    =1-3e-3xsin 6x-23∫cos 6xd(e-3x)

    =1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x-4∫e-3xsin 6xdx,

    移項,得

    5∫e-3xsin 6xdx=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x,

    則有

    ∫e-3xsin 6xdx

    =1-15e-3xsin 6x-215e-3xcos 6x+C

    =-e-3x15(sin 6x+2cos 6x)+C.

    方法二:構(gòu)造復變函數(shù)積分

    ∫e-3xcos 6xdx+i∫e-3xsin 6xdx

    =∫e-3x(cos 6x+isin 6x)dx

    =∫e-3x+6ixdx

    =1-3+6ie(-3+6i)x+C

    =-1-2i15e-3x(cos 6x+isin 6x)+C

    =115e-3x[(-3cos 6x+6sin 6x)-2(3sin 6x+6cos 6x)i]+C.

    等號兩端比較虛部得

    ∫e-3xsin 6xdx

    =-e-3x15sin 6x-215e-3xcos 6x+C

    =-e-3x15(sin 6x+2cos 6x)+C.

    比較上面兩種做法,可以得到:第一種方法,使用分部積分法來循環(huán)解題,在選擇被積函數(shù)的部分形式湊微分以及使用分部積分公式時,計算過程比較煩瑣,容易出錯;第二種使用構(gòu)造復變函數(shù)進行求不定積分的方法思路簡單清晰,只須構(gòu)造復變函數(shù),分解得出其實部和虛部,然后即能比較虛部得出結(jié)果.

    四、結(jié)束語

    本文完整、詳細地研究了不定積分(1.1)式的兩種計算形式,通過對比可以看出,使用復變函數(shù)方法計算更為簡潔,避免了多次使用分部積分法的煩瑣過程.另外,此題的結(jié)果可以作為一個通項公式來用,能夠提高此類題目的解題效率.

    【參考文獻】

    [1]盛祥耀.高等數(shù)學:第4版[M].北京:高等教育出版社,2008.

    [2]陶煌.高等數(shù)學[M].北京:北京師范大學出版社,2011.

    [3]鐘玉泉.復變函數(shù)論:第4版[M].北京:高等教育出版社,2013.

    [4]余家榮.復變函數(shù):第5版[M].北京:高等教育出版社,2014.

    [5]陸光洲.一類函數(shù)不定積分的另一種求法[J]. 高等數(shù)學研究,2014(6):36-37,40.

    [6]郭國安,宋洪雪.一類不定積分的復變函數(shù)解法[J]. 高等數(shù)學研究,2017,20(3):51-54.

    [7]郭鵬云,云文在,田強,等.不定積分解法研究[J].大學數(shù)學,2012(3):149-153.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE

    猜你喜歡
    不定積分三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)(2)
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)(1)
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)(1)
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)(2)
    高中數(shù)學教學方法略談
    考試周刊(2016年93期)2016-12-12 10:07:12
    略談高中數(shù)學三角函數(shù)學習
    三角函數(shù)中輔助角公式的推導及應用
    三角函數(shù)最值問題
    考試周刊(2016年85期)2016-11-11 01:13:34
    關(guān)于“不定積分概念”的教學設計
    考試周刊(2016年64期)2016-09-22 14:49:25
    淺談湊微分法的教學
    考試周刊(2016年27期)2016-05-26 20:12:09
    国产成人影院久久av| 国产精品三级大全| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 久久这里只有精品19| 精品久久久久久久毛片微露脸 | 赤兔流量卡办理| 2021少妇久久久久久久久久久| 国产麻豆69| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 精品一区二区三卡| 两个人看的免费小视频| 亚洲人成电影免费在线| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 欧美变态另类bdsm刘玥| 亚洲精品中文字幕在线视频| av不卡在线播放| 国产免费视频播放在线视频| av片东京热男人的天堂| 成年动漫av网址| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 99热全是精品| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 日本午夜av视频| 欧美xxⅹ黑人| 精品视频人人做人人爽| 曰老女人黄片| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 成年动漫av网址| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 一区二区三区四区激情视频| 日韩av免费高清视频| 99热国产这里只有精品6| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频 | 一边亲一边摸免费视频| 成年女人毛片免费观看观看9 | 成人黄色视频免费在线看| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 九草在线视频观看| 大陆偷拍与自拍| 母亲3免费完整高清在线观看| 母亲3免费完整高清在线观看| 伊人亚洲综合成人网| 制服诱惑二区| 亚洲人成电影免费在线| 99久久精品国产亚洲精品| 国产男女内射视频| 中国国产av一级| av网站在线播放免费| 精品久久久久久电影网| 久久影院123| 久久99热这里只频精品6学生| 欧美精品av麻豆av| 精品第一国产精品| 午夜福利影视在线免费观看| 五月天丁香电影| 午夜日韩欧美国产| 午夜91福利影院| 一区二区三区乱码不卡18| 久久久久精品国产欧美久久久 | 热99久久久久精品小说推荐| 国产午夜精品一二区理论片| 久久av网站| 国产精品久久久人人做人人爽| 欧美黑人欧美精品刺激| 亚洲av日韩精品久久久久久密 | 欧美精品一区二区免费开放| 99热国产这里只有精品6| 欧美日韩视频精品一区| 男女下面插进去视频免费观看| 欧美激情极品国产一区二区三区| 午夜免费观看性视频| 丁香六月天网| 男人舔女人的私密视频| 久久久精品区二区三区| 欧美日韩黄片免| 欧美日韩av久久| 国产精品免费视频内射| 亚洲av综合色区一区| 国产野战对白在线观看| 国产一卡二卡三卡精品| 精品国产乱码久久久久久小说| 久久国产亚洲av麻豆专区| 男人舔女人的私密视频| 女人久久www免费人成看片| 中文字幕人妻熟女乱码| 久久精品国产综合久久久| 亚洲成人免费av在线播放| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 国产精品欧美亚洲77777| 国产精品一区二区精品视频观看| 日韩视频在线欧美| 国产在线视频一区二区| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 日本黄色日本黄色录像| 国产高清不卡午夜福利| 亚洲美女黄色视频免费看| 日韩中文字幕视频在线看片| 在线观看免费高清a一片| 国产黄色视频一区二区在线观看| 国产野战对白在线观看| 老汉色av国产亚洲站长工具| 欧美激情高清一区二区三区| 美女大奶头黄色视频| 老司机午夜十八禁免费视频| 精品一区二区三区av网在线观看 | 欧美97在线视频| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 免费观看人在逋| 成年美女黄网站色视频大全免费| 99国产精品免费福利视频| 欧美xxⅹ黑人| 亚洲一码二码三码区别大吗| 中国美女看黄片| 一级,二级,三级黄色视频| 人人妻人人澡人人看| bbb黄色大片| 人人妻人人澡人人看| 成年女人毛片免费观看观看9 | 只有这里有精品99| 日本a在线网址| 亚洲人成电影观看| 91精品伊人久久大香线蕉| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 99国产综合亚洲精品| 亚洲成国产人片在线观看| 老司机在亚洲福利影院| 国产欧美日韩精品亚洲av| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 一级毛片我不卡| 亚洲欧美色中文字幕在线| 人成视频在线观看免费观看| 一级毛片电影观看| 欧美日韩av久久| 丝袜喷水一区| 免费黄频网站在线观看国产| a级片在线免费高清观看视频| 精品亚洲成国产av| 视频区欧美日本亚洲| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 不卡av一区二区三区| 成人午夜精彩视频在线观看| 99精品久久久久人妻精品| 丰满少妇做爰视频| 亚洲视频免费观看视频| 精品国产一区二区久久| a级毛片黄视频| 亚洲国产精品999| 人人妻人人澡人人看| 日本欧美国产在线视频| 亚洲精品美女久久av网站| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 国产精品久久久人人做人人爽| 青草久久国产| 亚洲成人手机| 久久亚洲国产成人精品v| 后天国语完整版免费观看| 大片免费播放器 马上看| 国产xxxxx性猛交| 母亲3免费完整高清在线观看| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 亚洲情色 制服丝袜| 国产精品一区二区在线不卡| 国产成人啪精品午夜网站| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 只有这里有精品99| 人妻人人澡人人爽人人| kizo精华| 国产极品粉嫩免费观看在线| 少妇 在线观看| 五月开心婷婷网| 两性夫妻黄色片| 欧美另类一区| 黄色 视频免费看| 久久久精品免费免费高清| 在线看a的网站| 欧美另类一区| 午夜福利视频在线观看免费| 后天国语完整版免费观看| 最近手机中文字幕大全| 久久精品国产亚洲av涩爱| 国产成人免费观看mmmm| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 国产亚洲欧美在线一区二区| 久久久久国产一级毛片高清牌| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 波野结衣二区三区在线| 欧美精品av麻豆av| 欧美av亚洲av综合av国产av| 免费在线观看黄色视频的| 国产精品久久久久成人av| 18禁国产床啪视频网站| 精品欧美一区二区三区在线| 成人国产一区最新在线观看 | 国产日韩欧美视频二区| 亚洲九九香蕉| 青春草亚洲视频在线观看| 激情视频va一区二区三区| 日本五十路高清| 国产精品国产av在线观看| 亚洲人成77777在线视频| 日韩人妻精品一区2区三区| 国产精品三级大全| 18禁观看日本| 青草久久国产| 九色亚洲精品在线播放| 丝袜美腿诱惑在线| 国产免费视频播放在线视频| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 在线观看免费午夜福利视频| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 亚洲精品一二三| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频 | 国产xxxxx性猛交| 免费观看a级毛片全部| 欧美人与性动交α欧美软件| 久久久久精品人妻al黑| 国产精品亚洲av一区麻豆| 99热全是精品| 大型av网站在线播放| 啦啦啦在线免费观看视频4| 美女中出高潮动态图| 日本午夜av视频| 色婷婷久久久亚洲欧美| 国产av精品麻豆| 久久综合国产亚洲精品| 日本欧美视频一区| bbb黄色大片| 久久国产精品影院| 最近最新中文字幕大全免费视频 | 精品久久久久久久毛片微露脸 | 丁香六月欧美| 亚洲第一青青草原| 日韩av免费高清视频| 欧美+亚洲+日韩+国产| 日韩人妻精品一区2区三区| 色播在线永久视频| 在线天堂中文资源库| 久久久国产一区二区| 自线自在国产av| 国产成人影院久久av| 91九色精品人成在线观看| 国产91精品成人一区二区三区 | 婷婷色综合大香蕉| 午夜两性在线视频| 一级片免费观看大全| av国产久精品久网站免费入址| 免费在线观看完整版高清| 大码成人一级视频| 亚洲国产精品国产精品| 成人黄色视频免费在线看| 手机成人av网站| 免费高清在线观看日韩| 日日夜夜操网爽| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 久久久国产一区二区| www.自偷自拍.com| 免费观看a级毛片全部| 九色亚洲精品在线播放| 黑丝袜美女国产一区| 亚洲情色 制服丝袜| 亚洲国产看品久久| 七月丁香在线播放| 国产精品久久久久久精品古装| 天天操日日干夜夜撸| 真人做人爱边吃奶动态| 1024香蕉在线观看| 国产男人的电影天堂91| 在线观看人妻少妇| 两人在一起打扑克的视频| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 欧美精品一区二区免费开放| 亚洲欧美激情在线| 高清黄色对白视频在线免费看| 好男人视频免费观看在线| 欧美激情 高清一区二区三区| 色综合欧美亚洲国产小说| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 久久99精品国语久久久| 秋霞在线观看毛片| 久久久亚洲精品成人影院| 一区二区三区乱码不卡18| 看免费成人av毛片| 国产成人av激情在线播放| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 欧美日韩福利视频一区二区| 悠悠久久av| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 下体分泌物呈黄色| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 在现免费观看毛片| 国产伦人伦偷精品视频| 91九色精品人成在线观看| 岛国毛片在线播放| 亚洲精品久久午夜乱码| 午夜福利,免费看| √禁漫天堂资源中文www| 波多野结衣av一区二区av| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 国产成人欧美| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 狂野欧美激情性bbbbbb| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 亚洲欧美清纯卡通| 久久人妻福利社区极品人妻图片 | 永久免费av网站大全| 亚洲国产最新在线播放| 国产欧美亚洲国产| 脱女人内裤的视频| 看免费成人av毛片| 国精品久久久久久国模美| 亚洲男人天堂网一区| www.熟女人妻精品国产| 精品人妻在线不人妻| 婷婷丁香在线五月| 天天影视国产精品| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 精品人妻1区二区| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 在线观看www视频免费| 亚洲一区二区三区欧美精品| 水蜜桃什么品种好| 男女下面插进去视频免费观看| 日韩免费高清中文字幕av| 国产精品.久久久| 精品一区二区三区av网在线观看 | 日韩一区二区三区影片| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 97人妻天天添夜夜摸| 国产成人精品久久久久久| 一本久久精品| 免费高清在线观看日韩| 精品久久久精品久久久| 免费观看av网站的网址| 老司机深夜福利视频在线观看 | 视频区图区小说| 一级a爱视频在线免费观看| 九草在线视频观看| 后天国语完整版免费观看| 久久综合国产亚洲精品| 精品人妻1区二区| a级毛片在线看网站| 青春草亚洲视频在线观看| 美女视频免费永久观看网站| 国产亚洲欧美在线一区二区| 视频区图区小说| 国产精品久久久久成人av| 日韩电影二区| 色精品久久人妻99蜜桃| 国产成人av激情在线播放| 麻豆乱淫一区二区| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 亚洲成国产人片在线观看| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 黄色毛片三级朝国网站| 男人添女人高潮全过程视频| 国产一区二区三区av在线| av国产久精品久网站免费入址| 久久天堂一区二区三区四区| 亚洲欧洲国产日韩| 欧美成人精品欧美一级黄| 亚洲熟女精品中文字幕| 晚上一个人看的免费电影| 亚洲熟女精品中文字幕| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 最新的欧美精品一区二区| 午夜福利影视在线免费观看| 无遮挡黄片免费观看| 亚洲av电影在线进入| 一本色道久久久久久精品综合| 免费日韩欧美在线观看| 免费看不卡的av| 美女福利国产在线| 成在线人永久免费视频| 好男人视频免费观看在线| 国产成人精品在线电影| 丰满少妇做爰视频| 满18在线观看网站| 亚洲专区国产一区二区| 十八禁人妻一区二区| 一级黄色大片毛片| 久久性视频一级片| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 日本wwww免费看| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 777米奇影视久久| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| av又黄又爽大尺度在线免费看| 免费少妇av软件| 日韩av免费高清视频| 两个人免费观看高清视频| 亚洲欧洲日产国产| 1024香蕉在线观看| 国产99久久九九免费精品| 欧美激情极品国产一区二区三区| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 国产免费福利视频在线观看| 国产精品免费视频内射| 欧美精品一区二区免费开放| 好男人电影高清在线观看| 精品一区二区三区四区五区乱码 | 免费看十八禁软件| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 久久精品成人免费网站| 亚洲欧美清纯卡通| 国产精品.久久久| 成人国产av品久久久| 乱人伦中国视频| 国产成人精品在线电影| 成人三级做爰电影| 蜜桃国产av成人99| 伊人亚洲综合成人网| 丰满少妇做爰视频| 老汉色av国产亚洲站长工具| 欧美另类一区| 国产又爽黄色视频| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 波多野结衣av一区二区av| 啦啦啦在线观看免费高清www| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 国产精品欧美亚洲77777| 亚洲精品一二三| 色视频在线一区二区三区| 国产亚洲欧美在线一区二区| 中文字幕精品免费在线观看视频| 精品福利永久在线观看| 99热全是精品| 免费在线观看黄色视频的| av天堂在线播放| 一级毛片 在线播放| 美女午夜性视频免费| 伦理电影免费视频| 岛国毛片在线播放| 人妻人人澡人人爽人人| 一级片免费观看大全| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 成人黄色视频免费在线看| 韩国精品一区二区三区| 成人三级做爰电影| 久久av网站| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 成在线人永久免费视频| 欧美日韩精品网址| 亚洲熟女精品中文字幕| 男女午夜视频在线观看| www.精华液| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 日日摸夜夜添夜夜爱| 欧美日韩综合久久久久久| av不卡在线播放| 免费看十八禁软件| 久久久久久久国产电影| 各种免费的搞黄视频| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 又黄又粗又硬又大视频| 满18在线观看网站| 在线观看www视频免费| 亚洲欧洲国产日韩| 男女无遮挡免费网站观看| 国产精品人妻久久久影院| 久久久国产欧美日韩av| 99香蕉大伊视频| 国产成人欧美| 国产亚洲一区二区精品| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 黄色片一级片一级黄色片| 亚洲中文字幕日韩| 亚洲九九香蕉| 精品少妇久久久久久888优播| 欧美 日韩 精品 国产| 国产精品国产三级专区第一集| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 欧美亚洲日本最大视频资源| 叶爱在线成人免费视频播放| 久久国产精品人妻蜜桃| 精品一品国产午夜福利视频| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 亚洲精品中文字幕在线视频| 18在线观看网站| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲 | 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 在线观看国产h片| 美女中出高潮动态图| 久久热在线av| 亚洲成色77777| 曰老女人黄片| 国产色视频综合| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 各种免费的搞黄视频| 亚洲精品一二三| 亚洲成人手机| 欧美精品一区二区大全| 久久久久久久大尺度免费视频| 七月丁香在线播放| av视频免费观看在线观看| 脱女人内裤的视频| 在线看a的网站| 亚洲成人免费电影在线观看 | 国产又爽黄色视频| 我的亚洲天堂| 国产有黄有色有爽视频| 国产亚洲av高清不卡| 人人妻人人澡人人看| 日韩视频在线欧美| 国产精品免费大片| 亚洲成av片中文字幕在线观看| av电影中文网址| 久久人妻熟女aⅴ| 9色porny在线观看| 乱人伦中国视频| 国产成人精品久久二区二区91| 脱女人内裤的视频| 久久av网站| 久久这里只有精品19| 亚洲欧美激情在线| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 欧美精品av麻豆av| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 国产野战对白在线观看| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 国产在线一区二区三区精| 桃花免费在线播放| 一二三四在线观看免费中文在| 日本一区二区免费在线视频| 精品一区二区三卡| 国产高清国产精品国产三级| 欧美变态另类bdsm刘玥| 国产精品 欧美亚洲| 97在线人人人人妻| 日韩av在线免费看完整版不卡| 国产在视频线精品| 熟女av电影| 男女国产视频网站| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 免费观看人在逋| 五月天丁香电影| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 涩涩av久久男人的天堂| 黑人欧美特级aaaaaa片| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 亚洲中文字幕日韩| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 亚洲国产精品999| 婷婷色综合www| 欧美精品一区二区免费开放| videos熟女内射| 免费不卡黄色视频| 搡老岳熟女国产| 高潮久久久久久久久久久不卡| 亚洲第一青青草原| 午夜免费鲁丝| 欧美97在线视频| 国产97色在线日韩免费| 久久久久久久国产电影| 夫妻性生交免费视频一级片| 青青草视频在线视频观看| 国产又爽黄色视频| 777米奇影视久久| 日韩精品免费视频一区二区三区| 亚洲国产中文字幕在线视频| 精品一品国产午夜福利视频| 国产精品欧美亚洲77777| 蜜桃在线观看..| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 国产三级黄色录像| 美女国产高潮福利片在线看| 国产成人av教育| 1024香蕉在线观看| 国产精品久久久久成人av| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 亚洲,一卡二卡三卡| 亚洲av日韩在线播放| 亚洲精品中文字幕在线视频| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 国产免费现黄频在线看| 又紧又爽又黄一区二区| 老司机午夜十八禁免费视频| 宅男免费午夜| 又黄又粗又硬又大视频| 中文字幕人妻熟女乱码| 一区二区日韩欧美中文字幕| 午夜日韩欧美国产| 欧美精品一区二区免费开放| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 中文字幕制服av| 久久久久精品国产欧美久久久 | 一级片免费观看大全| 十八禁高潮呻吟视频| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 成年av动漫网址| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 男女免费视频国产| 丝瓜视频免费看黄片| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 精品国产乱码久久久久久男人| 999精品在线视频| 免费av中文字幕在线| 色网站视频免费| 飞空精品影院首页| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 飞空精品影院首页| 欧美精品av麻豆av| 日本a在线网址| 午夜精品国产一区二区电影| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图|