有效解答高中數(shù)學(xué)不等式習(xí)題

耿海龍

【摘要】不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，是高考的?？碱}型.本文結(jié)合例題探討運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合法以及放縮法解答不等式習(xí)題.認(rèn)為不等式習(xí)題情境復(fù)雜多變，解題時(shí)應(yīng)具體問題具體分析，靈活運(yùn)用解題方法，才能提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);習(xí)題解答;解題方法

不等式習(xí)題類型復(fù)雜多變，解題方法靈活多樣.為更好的掌握不等式習(xí)題的解題思路與解題技巧，應(yīng)做好相關(guān)題型的匯總，并針對不同的題型做好解題思路的探究與總結(jié)，把握相關(guān)解題細(xì)節(jié).

1 借助函數(shù)性質(zhì)解答不等式習(xí)題

例1 ??已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x，若對任意的x∈[0，2t+1]均有f（x+t）≥[f（x）]3，則實(shí)數(shù)t的最大值為（? ）

A.-49?????? B.-13

C.0???? D.16

因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，其在該區(qū)間為增函數(shù)，即，2t+1>0，則t>-12.又因?yàn)閇f（x）]3=23x=f（3x），f（x+t）≥[f（x）]3，所以f（x+t）≥f（3x）.因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以|x+t|≥|3x|，整理得到：8x2-2tx-t2≤0，即，其在x∈[0，2t+1]上恒成立.令g（x）=8x2-2tx-t2，要想滿足題意g（0）≤0，g（2t+1）≤0，解得-23≤t≤-49，所以t的最大值為-49，選擇A項(xiàng).

思路點(diǎn)評 運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性將函數(shù)的對應(yīng)法則去掉轉(zhuǎn)化為恒成立問題，結(jié)合函數(shù)圖象，找到對應(yīng)的不等式關(guān)系，求解不等式即可.

2 借助導(dǎo)數(shù)法解決不等式問題

例2 ??已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)x滿足f′（x）=ex（2x-1）+f（x），f（0）=-1，則不等式f（x）>5ex的解集為（? ）

A.（-∞，-2）∪（3，+∞）

B.（-∞，-3）∪（2，+∞）

C.（-2，3）

D.（-3，2）

因?yàn)閒′（x）=ex（2x-1）+f（x），則構(gòu)造出函數(shù)g（x）=f（x）ex，則g′（x）=f′（x）·ex-exf（x）ex·ex=2x-1，所以g（x）=f（x）ex=x2-x+m，即，f（x）=ex（x2-x+m），又因?yàn)閒（0）=-1，所以m=-1，f（x）=ex（x2-x-1），由不等式f（x）>5ex，得到ex（x2-x-1）>5ex，即，x2-x-1>5，x2-x-6>0，解得x的取值范圍為（-∞，-2）∪（3，+∞），選擇A項(xiàng).

思路點(diǎn)評 ?結(jié)合給出的導(dǎo)函數(shù)f′（x）表達(dá)式構(gòu)造出新的函數(shù)，借助求導(dǎo)的逆運(yùn)算求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，將問題轉(zhuǎn)化為求解一元二次不等式問題.

3 借助換元法解決不等式問題

例3 已知a>0，b>0，a≤2b≤2a+b，則2aba2+2b2的取值范圍為.

因?yàn)閍>0，b>0，a≤2b≤2a+b，所以1≤2·ba≤2+ba，所以12≤ba≤2

令t=ba∈[12，2]，而2aba2+2b2=2·ba2·（ba）2+1=2t2t2+1=22t+1t=1t+12t

令f（t）=t+12t，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知f（x）在[12，22]是減函數(shù)，在[22，2]上是增函數(shù)，則f（t）min=f（22）=2，而f（2）=2+14=94，f（1）=12+1=32，所以f（t）的最大值為94，2≤f（t）≤94，所以49≤1f（t）≤22，所以其取值范圍為[49，22].

思路點(diǎn)評 對已知條件以及要求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，采用換元法減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，運(yùn)用對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出對應(yīng)函數(shù)的取值范圍，借助函數(shù)基本性質(zhì)得出最終答案.

4 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解決不等式問題

例4 已知定義在R的偶函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），當(dāng)且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=ex-1，0≤x≤1x2-4x+4，1

因?yàn)閒（2-x）=f（2+x），又因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（2-x）=f（x-2），所以f（2+x）=f（x-2），令x=x+2，得到f（x）=f（x+4），則函數(shù)f（x）的周期為4.在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出y=f（x）和y=m|x|的圖象，如圖1所示：

圖1

由圖可知要想滿足題意應(yīng)有7m≤e-1，9m>e-1，解得m的取值范圍為（e-19，e-17].

思路點(diǎn)評：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)f（x）的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）圖象在函數(shù)y=m|x|圖象之上時(shí)的橫坐標(biāo)有9個(gè)整數(shù).通過數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建不等關(guān)系，求出m的范圍.

5 應(yīng)用放縮法解決不等式問題

例5 ??已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1+a2+a3…+an=n2+3n（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（2）求證：1a1+1a2+1a3…+1an<316;

問題（1），因?yàn)閍1+a2+a3…+an=n2+3n①，所以a1+a2+a3…+an-1=（n-1）2+3（n-1）②，①-②整理得到：an=2n+2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4（n+1）2;問題（2），因?yàn)閍n=4（n+1）2，當(dāng)n=1時(shí)，1a1=14×4=116<316，成立;當(dāng)n≥2時(shí)，1an=14（n+1）2<14（n+1）n=14（1n-1n+1），所以1a2+1a3…+1an=14（12-13+13-14+…+1n-1n+1）=14（12-1n+1）=18-14（n+1）<18，則1a1+1a2+1a3…+1an<116+18=316，得證.

思路點(diǎn)評 ?結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式先證明n=1時(shí)不等式成立.當(dāng)n≥2時(shí)進(jìn)行放縮，通過列項(xiàng)相消求出對應(yīng)的和，而后將1a1考慮在內(nèi)，即可得證.

6 總結(jié)

運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、放縮法均能求解不等式問題.為更好的掌握這些方法，實(shí)現(xiàn)解題能力的進(jìn)一步提升，既要認(rèn)真研究相關(guān)習(xí)題的解題過程，又要做好專題的訓(xùn)練，在訓(xùn)練中不斷的深化理解，把握解題的細(xì)節(jié)，真正的做到融會(huì)貫通，舉一反三.

參考文獻(xiàn)：

[1]盧賢慧.多維關(guān)聯(lián)啟發(fā)，應(yīng)用替換突破——高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)案例分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（17）：14-15.

[2]薛建豐.淺談高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略——以不等式的教學(xué)為例[J].數(shù)理化解題研究，2021（21）：40-41.

[3]陳大祥.淺析新課改下高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2021（12）：48-49.

[4]黃細(xì)盈.高中數(shù)學(xué)不等式難點(diǎn)有效解題方法分析[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2021（02）：81.