基于數(shù)形結(jié)合思維的高中數(shù)學(xué)解題探究

鞠淑敏

【摘?要】??數(shù)形結(jié)合思想是高中最常見的數(shù)學(xué)思想之一，能夠幫助學(xué)生更快速且更加準確地解決一些數(shù)量關(guān)系，甚至直接算出題目的答案.之所以數(shù)形結(jié)合的方法會如此有效，是因為“形”與“數(shù)”的結(jié)合，讓題目的解題邏輯變得更加清晰.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)的集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何、復(fù)數(shù)等方面都有應(yīng)用.本文主要從數(shù)形結(jié)合思維在方程式、函數(shù)、三角函數(shù)和不等式等方面進行舉例說明.

【關(guān)鍵詞】??數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);解題能力

1?數(shù)形結(jié)合思維在方程式中的解題探究

例1???方程2a?2x?2+2ax+1-a?2=0的兩個根在?-1，1?之內(nèi)，求a的取值范圍.

解???由題意可知a?2≠0，根據(jù)已知方程繪制二次函數(shù)f（x）=2a?2x?2+2ax+1-a?2草圖（如圖1所示），從圖中可知，拋物線與x軸的交點在（-1， 1）之內(nèi)，要滿足條件：f（-1）=?（a-1）??2>0，f（1）=?（a+1）?2?>0，Δ=8a?2（a?2-?1?2?）≥0，從而解得a的取值范圍為a≤-??2??2?或a≥??2??2?，

且a≠±1.

2?數(shù)形結(jié)合思維在函數(shù)中的解題探究

例2???對a，b∈?R?，

記?max?{a，b}=?a，（a≥b）b，（a

則f（x）=max{|x+1|，x?2-2x+?9?4?}（??）

（?A?）有最大值?3?2?，無最小值.

（?B?）有最大值?1?2?，無最小值.

（?C?）有最小值?3?2?，無最大值.

（?D?）有最小值?1?2?，無最大值.

解???由題意可知，此題是利用數(shù)形結(jié)合思想求函數(shù)的最值.

函數(shù)f（x）=max{|x+1|，x?2-2x+?9?4?}是指兩函數(shù)y=|x+1|與y=x?2-2x+?9?4?在同一個x時取函數(shù)值較大的那一個函數(shù)值，在同一平面直角坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖象，如圖2所示.兩函數(shù)的圖象在y軸右側(cè)有兩個交點，f（x）的圖象為圖中實線部分所示，令

x+1=x?2-2x+?9?4?，解得x?1=?1?2?，x?2=?5?2?，由圖可知，當(dāng)x?1=?1?2?時，f（x）有最小值f（?1?2?）=?3?2?，因此，選（?C?）.

3?數(shù)形結(jié)合思維在三角函數(shù)中的解題探究

例3???證明三角函數(shù)不等式.設(shè)α為銳角，求證：1

證明???如圖3所示，在平面直角坐標系中建立一個單位圓，并設(shè)銳角α的終邊為OP，過點P做PQ⊥x軸于Q，由三角函數(shù)的定義可知，?sin?α=QP，?cos?α=OQ在銳角ΔOPQ中，有QP+OQ>OP，即?sin?α+?cos?α>1.（1）

另一方面，設(shè)單位圓與x的正半軸、y軸的正半軸的交點分別為A、B.由圖可知，四邊形OAPB被扇形AOB覆蓋，所以S??OAPB?

過P作PR⊥y軸于R，

則S??ΔOPB?+S??ΔOAP?

即?1?2?OB·PR+?1?2?OA·PQ

又?OA?=?OB?=1，?PR?=?OQ?=?cos?α，?PQ?=?sin?α，

所以（2）可以化為?1?2??cos?α+?1?2??sin?α

即?sin?α+?cos?α

綜合（1）（3）可知，1

例4???對于給出函數(shù)

y=A?sin?（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|

的圖象如圖4所示，求該函數(shù)的解析式.

分析???此題是利用三角函數(shù)圖象求解析式.由圖4可知，-2≤y≤2，所以A=2，于是可設(shè)y=2?sin?（ωx+φ），因為y=f（x）的圖象過點P（?-?7?π??12?，0?、Q?0，1?，

所以有2?sin?（-?7?π??12?ω+φ）=0且2?sin?φ=1，即?sin?φ=?1?2?，又?φ?

所以，所求函數(shù)的解析式為y=2?sin?（2x+??π??6?）.

4?結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思維在所有數(shù)學(xué)知識中都有體現(xiàn)，但高中數(shù)學(xué)教材的編寫是以傳授數(shù)學(xué)理論知識為重點，其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想需要和老師同學(xué)一起探索發(fā)現(xiàn).學(xué)生需要有意識培養(yǎng)自己的數(shù)形幾何思維，在解題過程中抓住題目關(guān)鍵信息，提高解題能力.

參考文獻：

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