向量背景下雙變量最值問題的求解策略探究

徐盛馀

【摘要】以向量為背景的雙變量最值問題是一類綜合問題，該問題將向量與函數(shù)、不等式、直線與圓、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合.在求解以向量為背景的最值問題時(shí)，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)，綜合利用幾何與代數(shù)的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)姆椒撊ァ跋蛄康耐庖隆?，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化到數(shù)量關(guān)系，通過不等式，三角換元及數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)雙變量最值問題的求解.

【關(guān)鍵詞】向量關(guān)系;數(shù)量關(guān)系;雙變量;最值

平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，是溝通代數(shù)與幾何的重要工具.用向量的知識(shí)將雙變量問題進(jìn)行“包裝”，考查了向量與函數(shù)、不等式、直線與圓、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合問題，解決此類最值問題有兩個(gè)難點(diǎn)需要突破，首先要做的是將向量問題代數(shù)化，尋找到雙變量之間的代數(shù)表達(dá)式，轉(zhuǎn)化成雙變量的最值為題，其次根據(jù)雙變量的代數(shù)表達(dá)式選擇合適的方法實(shí)現(xiàn)最值問題的求解，下面舉例說明.

1題設(shè)條件中直接含有雙變量m與n的向量關(guān)系式c=ma+nb.

以平面向量基本定理c=ma+nb的形式呈現(xiàn)變量m與n的之間的關(guān)系，此類結(jié)構(gòu)特征的題型常見的解題思路有：基底法，坐標(biāo)法，數(shù)量積，等和線.

例1在△ABC中，∠ACB=120°.若點(diǎn)P為△ABC外接圓的圓心，設(shè)PC=mPA+nPB，則m+n的最大值為.圖1

解法1基底法

根據(jù)題設(shè)條件，選擇{PA，PB}為基底，將PC重新表示，利用零向量分解的唯一性構(gòu)造等量關(guān)系.

如圖1，由圓的知識(shí)可知

∠APB=∠ACB=120°，

記AB與PC的交點(diǎn)為D，PC=lPD，

由A，D，B三點(diǎn)共線，有

PD=tPA+（1-t）PB，

所以PC=lPD=tlPA+（1-t）lPB，

結(jié)合題設(shè)條件有

（m-tl）PA+[n-（1-t）l]PB=0，

由零向量分解的唯一性可知

tl=m，（1-t）l=n，

所以m+n=l=|PC||PD|≤|PC||PD|min=2.

圖2

解法2坐標(biāo)法

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算.

以P為坐標(biāo)原點(diǎn)PA為x軸，如圖2建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)△ABC外接圓的半徑為1，C（xC，yC），則

A（1，0），B-12，32，

于是PC=（xC，yC），PA=（1，0），

PB=-12，32，

代入PC=mPA+nPB，

有xC=m-12n，yC=32n，

又點(diǎn)C在圓上，

故m-12n2+32n2=1，

整理可得（m+n）2-1=3mn，

根據(jù)不等式mn≤m+n22，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)，

有（m+n）2-1=3mn≤3（m+n）24，

解得m+n≤2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào).

解法3數(shù)量積

將向量等式的兩邊同時(shí)與某個(gè)向量作數(shù)量積，可實(shí)現(xiàn)向量關(guān)系式到數(shù)量關(guān)系式的轉(zhuǎn)化.

將PC=mPA+nPB兩邊平方可得

|PC|2=（mPA+nPB）2

=m2|PA|2+2mn·|PA|·|PB|cos120°+

n2|PB|2，

整理可得1=m2-mn+n2，

圖3

下同解法2.

解法4等和線

在動(dòng)點(diǎn)軌跡已知的前提下，根據(jù)雙變量結(jié)構(gòu)目標(biāo)形式可以嘗試用等和線的方法求解.

由題設(shè)可知，點(diǎn)C在劣弧AB上遠(yuǎn)動(dòng)，過C作直線AB的平行線l，當(dāng)l與圓相切時(shí)，m+n取到最大值，此時(shí)

PC⊥AB，

故（m+n）max=PCPD=PAPD=1sinπ6=2.

注根據(jù)題設(shè)條件選擇哪種方法更有效，不僅依賴于讀者的知識(shí)儲(chǔ)備以及解題經(jīng)驗(yàn)，還依賴于題設(shè)條件的呈現(xiàn)形式. 基底法需要進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，用平面向量共線定理搭建等量關(guān)系，坐標(biāo)法與等和線需要較強(qiáng)的幾何直觀，數(shù)量積的選擇需要知道向量的摸與夾角，或者等式兩邊模長可約.

2題設(shè)條件中出現(xiàn)雙變量m與n，但沒有直接的向量關(guān)系式c=ma+nb.

例2如圖4，圖4在△ABC中，點(diǎn)O滿足BO=2OC，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N.設(shè)AB=mAM，AC=nAN，則m2+n2的最小值是（）

（A）95.（B）2.（C）2.（D）355.

解因?yàn)锽O=2OC，

所以AO=13AB+23AC=m3AM+2n3AN.

又因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，

AO=tAM+（1-t）AN，

所以m3+2n3=1，m=3-2n，

于是m2+n2=（3-2n）2+n2

=5n2-12n+9=5n-652+95，

當(dāng)n=65，m=35時(shí)，m2+n2有最小值為95.

故選（A）.

注根據(jù)解題目標(biāo)，需要找到m與n的數(shù)量關(guān)系，才能求解最值，由題設(shè)條件BO=2OC，利用AM，AN表示出AO，構(gòu)造出形如c=ma+nb的向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化成例1的類型題，再用基底法可以確定m與n的數(shù)量關(guān)系.

3題設(shè)條件中未出現(xiàn)雙變量，需深挖題設(shè)，尋變量關(guān)系.

向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，與模相關(guān)的運(yùn)算常用的處理方法是將“向量幾何化”，畫出合適的圖形，利用向量的運(yùn)算法則處理，或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算處理.

圖5

例3已知平面向量a，b，c滿足a·b=0，|c|=1，|a-c|=|b-c|=5，則12a+12b-c的取值范圍是.

解設(shè)c=（1，0），a=（x1，y1），b=（x2，y2），

作OA=a，OB=b，OC=c，

則C（1，0），

|a-c|2=（x1-1）2+y21=25，

|b-c|2=（x2-1）2+y22=25，

如圖5，A，B在以C圓心，5為半徑的圓上，記A，B的中點(diǎn)為M，

所以O(shè)M=12（a+b）=（x，y），

即x1+x22，y1+y22=（x，y），

又a·b=x1x2+y1y2=0，

所以x2+y2=（x1+x2）2+（y1+y2）24

=x21+y21+x22+y22+2（x1x2+y1y2）4

=x21+y21+x22+y224

=[（x1-1）2+y21]+[（x2-1）2+y22]+2（x1+x2）-24

=4x+484=x+12，

整理得x-122+y2=494，

故點(diǎn)M在圓心為D12，0，半徑為r=72的圓上，

又12a+12b-c=（x-1）2+y2

=（x-1）2+494-x-122

=13-x，

因?yàn)閤∈[-3，4]，

所以12a+12b-c∈[-3，4].

注向量背景題設(shè)條件下要關(guān)注其幾何圖形的呈現(xiàn)，為建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系提供形的支撐，以向量的模，數(shù)量積運(yùn)算為題設(shè)條件時(shí)，要深挖向量表示的背景圖形，大多都是以圓為背景的二元最值問題. 充分考查了數(shù)與形的關(guān)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算探究的是橫縱坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，從代數(shù)的角度尋找題設(shè)條件中的雙變量問題.

平面向量是數(shù)學(xué)中神奇的存在，它具有代數(shù)和幾何的雙重身份，是數(shù)形結(jié)合思想考查的內(nèi)容之一，向量背景下的雙變量最值問題的求解，是“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，根據(jù)題型可以選擇基底法、坐標(biāo)法，數(shù)量積、等和線法中的某一的方法脫掉“向量的外衣”，特別要關(guān)注圖形特征.根據(jù)雙變量的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征經(jīng)常用基本不等式，和三角換元來處理雙變量最值問題.熟練基本題型，基本方法，在解題時(shí)才能得心應(yīng)手.

圖6

練習(xí)

1.如圖6，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=2，P為MN的中點(diǎn)，AP=λAB+μAD，則λ+2μ的最大值是.

2.如圖7，若同一平面上的四邊形PQRS滿足：mnRP=n（1-3m）QP+m（n-1）SP（m>0，n>0），則當(dāng)△PRS的面積是△PQR的面積的13時(shí)，1m+n的最大值為.

圖7圖8

3.如圖8，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別交AB，AC兩邊于M，N兩點(diǎn)，且AM=xAB，AN=yAC，則3x+y的最小值為.