數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)運(yùn)算更有深度

王瑾

[摘 要]小學(xué)階段是學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想的最佳時(shí)期，更是學(xué)生從直觀思維向抽象思維變化的重要時(shí)期。在進(jìn)行計(jì)算教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)有目的地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，通過(guò)數(shù)字和圖形之間的聯(lián)系，來(lái)指導(dǎo)學(xué)生利用直觀的圖形表示抽象的數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生更好地理解題意，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，鍛煉數(shù)學(xué)思維。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;計(jì)算教學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）14-0097-03

數(shù)學(xué)是一門(mén)專(zhuān)門(mén)研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，它的表達(dá)方式有兩種，就是“數(shù)”與“形”。而數(shù)形結(jié)合就是指根據(jù)“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用“形”來(lái)表示“數(shù)”以使“數(shù)”更加直觀、具象，利用“數(shù)”來(lái)研究“形”，以使“形”更加精準(zhǔn)、明確。能否熟練地在代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題中不斷切換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。

在計(jì)算教學(xué)中，教師要懂得合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在循序漸進(jìn)中更具抽象性、靈活性與創(chuàng)造性，更好地協(xié)調(diào)學(xué)生的抽象思維與形象思維，還要提供優(yōu)化的方法，使學(xué)生更加直觀、輕松地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，加深對(duì)相關(guān)算理的理解，啟發(fā)他們準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，提升運(yùn)算能力，提高數(shù)學(xué)思維水平與綜合素養(yǎng)。

一、以形助數(shù)，自主探究領(lǐng)悟算理

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，計(jì)算教學(xué)占了非常大的比重，要想讓學(xué)生真正掌握算法的內(nèi)涵，先讓學(xué)生理解算理，但很多計(jì)算題的算理是隱藏的，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是很難自主發(fā)現(xiàn)的。而實(shí)際教學(xué)中，教師往往重視反復(fù)練習(xí)算法，忽視學(xué)生對(duì)算理的理解，更別提讓學(xué)生在充分理解和掌握算法和算理的基礎(chǔ)上，將機(jī)械化的計(jì)算內(nèi)容變?yōu)樽灾魈骄炕顒?dòng)。這種重復(fù)式的練習(xí)及不明算理的計(jì)算帶來(lái)的后果就是學(xué)生只會(huì)機(jī)械地模仿，難以達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)的目的。因此，要想解決以上問(wèn)題，教師不僅要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)算理的理解，還要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在直觀的圖形中進(jìn)一步領(lǐng)悟算理，并于抽象中掌握算法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深入發(fā)展和計(jì)算能力的有效提升。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”這一課的內(nèi)容時(shí)，有一個(gè)算式72÷3，學(xué)生在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)被除數(shù)的十位數(shù)除以3后還余1。這時(shí)，教師為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，可以組織學(xué)生利用小棒進(jìn)行擺一擺和分一分的探究活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)物來(lái)逐漸找到簡(jiǎn)便的擺法，從而更好地理解算理。學(xué)生在操作活動(dòng)中很快就發(fā)現(xiàn)：要先將7捆小棒平均分成3份，這樣一來(lái)每份就是2捆，而多余的1捆小棒則可以將其拆開(kāi)與剩下的2根小棒合并在一起，再繼續(xù)平均分成3份，這樣一來(lái)每份就有4根小棒，最后將兩次平均分的結(jié)果加起來(lái)，20+4=24，所以商就是24。這時(shí)，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生使用豎式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，并啟發(fā)學(xué)生認(rèn)真思考：當(dāng)十位除以3后余下的這1個(gè)十應(yīng)該如何處理呢？學(xué)生在前面案例的啟發(fā)下就自然得出“要將這1個(gè)十與個(gè)位數(shù)上的2合并起來(lái)再繼續(xù)除以3”的結(jié)論，輕松解決了算理上的難點(diǎn)。教師根據(jù)學(xué)生的探究結(jié)果，在黑板上將豎式計(jì)算的整個(gè)過(guò)程寫(xiě)出來(lái)（如圖1），并配合講解與教具演示，將“數(shù)”與“形”完整地對(duì)應(yīng)起來(lái)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)算理的理解。

數(shù)形結(jié)合思想就像是算理與算法之間的一條紐帶，這條紐帶連通了學(xué)生的思維，讓學(xué)生充分理解算理的本質(zhì)。學(xué)生利用學(xué)具或圖片等直觀物品，從形的方向進(jìn)行思考，以形助數(shù)，通過(guò)操作、聯(lián)想、對(duì)比、概括等思維發(fā)展的過(guò)程，逐漸在腦海中建立起清晰的表象，在深入理解算理，掌握算法的同時(shí)，獲得了思維的進(jìn)階發(fā)展，有效提高了計(jì)算教學(xué)的效果。

二、以形思數(shù)，巧借模型優(yōu)化算法

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“人之可貴在于能創(chuàng)造性地思維?！敝挥芯邆淞顺錆M(mǎn)主動(dòng)性與創(chuàng)造性的思維，才能真正窺探到事物的本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律，更好地創(chuàng)造出具有個(gè)性化、創(chuàng)新性的思維成果。小學(xué)生在計(jì)算學(xué)習(xí)的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能更好地激發(fā)創(chuàng)造性思維，想出多種算法，無(wú)形之中培養(yǎng)出發(fā)散性思維。通過(guò)對(duì)比、聯(lián)想和推理來(lái)探究出最優(yōu)化的算法，能促進(jìn)學(xué)生計(jì)算能力的提升。

例如，在教學(xué)“解決問(wèn)題的策略（轉(zhuǎn)化）”這一課的內(nèi)容時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生探究“[1/2] + [1/4 ] + [1/8] + [1/16]”的簡(jiǎn)便算法。有的學(xué)生是先通分，將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算;也有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，即最終結(jié)果的分母與算式中最后那個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同，而分子則比分母小1。上述兩種方法運(yùn)用了代數(shù)知識(shí)，且涉及分?jǐn)?shù)的計(jì)算，學(xué)生容易算錯(cuò)，所以不是最優(yōu)解。還有的學(xué)生利用畫(huà)圖的方法，比如，畫(huà)線段圖、圓形圖、正方形圖等來(lái)獲得算式結(jié)果（如圖2）。最終，學(xué)生在經(jīng)過(guò)對(duì)比之后，一致認(rèn)為通過(guò)數(shù)形結(jié)合畫(huà)出正方形圖來(lái)計(jì)算是最簡(jiǎn)便、最直觀形象的方法。

隨后，教師又依據(jù)教材內(nèi)容讓學(xué)生探索由1起始的連續(xù)奇數(shù)列的和“1+3+5+7+……”，讓學(xué)生先自己嘗試畫(huà)一畫(huà)，再進(jìn)行求和，學(xué)生在邊畫(huà)圖邊思考中自主建構(gòu)起連續(xù)奇數(shù)列之和的數(shù)學(xué)模型。有一部分學(xué)生利用了畫(huà)正方形圖的方式建構(gòu)了相應(yīng)的奇數(shù)列模型（如圖3）。

在第一個(gè)圖形中，學(xué)生畫(huà)了1個(gè)小正方形來(lái)表示1;第二個(gè)圖形是在第一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了3個(gè)小正方形，組合成了邊長(zhǎng)為2的正方形，表示4;第三個(gè)圖形又比第二個(gè)圖形多了5個(gè)小正方形，組合成了邊長(zhǎng)為3的正方形，表示9;第四個(gè)圖形比第三個(gè)圖形多了7個(gè)小正方形，組合成了邊長(zhǎng)為4的正方形，表示16。以此類(lèi)推，第五個(gè)圖形、第六個(gè)圖形……的正方形的邊長(zhǎng)分別應(yīng)為5、6……，正方形分別表示25、36……，通過(guò)觀察探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，明白了要想快速得出“1+3+5+7+……”的結(jié)果，重點(diǎn)在于這個(gè)算式中加數(shù)的個(gè)數(shù)，它們的和等于加數(shù)個(gè)數(shù)的平方。正是通過(guò)畫(huà)圖的方式啟發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓學(xué)生逐漸建構(gòu)起直觀的數(shù)學(xué)模型，更容易找到最優(yōu)算法，快速解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，有效提高了計(jì)算的速度和正確率，也促進(jìn)了學(xué)生計(jì)算能力的發(fā)展。

三、以形悟數(shù)，呈現(xiàn)場(chǎng)景感悟定律

運(yùn)算定律貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，所以熟練掌握各種運(yùn)算定律是能否準(zhǔn)確運(yùn)算的關(guān)鍵。在解決實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，加法和乘法的交換律是最簡(jiǎn)單也是最常用的運(yùn)算定律，涉及一些復(fù)雜的計(jì)算題時(shí)，往往離不開(kāi)加法和乘法的結(jié)合律及乘法分配律。交換律對(duì)于學(xué)生來(lái)講一般不難掌握，但是他們常常會(huì)對(duì)乘法分配律和乘法結(jié)合律的概念產(chǎn)生混淆。比如，在計(jì)算“（5×3）×4”時(shí)，有部分學(xué)生會(huì)把算式變形成“5×4+3×4”或者“5×4×3×4”，這就是混淆乘法結(jié)合律和乘法分配律之后出現(xiàn)的錯(cuò)誤。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根本原因就是他們并沒(méi)有明白運(yùn)算定律的實(shí)際意義，也沒(méi)有從根本上去理解運(yùn)算定律。而數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)在于可以將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)一定的場(chǎng)景或者圖形直觀地表達(dá)出來(lái)。因此，教師可以充分利用數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生理解運(yùn)算定律的本質(zhì)，從而更好地掌握和運(yùn)用各種運(yùn)算定律。

以學(xué)習(xí)乘法分配律為例，探究如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握運(yùn)算定律。乘法分配律的標(biāo)準(zhǔn)書(shū)寫(xiě)方式是“（a+b）×c=a×c+b×c”，這種帶有字母的等式對(duì)于小學(xué)生來(lái)講實(shí)在過(guò)于抽象，如果單單告訴他們“a，b，c可以代表不同的數(shù)字”，那么他們往往只會(huì)把不同的數(shù)字帶進(jìn)去而得到不同的等式，壓根不知道運(yùn)算定律的本質(zhì)，也做不到掌握和運(yùn)用的程度。教師可以設(shè)置一個(gè)“小方格種農(nóng)作物”的情境來(lái)幫助學(xué)生理解。如圖4，設(shè)定在淺色區(qū)域種植土豆，在深色區(qū)域種植白菜，問(wèn)“一共種了多少塊地”。學(xué)生從圖中能直觀看出如何列式子來(lái)解決問(wèn)題，學(xué)生最容易想到的方法就是分別將土豆的種植塊數(shù)和白菜的種植塊數(shù)相加，列出算式“4×6+6×6”，并求出答案。

在此基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，得出不同的式子，他們很快便能觀察到其實(shí)兩種農(nóng)作物種植的列數(shù)是一致的，唯一不同的是行數(shù)，那么在求解過(guò)程中并不需要把兩種農(nóng)作物分開(kāi)計(jì)算，只需要計(jì)算出它們的總行數(shù)然后再乘以列數(shù)即可，得到“（4+6）×6”，最后的答案和第一個(gè)式子是一致的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考“4×6+6×6是否等于（4+6）×6”，進(jìn)而在形式上和乘法分配律靠攏，使得學(xué)生對(duì)于這種運(yùn)算定律有了初步的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，僅憑這一個(gè)等式并不能得出乘法分配律的公式，還需要教師挖掘更多的事例。通過(guò)演練大量的數(shù)形結(jié)合的事例，學(xué)生才能掌握乘法分配律的本質(zhì)，最終熟練運(yùn)用運(yùn)算定律，提升運(yùn)算能力。

四、以數(shù)解形，精準(zhǔn)計(jì)算解決問(wèn)題

布魯納認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，深入掌握一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想方法，更便于對(duì)知識(shí)的理解和記憶。而數(shù)形結(jié)合思想就是其中之一，在教學(xué)中，大部分時(shí)候教師都是用“形”來(lái)詮釋“數(shù)”的，雖然“形”有著很好的直觀形象性，但也有不容易準(zhǔn)確表達(dá)的缺點(diǎn)，這時(shí)就需要用“數(shù)”來(lái)準(zhǔn)確翻譯出“形”所表達(dá)的意思。而“數(shù)”具有抽象性的特征，能充分表達(dá)出問(wèn)題的本質(zhì)。因此，在解決某些問(wèn)題時(shí)，我們也可以用“數(shù)”來(lái)輔助“形”。比如，利用一些數(shù)據(jù)來(lái)表示圖形的大小，并通過(guò)對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算得出更為準(zhǔn)確的結(jié)果，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)和掌握，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

例如，在學(xué)習(xí)完“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)與面積”這一內(nèi)容后，教師可以在練習(xí)課上圍繞“周長(zhǎng)和面積”這兩個(gè)概念設(shè)計(jì)一道練習(xí)題：桌子上有1根1 cm長(zhǎng)的小棒，如果用12根這樣的小棒圍出長(zhǎng)方形或正方形，可以圍出多少個(gè)，最大的面積應(yīng)是多少？這道題是對(duì)“形”的研究，但如果只是這樣，學(xué)生只能大約感受到周長(zhǎng)一樣的情況下，如圖5的圖形面積似乎要大于如圖6的圖形面積。

那么，如何才能讓學(xué)生得出“當(dāng)周長(zhǎng)一樣時(shí)，長(zhǎng)和寬之間的差越小，圍出的圖形面積就越大”這個(gè)結(jié)論呢？很明顯要想更加精確地進(jìn)行說(shuō)明，單靠“形”是無(wú)法做到的。因此，教師便進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用填表的方式（如表1），根據(jù)數(shù)的運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。

學(xué)生在經(jīng)過(guò)探究后發(fā)現(xiàn)：在滿(mǎn)足要求的三類(lèi)圖形中，面積最大的是正方形。正是通過(guò)用“數(shù)”來(lái)輔助“形”的方式，讓學(xué)生更加深刻地掌握了周長(zhǎng)和面積這兩者之間存在的關(guān)系，使問(wèn)題獲得了更加準(zhǔn)確的解答，這也是數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值所在。

總之，數(shù)形結(jié)合是計(jì)算教學(xué)中不可或缺的一種思想方法和有效手段。它不僅能促進(jìn)計(jì)算教學(xué)的實(shí)效性，還能發(fā)展和深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。通過(guò)以形演數(shù)、以形助數(shù)、以形悟數(shù)、以形思數(shù)、以數(shù)解形等方式來(lái)挖掘計(jì)算中蘊(yùn)含的原理和規(guī)律。理解各種運(yùn)算定律的本質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，尋找解決問(wèn)題的更優(yōu)思路，讓思維向更高處邁進(jìn)，讓計(jì)算水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng)獲得有效的提升。

（責(zé)編 楊偲培）