“數(shù)學(xué)理解”背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)立體式教學(xué)

蔣國紅

[摘 要]小學(xué)數(shù)學(xué)立體式教學(xué)基于“數(shù)學(xué)理解”背景，是針對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只注重工具式理解的一種拓展與創(chuàng)新。小學(xué)數(shù)學(xué)立體式教學(xué)可從低到高分五步實(shí)施：在動(dòng)手操作中形成表象理解;在詞句辨析中實(shí)現(xiàn)語義理解;在多向辨識(shí)中形成知覺理解;在縱橫聯(lián)系中達(dá)成整體理解;在反思運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新理解。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)理解;立體式教學(xué);工具性理解;聯(lián)系性理解;理解層次

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）14-0085-03

隨著新課程理念逐步深入人心，教師越來越關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，但由于缺乏對(duì)全局的有效把控，在教學(xué)中容易出現(xiàn)極少數(shù)思維活躍者成為課堂對(duì)話的主角、其他學(xué)生處于被動(dòng)聽講狀態(tài)的現(xiàn)象。研究表明，兒童思維的發(fā)展并不單純依靠知識(shí)的累積，更體現(xiàn)在知識(shí)形成與運(yùn)用的過程與方法之中，前者只是感性經(jīng)驗(yàn)的疊加，后者才是理性認(rèn)識(shí)的凝結(jié)。如果學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不夠活躍，思考時(shí)過度依賴他人，不善于洞察數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，那他們就不能用所學(xué)的知識(shí)靈活應(yīng)對(duì)各種具體的問題情境。

其實(shí)，早在1976年，英國數(shù)學(xué)教育家斯根普就提出了數(shù)學(xué)理解的兩種類型：工具性理解與關(guān)系性理解。

工具性理解是指把數(shù)學(xué)理解當(dāng)作掌握概念、認(rèn)識(shí)定理、助力推理等程序操作的工具，是立足于“知道有這么一回事”的理解。關(guān)系性理解是一種整體性理解，它以“知其然，更要知其所以然”為目的。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)是一種二維式教學(xué)，它遵循工具性理解這一主線，在這樣的教學(xué)中學(xué)生只需要學(xué)會(huì)針對(duì)特定數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行特定的操作即可，這為新理念的提出奠定了基礎(chǔ)。北京師范大學(xué)教授綦春霞認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解不僅要求能對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行熟練地操作，更應(yīng)體現(xiàn)從表象理解、解釋理解到建立聯(lián)系、進(jìn)行思想運(yùn)用的過程。據(jù)此，筆者結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，把數(shù)學(xué)理解分為表象理解、語義理解、知覺理解、整體理解與創(chuàng)新理解五個(gè)層次，并做出基于數(shù)學(xué)理解的小學(xué)數(shù)學(xué)“三維五層”結(jié)構(gòu)模型（如圖1）。以下結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行探討。

一、動(dòng)手操作形成表象理解

小學(xué)生的認(rèn)知水平有限，思維方式以形象思維為主，形象思維即是在頭腦中建立數(shù)學(xué)對(duì)象的具體形象的思維方式。

比如在“比較分?jǐn)?shù)大小”的教學(xué)中，教師讓學(xué)生分組活動(dòng)，要求學(xué)生先拿出兩張相同的正方形紙片，分別給正方形紙片的[14]與[34]的部分涂上顏色，學(xué)生很快就知道[14] [<34]。接著教師又讓學(xué)生比較[25]與[27]的大小，學(xué)生通過操作又明白了[25] > [27]。然后教師提問：“你發(fā)現(xiàn)了這兩組分?jǐn)?shù)的數(shù)字的特點(diǎn)嗎？你能發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律嗎？能否舉例說明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？”學(xué)生在自定數(shù)據(jù)、自行操作的基礎(chǔ)上，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律：分母相同，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)大;分子相同，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)反而小。

學(xué)生得出了規(guī)律并不代表他們真正理解了規(guī)律，還是有部分學(xué)生不知道為什么“分子相同，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)反而小”。因此，動(dòng)手操作雖有助于學(xué)生建立知識(shí)表象，但這種操作也只是一種深入學(xué)習(xí)的方式而已。

二、詞句辨析促進(jìn)語義理解

盡管學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的，但他們用的是一種不完全歸納的方法，“語言是思維的外殼”，用語義來促進(jìn)理解就顯得十分重要。

當(dāng)教師讓學(xué)生思考“為什么[25] > [27]”時(shí)，學(xué)生的回答很可能是這樣的：“因?yàn)橥瑯邮侨?塊，每塊的單位不同，一個(gè)是[15]，一個(gè)是[17]，而[15]是大于[17]的?！贝藭r(shí)問題“為什么[25] > [27]”沒有得到解決，對(duì)此學(xué)生的回答可能是這樣的：“因?yàn)槲因?yàn)證過了，千真萬確?！边@樣的回答沒有涉及真實(shí)原因，需要教師繼續(xù)刨根問底，學(xué)生才能最終得出答案：“因?yàn)榉帜复砹税颜w‘1分成的塊數(shù)，塊數(shù)越多，分得的每一塊就會(huì)越小。正是由于分母不同，分的塊數(shù)越多，每一塊就會(huì)越小，所以同樣拿出2塊，分的塊數(shù)多時(shí)拿出的就少了。”此時(shí)語言就達(dá)到了促進(jìn)學(xué)生思維的作用。

三、多向辨識(shí)形成知覺理解

知覺理解與語義理解的層次不同。以生活中的例子來說明，如果一個(gè)新手司機(jī)僅靠背誦教練教的法則來開車，那么在遇到突發(fā)情況時(shí)默念一句操作要領(lǐng)可能就需要五秒鐘，這樣，交通事故幾乎難以避免了，這就是語義理解的局限性。

知覺理解要做的就是在遇到意外時(shí)能憑直覺直接采取正確行動(dòng)，所以說知覺理解是一種不憑借語言的直覺理解，是一種經(jīng)過長期訓(xùn)練而形成的即刻性的條件反射。正因?yàn)槿绱?，幫助學(xué)生形成知覺理解是完全必要的。

1.辨析

辨析可以讓人確定一類對(duì)象是否在某一數(shù)學(xué)概念或法則所指向的范圍內(nèi)，從而進(jìn)一步明確概念與法則。比如，出示問題“下列數(shù)量關(guān)系中屬于反比例關(guān)系的是（ ? ?）。 A.三角形底邊一定時(shí)，面積與高的關(guān)系 B.三角形面積一定時(shí)，底邊與底邊上的高的關(guān)系 C.長方形的長與寬的關(guān)系 D. 長方形周長一定時(shí)，長與寬的關(guān)系”讓學(xué)生辨析，學(xué)生對(duì)照反比例關(guān)系的定義，理解了構(gòu)成反比例關(guān)系的兩個(gè)量中必須具有“積一定”這個(gè)條件，辨析之后明白這里只有B選項(xiàng)中的兩個(gè)量符合要求。

2.模仿

愛模仿是小學(xué)生的特點(diǎn)，盡管模仿仍是屬于工具性理解的范疇，但學(xué)生的學(xué)習(xí)也確實(shí)離不開模仿，數(shù)學(xué)課本中有那么多的例題，正是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)模仿。比如，讓學(xué)生比較[9697]和[9596]的大小，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)既不是同分母分?jǐn)?shù)，也不是同分子分?jǐn)?shù)，而且借助通分比較大小似乎也不那么容易，這時(shí)有個(gè)學(xué)生說出了辦法：“把兩個(gè)分?jǐn)?shù)各加上一個(gè)分?jǐn)?shù)可以得到1，分別加上去的分?jǐn)?shù)能比較大小，加上的分?jǐn)?shù)大的，原分?jǐn)?shù)就小?！庇辛诉@次經(jīng)驗(yàn)，下次遇到同類題，學(xué)生都會(huì)模仿著做了。

3.變式

變式是指通過改變數(shù)學(xué)對(duì)象的非本質(zhì)屬性而突出其本質(zhì)屬性的訓(xùn)練策略。首先，變式訓(xùn)練必須“善變”。比如，有位教師在黑板上畫三角形總是習(xí)慣把其中一條邊畫成水平的，然后把另外兩邊畫在它的上邊，這固然好看，但無形中給學(xué)生造成“畫三角形必須有一條邊呈水平”的錯(cuò)覺，這就與多用變式的教學(xué)初衷相違背了。其次，變式訓(xùn)練要防止學(xué)生錯(cuò)誤改變。比如，有的學(xué)生給鈍角三角形畫高時(shí)，會(huì)將三條高都畫在三角形內(nèi)部，這是受了銳角三角形畫高方法的影響。最后，變式訓(xùn)練必須在“善變”中求“不變”，以本質(zhì)屬性的“不變”應(yīng)對(duì)非本質(zhì)屬性的“萬變”。在指導(dǎo)學(xué)生給三角形畫高的時(shí)候，由于三角形的高從本質(zhì)上來說就是直線外一點(diǎn)到這條直線的垂直線段，教師可以先讓學(xué)生復(fù)習(xí)一下如何從直線外一點(diǎn)向直線畫垂直線段，然后為學(xué)生播放事先準(zhǔn)備的微課，讓學(xué)生練習(xí)通過頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€作垂直線段就可以了。

四、縱橫聯(lián)系生成整體理解

教育學(xué)家布魯納認(rèn)為：“如果一個(gè)數(shù)學(xué)概念或定理成為兒童內(nèi)在心理表征網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么它就被兒童所理解了?！睌?shù)學(xué)理解對(duì)象的聯(lián)系是一種不斷聯(lián)系與被聯(lián)系的過程，需要教師在日常教學(xué)中教會(huì)學(xué)生形成這種意識(shí)。

1.縱向聯(lián)系

縱向聯(lián)系是指同類對(duì)象之間的聯(lián)系。比如，“平行四邊形的面積”往前聯(lián)系著“長方形的面積”，往后又啟示著“三角形面積”的探索。再如，“列方程的方法”與“算術(shù)方法”都是解應(yīng)用題的基本方法。

2.橫向聯(lián)系

橫向聯(lián)系是不同范疇的研究對(duì)象之間的聯(lián)系。比如，為了幫助學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減時(shí)要通分的原因，教師可以讓學(xué)生聯(lián)系小數(shù)加減法中為何要對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)這一知識(shí)點(diǎn)。兩種運(yùn)算法則的表述不同，有什么可比性呢？顯然是由于對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是對(duì)齊相同數(shù)位，而將異分母分?jǐn)?shù)化作同分母分?jǐn)?shù)也可以出現(xiàn)相同的分?jǐn)?shù)單位，單位相同才能相加就是兩類運(yùn)算的本質(zhì)聯(lián)系。

五、反思運(yùn)用促進(jìn)創(chuàng)新理解

通過縱橫聯(lián)系，學(xué)生可以建構(gòu)數(shù)學(xué)理解的網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的資源共享與協(xié)同式理解。這種聯(lián)系的方向事先往往不確定，聯(lián)系的形式也多種多樣，通過不斷探索聯(lián)系的渠道，能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新理解與創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。比如以下探究題：

（1）分別寫出算式答案：[12+14]，[12+14+18]，[12+14+18+116]，[12+14+18+116+132];

（2）直接寫出算式答案：[12+14+18+116+132]

[+…+1512]。

如果學(xué)生能從第（1）題中發(fā)現(xiàn)算式的變化規(guī)律，雖然也可以最終寫出第（2）題的答案，但是這還不是數(shù)學(xué)理解，因?yàn)樗麄冞€不懂答案為什么是這樣的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生：“如果我們從分?jǐn)?shù)的意義入手，用畫圖的方法來分析呢？”然后畫出如圖2的示意圖，并根據(jù)示意圖說明思維過程：一樣?xùn)|西拿掉它的一半，剩下的部分也是它的一半，即[1-12=12]。再拿掉剩下部分的[12]，即再拿掉它的[12][×12][=14]，剩下的部分也是它的[12×12=14]。如此，每次都拿掉上一次剩下部分的[12]，結(jié)果每次剩下的量與拿走的量相同。由此可知，[12+14+18+116+132][+…+1512=1-1512=511512] 。

這里，教師通過數(shù)形結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)了算術(shù)問題與幾何操作的有機(jī)聯(lián)系，這說明數(shù)學(xué)理解已經(jīng)從既定框架中向外拓展，而且進(jìn)行了創(chuàng)新。

總之，基于“數(shù)學(xué)理解”這一理論方向，針對(duì)傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方式，著重建構(gòu)數(shù)學(xué)理解層次，將使數(shù)學(xué)理解從二維體系發(fā)展成三維模式，有助于促進(jìn)教學(xué)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)“生本化”，為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高提出了一條可探索的途徑。在針對(duì)“數(shù)學(xué)理解”的研究越來越深入的今天，筆者對(duì)本文所述的觀點(diǎn)抱著既肯定又擔(dān)心的態(tài)度，且還有待進(jìn)一步探索與提高。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

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[3] 徐彥輝.數(shù)學(xué)理解三種方式及其課堂教學(xué)特征[J].中國教育學(xué)刊，2012（1）.

（責(zé)編 楊偲培）