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    直觀:催化數(shù)學(xué)的理解與表達(dá)

    2015-05-04 16:05:29王倩
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)理解直觀

    王倩

    [摘 要]小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直重視直觀手段的運(yùn)用。從兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來(lái)看,“直觀”可以孕育數(shù)學(xué)理解,催動(dòng)思維發(fā)展,促進(jìn)數(shù)學(xué)表達(dá)。這種價(jià)值,既貫通在學(xué)生整個(gè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中,也落實(shí)到了具體課堂之中?,F(xiàn)以“認(rèn)識(shí)乘法”教學(xué)為例,對(duì)此做簡(jiǎn)要的闡釋。

    [關(guān)鍵詞]直觀 數(shù)學(xué)理解 兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)表達(dá)

    [中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068(2015)05-005

    近日,我上了一節(jié)“認(rèn)識(shí)乘法”的公開課,幾次磨課的經(jīng)歷,讓我對(duì)“直觀”地學(xué)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了新的思考。

    第一次試教前,我研究了乘法概念的核心——幾個(gè)相同加數(shù)相加。在教學(xué)中,我直指知識(shí)本質(zhì),設(shè)計(jì)了一組算式,讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算算式并分類,引出加數(shù)都相同的算式,并在充分觀察、交流認(rèn)識(shí)這類算式特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到像這樣“具有相同加數(shù)的算式”,需要引入新的定義方式——乘法。

    幾次實(shí)踐之后,我發(fā)現(xiàn)這樣的設(shè)計(jì)至少存在兩個(gè)問(wèn)題:一是開放度太大,學(xué)生分類的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)于發(fā)散——有按照得數(shù)是否大于10來(lái)分類,有按照能否用湊十法來(lái)分類,有按照加數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分類,等等,花費(fèi)了大量時(shí)間卻沒(méi)聚焦到“相同加數(shù)相加”這一核心。二是抽象度太高,直接呈現(xiàn)較為抽象的算式,不符合了二年級(jí)學(xué)生的思維特征,由于缺少了直觀形象作支撐,學(xué)生經(jīng)歷的“過(guò)程”是簡(jiǎn)單的模仿與記憶,經(jīng)歷的觀察與發(fā)現(xiàn)都是形式上的觀察與發(fā)現(xiàn),學(xué)生所獲得的關(guān)于“乘法”的知識(shí)可以說(shuō)是教師一廂情愿的“告之”。

    有了這樣的認(rèn)識(shí),我們開始了新一輪嘗試,從觀察直觀的實(shí)物圖開始(如圖1),讓學(xué)生在觀察、交流、解答的過(guò)程中一步一步加深對(duì)“相同加數(shù)相加”這一種現(xiàn)象的認(rèn)識(shí),實(shí)現(xiàn)對(duì)乘法內(nèi)涵更為深刻的理解。

    【片斷一:直觀素材孕育深刻理解】

    師:梨一共有多少個(gè),你會(huì)求嗎?

    生1:我的算式是3+3+3+3+…

    師(生邊匯報(bào),師邊板書,并不斷地說(shuō)):你說(shuō)慢點(diǎn)哦,我跟不上了。

    師(故意寫了9個(gè)3):這個(gè)算式對(duì)嗎?

    生2:不對(duì),老師少寫了一個(gè)3。

    師:哎呀,我都糊涂了,到底有多少個(gè)3?誰(shuí)能把算式說(shuō)得更清楚。

    生3:這里一共有10盤梨,每盤梨有3個(gè),所以應(yīng)該是10個(gè)3相加。

    生4:我們寫的時(shí)候要特別細(xì)心,因?yàn)檫@里的3太多了,很容易寫著寫著就多寫1個(gè)3或者少寫1個(gè)3。我要提醒大家寫完之后還要再數(shù)一數(shù)。

    生5:這樣寫太浪費(fèi)時(shí)間了,我有一種新的寫法。

    師:你真有想法,同學(xué)們看得懂他的意思嗎?

    生6:對(duì)的,我同意他的寫法,這就表示10個(gè)3相加了。

    生7:我還有比他更簡(jiǎn)便的,我還會(huì)寫乘法呢!

    師:乘法!誰(shuí)聽說(shuō)過(guò)嗎?誰(shuí)來(lái)寫一寫?(生板書:3×10=30)

    師:我們的古人也發(fā)現(xiàn),像這樣好多個(gè)相同加數(shù)相加的算式寫起來(lái)太麻煩了,于是就創(chuàng)造出了“乘法”,像這樣“幾個(gè)幾相加是多少的問(wèn)題”,就可以寫成“幾乘幾”。大家還有什么想說(shuō)的嗎?

    生8:我知道這里有10個(gè)盤子,每個(gè)盤子都是3個(gè)梨,就是3×10。

    生9:乘就是加,把長(zhǎng)的加法變成了簡(jiǎn)單的乘法。

    生10:我感覺(jué)乘法和加法有關(guān)系,“×”就是把“+”斜過(guò)來(lái)看,說(shuō)明有好多相同的加數(shù)。

    師:有意思的發(fā)現(xiàn)!

    【我的思考】

    直觀素材是揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系的有力工具。人們?cè)谡J(rèn)識(shí)和理解抽象數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中往往要使用視覺(jué)形象來(lái)表征數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而更加直觀、清晰地了解知識(shí)的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵,從而達(dá)到理解和接受抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的目的。

    這里10盤梨的呈現(xiàn),沖擊了學(xué)生的感官,讓學(xué)生首先直觀地感受到每一盤的梨都是同樣多的;其次,盤子的數(shù)量非常多;然后,在寫加法算式的時(shí)候,教師通過(guò)“慢一點(diǎn)我都來(lái)不及寫了”和“佯裝漏寫了一個(gè)3”這樣的事實(shí)經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生再次直觀感受到這樣的算式有加數(shù)相同和加數(shù)多的特點(diǎn),讓學(xué)生親身體會(huì)到乘法產(chǎn)生的必要性,迫使學(xué)生自己去“發(fā)現(xiàn)”“說(shuō)一個(gè)一個(gè)地相加,不如說(shuō)幾個(gè)幾相加”,讓學(xué)生自己創(chuàng)造出一種新的運(yùn)算“幾個(gè)幾相加用乘法”,很自然地引入新的乘法運(yùn)算與符號(hào)表示。

    直觀素材的呈現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)活動(dòng)的卷入,使得學(xué)生對(duì)于乘法本質(zhì)的揭示不再是教師的“告之”,而是學(xué)生自己產(chǎn)生的主觀需求,學(xué)生對(duì)“乘法”的理解達(dá)到了“概念性水平”,是對(duì)概念本質(zhì)的把握,是在沖突、心里不舒服的狀態(tài)下,迫切需要產(chǎn)生一種新的運(yùn)算方法的情況。而學(xué)生“相同加數(shù)加得特別多的時(shí)候就可以把加號(hào)斜過(guò)來(lái)寫成幾乘幾”的說(shuō)法雖然語(yǔ)言不夠規(guī)范,但是意義卻非常深刻,可以說(shuō)是有效地溝通了新知識(shí)和已有舊識(shí)知之間的本質(zhì)聯(lián)系。

    【片斷二:直觀素材推動(dòng)思維發(fā)展】

    師:回顧剛剛解決的求總和問(wèn)題,你還有什么想法嗎?

    生1:我發(fā)現(xiàn)這里有好幾道算式都可以變成乘法算式!

    師:是嗎?比如呢?

    生2:我發(fā)現(xiàn)蘋果的問(wèn)題是4+4+4,一共有3盤,每一盤都是4個(gè)蘋果,也就是3個(gè)4相加,可以寫成乘法算式3×4=12。

    生3:我有補(bǔ)充,蘋果的算式也可以寫成4×3。

    生4:橘子也可以用乘法,因?yàn)槊總€(gè)盤子里的個(gè)數(shù)都是一樣的,都是2個(gè),相同的加數(shù)相加就可以了,一共有5盤,就是5個(gè)2相加,可以寫成5×2或者2×5,都等于10個(gè)橘子。

    師:桃子的這一題可以嗎?

    生5:桃子不行,因?yàn)榈谝槐P桃子是1個(gè),第二盤是5個(gè),第三排是3個(gè),每一盤的數(shù)量都不一樣,不一樣就不能用乘法了。

    生6:我也覺(jué)得不行,因?yàn)橹挥邢嗤募訑?shù)才可以。

    生7:我覺(jué)得也可以,可以用3×3。

    生8:對(duì),對(duì),只要把第二盤移兩個(gè)到第一盤去就可以了。

    師:同學(xué)們聽懂了嗎?想一想,咱們干嗎要移呢?

    生9:從第二盤移兩個(gè)到第一盤,這樣第一盤也是3個(gè),第二盤也是3個(gè),第三盤也是3個(gè),每一盤的數(shù)量就都一樣了。

    師:非常有意思的發(fā)現(xiàn)!看來(lái)想要寫成乘法,必須要怎么樣?

    生:每一盤都是一樣的。

    師:真棒!加數(shù)如果相同我們就可以用乘法來(lái)寫,有幾個(gè)幾相加,我們就寫成幾乘幾。

    師:草莓行嗎?

    生10:不行。因?yàn)殡m然草莓前面4盤都是一樣的,但是第五盤只有1個(gè),加數(shù)不都是一樣的,所以不行。

    師:很有道理!

    生11:這個(gè)可以把部分寫成乘法,先算前面相同的4盤,用4×5,然后再把后面的1個(gè)草莓加上去就可以了。

    師:你真有想法!這說(shuō)明只要怎么樣就能用乘法呢?

    生:加數(shù)相同的情況下就可以了。

    【我的思考】

    直觀素材是推動(dòng)學(xué)生思維發(fā)展和深刻性的有利工具。小學(xué)生由于生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的局限更易于接受直觀的實(shí)物和實(shí)物圖,直觀素材有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析和想象,并在此基礎(chǔ)上展開更豐富多彩的直觀推理,進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系,獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

    這里學(xué)生通過(guò)想象和推理把“1+5+3”轉(zhuǎn)變成“3×3”更可以說(shuō)是直觀素材引入的勝利!在新授課上,學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)直觀材料的觀察,在自主探索和合作交流中發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí),用移一移的方法把不相同的加數(shù)轉(zhuǎn)變成相同加數(shù),并成功地轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?,獲得了對(duì)乘法知識(shí)內(nèi)涵更深刻的理解。同樣把“5+5+5+5+2”轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺思铀闶健币脖磉_(dá)了學(xué)生對(duì)乘法和加法聯(lián)系與區(qū)別的把握。

    對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),很多時(shí)候解題的靈感來(lái)源于對(duì)直觀素材的觀察,直觀素材的提供使得學(xué)生展開想象和創(chuàng)造性的探求活動(dòng)成為可能??梢哉f(shuō),直觀素材啟迪了學(xué)生的思維,不但豐富了學(xué)生對(duì)乘法的核心是“相同加數(shù)相加的運(yùn)算”的理解,也促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

    【片斷三:直觀素材助力數(shù)學(xué)表達(dá)】

    師:同學(xué)們都對(duì)乘法都有了一定認(rèn)識(shí),我們來(lái)放松一下,用耳朵聽一聽。 (敲打節(jié)拍器:啪啪啪 啪啪啪)我剛剛拍了幾下?你是怎么聽出來(lái)的?

    生1:拍了2次,每次拍了3下,2個(gè)3相加可以寫成“2×3”。

    師:聲音里還藏著乘法,其他運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中也有——瞧,王老師是拍球高手,看看我拍了幾下足球。(師拍球:每次拍4下,拍兩組)

    生2:每次拍4下,拍了2次,也就是2個(gè)4相加,可以用乘法2×4或者4×2。

    師:這幅圖你看出了什么?(如圖2)可以橫著看,可以豎著看,表示的幾個(gè)幾不同,但我們可以用相同的乘法算式3×5來(lái)表示。你能用自己的方法來(lái)表示3×5嗎?大家可以畫圖,也可以想其他的表示方法。先自己獨(dú)立思考、準(zhǔn)備,然后小組內(nèi)交流。

    學(xué)生作品:

    生3:我是拍手的。啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪

    生4:我也是拍手的,不過(guò)和他拍得不一樣,啪啪啪啪啪 啪啪啪啪啪 啪啪啪啪啪

    師:兩位同學(xué)拍得都對(duì)嗎?

    生5:都是對(duì)的,第一個(gè)同學(xué)拍了5個(gè)3相加,第二個(gè)同學(xué)拍了3個(gè)5相加,都可以用3×5來(lái)表示。

    生6:我還可以跳繩。每次跳3個(gè),跳5次,或者每次跳5個(gè),跳3次都可以。

    ……

    【我的思考】

    直觀素材幫助學(xué)生表達(dá)了自己的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)抽象地反映了客觀世界,客觀世界的數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中,學(xué)生由于受到知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制,經(jīng)常會(huì)遇到一些很難用語(yǔ)言解釋清楚的概念或者性質(zhì),這時(shí)候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學(xué)生提供形象的自主思考和表達(dá)的機(jī)會(huì),幫助學(xué)生把頭腦里的“數(shù)學(xué)事實(shí)”外顯化。

    這里為了讓學(xué)生在初步理解了乘法含義的基礎(chǔ)上,通過(guò)交流和碰撞把自己對(duì)乘法意義的理解表達(dá)出來(lái),教師創(chuàng)設(shè)了“我來(lái)表示3×5”這個(gè)環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生借助具體形象的圖形、聲音、動(dòng)作直觀建立了多種多樣的乘法意義模型,并且通過(guò)自己的創(chuàng)造體現(xiàn)出了“3×5”既可以表示為“3個(gè)5相加”,也可以表示為“5個(gè)3相加”,極大地豐富了乘法的內(nèi)涵,激發(fā)了學(xué)生極大的創(chuàng)造性,讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)了乘法的意義,從不同角度深刻體會(huì)了乘法的意義,初步獲得了利用直觀描述數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。

    總體說(shuō)來(lái),直觀感受和直觀表達(dá)是“直觀”學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要方面。在小學(xué)的概念學(xué)習(xí)中化抽象為直觀有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶,積累概念建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn),同時(shí)也為問(wèn)題解決過(guò)程中表象的遷移提供了潛在的可能性,加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。同時(shí),數(shù)學(xué)的高度抽象性使得這個(gè)年齡段的學(xué)生很難用自己的語(yǔ)言表達(dá)出內(nèi)心深處對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,不利于相互之間的交流和碰撞。教師在教學(xué)的過(guò)程中可以充分利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料數(shù)與行統(tǒng)一的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)的言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化為形象表征,將對(duì)于抽象知識(shí)的理解外顯為具體形象的圖像或者模型,從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

    理解與表達(dá),是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩翼,直觀的加盟,可以讓這兩翼更加豐滿,更加有力,幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的天地里自由翱翔!

    (責(zé)編 金 鈴)

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