優(yōu)化估算題組教學(xué)的實(shí)踐研究

施小鋒

[摘 要]題組教學(xué)是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維能力，選用科學(xué)、合理、有效的一組具有漸進(jìn)性的數(shù)學(xué)問題來組織課堂教學(xué)，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的一種教學(xué)模式。基于SOLO分類理論，將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維層次分為五個(gè)結(jié)構(gòu)層次（水平）。在估算教學(xué)中通過借“題”夯“基”、順“勢”溫“度”、巧“變”顯“型”等教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的高階思維。

[關(guān)鍵詞]SOLO分類理論;估算;題組教學(xué);高階思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）14-0015-03

高階思維是一種以高層次認(rèn)知水平為主的綜合性能力，如批判性地評價(jià)信息的能力、解決問題的能力、創(chuàng)造性思維能力等?？v觀現(xiàn)行的估算教學(xué)，以下三“化”現(xiàn)象比較常見。

習(xí)題“零散化”：習(xí)題往往分散、孤立地出現(xiàn)，學(xué)生缺少綜合比較、系統(tǒng)思考的歷練。

功能“偏差化”： “怎么估”“看成多少”“結(jié)果是多少”等低效問答頻頻出現(xiàn)，雖然注重算法的習(xí)得，卻弱化了思維的發(fā)展。

思維“淺表化”：缺乏能激發(fā)學(xué)生高效、深度參與的活動和載體，學(xué)生只會覺得“要我估算我才估算”，思維淺化、窄化。

根據(jù)可視的學(xué)習(xí)結(jié)果，可以將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維層次依據(jù)SOLO分類理論進(jìn)行劃分（如圖1）。

估算對于提升學(xué)生的運(yùn)算、推理、思維、表達(dá)等數(shù)學(xué)能力有著非常重要的意義。如何追本溯源，從源頭上消除三“化”現(xiàn)象，破解估算教學(xué)的難點(diǎn)？實(shí)踐表明，通過題組教學(xué)，能治標(biāo)，更能治本。

本文以乘除法中的估算教學(xué)為例，借助題組教學(xué)，系統(tǒng)性地借“題”夯“基”、順“勢”溫“度”、巧“變”顯“型”，引導(dǎo)學(xué)生感知、理解與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)高階思維的發(fā)生。

一、借“題”夯“基”，思維由“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”走向“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”

“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”層次，是指能找到一個(gè)解決問題的方法或思路，然后憑這個(gè)方法或思路進(jìn)行點(diǎn)對點(diǎn)的對接，以解決問題?！岸帱c(diǎn)結(jié)構(gòu)”是指能找到多種解決方法，但是這幾種方法之間是孤立的，而非整體和整合的。

根據(jù)題型的特點(diǎn)、題目的價(jià)值和功能構(gòu)成的估算題組，可以讓學(xué)生感受到估算方法的多樣性，有效促進(jìn)學(xué)生的思維從單點(diǎn)的一維走向多點(diǎn)的多維。

【例1】估算比大?。孩?52.4÷6.38和56×0.76;②4÷7和11÷23。

師：利用合適的估算方法比較每組中兩個(gè)算式的大小。說說是怎么估算的，為什么這么估算。

生1：題①252.4÷6.38可以估算成240÷6=40。估算56×0.76時(shí)，可以把56看成60，把0.76看成 0.8，得到48，比40大。故252.4÷6.38<56×0.76。

生2：把56和0.76都估大了，結(jié)果大太多了?？梢园?.76看成[3/4]，56×0.76≈56×[3/4]=42，再與第一個(gè)算式比大小比較好。

師：很好！兩個(gè)數(shù)都估大，結(jié)果大太多了，這樣說服力不強(qiáng)。

生3：題②的4比7的一半大，而11不到23的一半，故4÷7>11÷23。

教師提煉多種算法。（1）就近取整估算。就近取整估算是教材中最“濃墨重彩”的，也是運(yùn)用最廣泛、最有效的一種策略。整數(shù)是取整十、整百、整千數(shù)，小數(shù)是取整數(shù)或比原小數(shù)位數(shù)少一位或少幾位的近似小數(shù)。（2）分小數(shù)互化估算。在小數(shù)乘除法計(jì)算時(shí)，把小數(shù)轉(zhuǎn)化成接近的分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，會得到意想不到的簡便效果。（3）引入中間量估算。引入中間量往往用于結(jié)果的大小比較中。（4）簡潔性口訣估算。在乘法和除法中運(yùn)用較為常見，就是在充分考慮數(shù)據(jù)特點(diǎn)情況下，直接利用乘法口訣估算結(jié)果。

教師將不同解法的習(xí)題“打包”整合成題組時(shí)，既要考慮到數(shù)據(jù)的一般性，也要考慮數(shù)據(jù)的特殊性，在數(shù)據(jù)的“取舍”與“進(jìn)退”中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

二、順“勢”溫“度”，思維由“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”邁向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”

“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”的形成，需要學(xué)生將同類型的數(shù)學(xué)知識有機(jī)整合，構(gòu)建系列化、系統(tǒng)化的結(jié)構(gòu)體。順著學(xué)生不同的思路，教師通過引導(dǎo)學(xué)生對解題方法的對比、聯(lián)系和優(yōu)化，打破方法間的壁壘，讓學(xué)的思維從“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”邁向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”。

1.對比方法，挖掘算法拓寬度

在不同的習(xí)題中，即使是相同的數(shù)據(jù)也有不同的處理方式。利用題組可對比不同的處理方法，能增強(qiáng)學(xué)生思維的主動性和敏銳性，更好地拓寬學(xué)生的估算視野。

【例2】估算：（1）232÷5;（2）232÷8;（3）232÷7;（4）232÷11。

師：都是232除以一個(gè)自然數(shù)，怎么估算？

生1：232÷5≈250÷5;232÷8≈240÷8;232÷7≈210÷7;232÷11≈220÷11。

師：同樣是數(shù)據(jù)232，為什么估成的數(shù)卻不一樣？除數(shù)是多少時(shí)，才把232看成230？

生2：除數(shù)是23或者是10的時(shí)候。

估算應(yīng)“先估后算”。估算的兩個(gè)重要因素是“方便計(jì)算”和“盡量接近”。通過題組對比，學(xué)生明白估算的方法是多元的、開放的，所要估的數(shù)不是一成不變的，需要根據(jù)參與運(yùn)算的其他數(shù)的變化而變化。只有“高瞻遠(yuǎn)矚”，深諳數(shù)據(jù)變化將引起估算方法改變之道理，增強(qiáng)方法間的融通與變化，才能拓展思維的寬度和廣度，“關(guān)聯(lián)”更多可能。

2.聯(lián)系方法，基于情境增厚度

相同的算式，在不同情境中的處理方法和結(jié)果會大相徑庭，而不同的情境又隱藏著相通的策略，此時(shí)可借助現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)情境進(jìn)行教學(xué)。

【例3】（1）勝利小學(xué)有28個(gè)班，平均每班32人，共有980個(gè)座位的電影院能全部坐得下嗎？（2）加工車間要進(jìn)貨28箱零件，每箱重32千克。一輛核定載重800千克的小車一次運(yùn)完這些零件會超載嗎？

生1：題（1）用估大法。28×32≈30×32=960，比980小，因此坐得下。

生2：題（2）可以采用估小法。28×32≈28×30=840，比800大，所以超載了。

師：相同的算式28×32，處理方法為什么不一樣？如果都用估大或估小法可以嗎？

生3：如果被估部分估小了，結(jié)果還大，那就一定大;如果被估部分估大了，結(jié)果還小，那就一定小。

情境是數(shù)學(xué)知識和兒童思維之間的橋梁和紐帶。題組中的不同情境，可以讓抽象與具象呼應(yīng)，不斷增強(qiáng)學(xué)生估算的變通性，增加學(xué)生思維的厚度，“關(guān)聯(lián)”則更持久。

3.優(yōu)化方法，突現(xiàn)本質(zhì)顯深度

解決一個(gè)問題，可以有多種策略，但一般都有一個(gè)相對簡潔、簡便的方法，在探尋與優(yōu)化這個(gè)方法的過程中，需要學(xué)生具有批判性思維和創(chuàng)造性思維。

【例4】體育組要買一批跳繩，每根2.65元，五年級有172人，每人一根。（1）購物前思考“準(zhǔn)備600元錢夠不夠”。（2）購物滿400元可送護(hù)腕，這次購物能否獲得贈送的護(hù)腕？（3）付款時(shí)思考“大約需要多少元錢”。（4）付款給收銀員時(shí)，一共需要付多少元錢？

師：這幾個(gè)小問題有什么區(qū)別和聯(lián)系？分別用什么方法解決？

生：前面三個(gè)問題不需要用精算，選用估算即可，分別選用“估大法”“估小法”“四舍五入法”取近似數(shù)。最后一個(gè)問題則必須用精算。

只有對解題策略和方法了然于胸，將精算與估算方法前后貫通，才能根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)并結(jié)合問題要求，適時(shí)選擇精算或估算，或合理、正確選擇估算的方法。在方法優(yōu)與劣的對比中，在合適與不合適的甄別中，學(xué)生的思維向縱深處發(fā)展，“關(guān)聯(lián)”更自然、更堅(jiān)固。

三、巧“變”顯“型”，思維由“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍至“抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)”

“抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)”是指學(xué)生能夠?qū)栴}進(jìn)行抽象地概括，從理論的高度來分析問題，使問題本身的意義得到拓展和延伸。教師要在“關(guān)聯(lián)”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入感受方法，并借助一定的符號，用簡單的方式進(jìn)行表達(dá)，使學(xué)生在理解、運(yùn)用和創(chuàng)造過程中更高效地理解估算的意義。

1.變封閉練習(xí)為開放建構(gòu)

模型是一種高度抽象和概括的表達(dá)形式。開放題題組，可讓學(xué)生在對多個(gè)數(shù)據(jù)的假設(shè)和還原中感受方法的普適性和策略的統(tǒng)一性。

【例5】（1）2名教師帶著35名二年級學(xué)生去動物園參觀。成人票5.8元/張，兒童票2.8元/張，只帶120元錢夠不夠？

（2）將題（1）的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整：教師2名，票價(jià)5.□元，學(xué)生35名，票價(jià)2.□元，帶120元錢是否夠？

師：改編后，數(shù)據(jù)不確定，你還會做嗎？

生1：可以設(shè)一些數(shù)。先設(shè)幾個(gè)教師票的單價(jià)和學(xué)生票的單價(jià)，再估算，發(fā)現(xiàn)都比120元小。因此帶120元錢夠了。

生2：你這個(gè)方法比較麻煩！我是直接估算的，把教師票5.□看成6元，學(xué)生票2.□看成3元，總價(jià)不到120元。

師：這樣估算可以嗎？（有的學(xué)生認(rèn)為可以;有的學(xué)生認(rèn)為5.□可能更接近5元，學(xué)生票2.□可能更接近2元，因此不可以）

解決比較復(fù)雜的、條件不確定的估算問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生通過“拎”（模型）、“定”（范圍）、“比”（大小）、“答”（問題）四步解答。

拎：5.□×2+2.□×35（ ? ?）120。

定： 5×2+2×35=80<5.□×2+2.□×35<6×2+3×35=117。

比：117<120。

答：117元是最多且不可能的情況，所以120元夠了。

因?yàn)楦木幒蟮牧?xí)題數(shù)據(jù)不完整，使得精算“斷路”，所以在假設(shè)數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程中，在提煉模型、深挖本質(zhì)的過程中，學(xué)生的思維向高度抽象、深度建模發(fā)展。

2.變思維隱射為結(jié)果可視

從思維的角度，把抽象的表達(dá)轉(zhuǎn)向直觀的圖形，并借助直觀圖形來理解抽象的內(nèi)容。在將思維“錨點(diǎn)”可視、外顯的過程中，學(xué)生能夠有抓手且直觀地學(xué)。

【例6】（改編例3）：勝利小學(xué)有28個(gè)班，平均每班32人，“恒達(dá)影城” 共有900個(gè)座位，能全部坐得下嗎？

生1：32×28≈32×30=960（估大法），比900大，坐不下。

生2：32×28≈30×28=840（估小法），比900小，坐得下。

生3：我是這樣想的，把32和28分別估成30，30×30=900。一個(gè)多估2，一個(gè)少估2，剛好抵消，能坐下。

生4：我喜歡生3的方法，但結(jié)果不應(yīng)該剛好等于900。積的末位2乘8應(yīng)該是6。

生5：我是實(shí)算（精算）的，32×28=896<900，坐得下。

師：生3說的一個(gè)多估2，一個(gè)少估2，剛好抵消，而生5精算出來是896，為什么不正好是900呢？

師（出示圖2）：相差的4在哪里？

先反思不同的解題思路得出的結(jié)果，再比較誤差。在“情理之中”卻又“意料之外”的辨析中，學(xué)生能夠借助直觀圖形進(jìn)行解釋，思維逐漸深刻。

3.變順向思維為逆向思維

從模型出發(fā)，通過字母表達(dá)、文字說明、概括提煉等方法引領(lǐng)學(xué)生，能夠促進(jìn)學(xué)生逆向思維能力的提升。

【例7】括號中可以填哪些自然數(shù)？（1）502×（ ?）≈3000;（2）6391÷（ ?）≈8。

生1：題（1）可把502看成500，利用等式性質(zhì)求出結(jié)果是6。

生2：題（2）可把6391看成6400，商是8，不難推導(dǎo)出除數(shù)是800。

師：題（2）只能是800嗎？

生3：四舍五入后等于800的整數(shù)都可以，比如793、798、804等。

生4：題（2）可以轉(zhuǎn)化成“（ ?）×8≈6391”。把6391看成6400，看大了9，所以括號中最接近的整數(shù)是799。

生5：a×8≈6391，a就等于（6400-9）÷8=6400÷8-9÷8=800-1.125≈800。

要解答逆向思維的題組，就需要學(xué)生在運(yùn)用模型解題的過程中對結(jié)果不斷進(jìn)行調(diào)整和修正，思維的縝密性大大提高。

基于SOLO分類理論下的題組教學(xué)，是對估算教學(xué)中單一習(xí)題教學(xué)的超越，是對數(shù)學(xué)學(xué)科整體性、結(jié)構(gòu)性和學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的順應(yīng)。練習(xí)的負(fù)擔(dān)輕了、思維的含量多了——學(xué)生在題組計(jì)算中能夠聯(lián)系方法、比較異同、優(yōu)化策略;機(jī)械化的操練減了、綜合化的運(yùn)用增了——學(xué)生處理信息的能力更加“綜合”和“通盤”;碎片化的調(diào)取少了、模式化的通透多了——在解題組的過程中，在模式的提煉和運(yùn)用過程中，學(xué)生的思維拾級而上?！邦}?！睙o涯苦作舟，題組則是茫?！邦}?！敝械乃季S之舟。

（責(zé)編 金 鈴）