于無色處見繁花

【摘要】本文用三角代換、坐標(biāo)平移、巧設(shè)坐標(biāo)、幾何圖形的性質(zhì)及參數(shù)等手段研究2022年全國乙卷圓錐曲線大題的解法，并且拓展到一般結(jié)論，感受四兩撥千斤的效果.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;三角代換;斜率積;平移;對偶式

圓錐曲線以眾多的考點及多樣的命題背景深受命題者的青睞，同時也因為復(fù)雜的點、線關(guān)系，復(fù)雜的計算讓廣大考生無從下手[1] .因此在碰到圓錐曲線問題的時候，要時刻記住山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村，我們不僅要會強破硬算，更要會巧解巧算，多角度觀察處理解決問題，思維打開后就會有好多解法漫天飛舞，于無色處見繁花.

本文就以2022年高考全國乙卷第20題為例淺談此類問題的解法與結(jié)論推廣.

1試題展現(xiàn)

常規(guī)解法

2思路分析

以上常規(guī)解法的計算量非常大，大部分同學(xué)是做不出來的.我們分析一下第2問的其他解法.

思路1從特殊位置入手，求出定點，再利用三角代換驗證定點;

思路2巧設(shè)坐標(biāo)，妙湊對偶式求定點;

思路3利用斜率積中的定值求出定點;

思路4利用定比點差法證明過定點;

思路5從幾何性質(zhì)入手，利用參數(shù)方程證明過定點.

3解法探究

解法1先猜后證

思路分析用常規(guī)解法中的特殊位置先猜測定點是A，這部分這里先省略. 由于本題橢圓焦點在y軸上，先通過坐標(biāo)變換，方程化為焦點在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣我們使用三角代換得到的方程比較簡潔，能使計算簡化，再證明N，T，G三點共線（G為PA的中點）即可.

4結(jié)論拓展

5結(jié)語

一點一線走江湖，一直一曲看題圖，一切一交定長短.有點有線，有直有曲，它們盤根交錯，融入切割，集合三角，龐大的計算量總是讓人望而卻步、無從下手，本題就是如此.

換個角度，換種方法，合理利用三角代換，參數(shù)方程，幾何性質(zhì)等利器，就能從平淡中析出光芒，于無色處見繁花.

參考文獻

[1]欒功，郭慧清.2021年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)第20題的探究與推廣[J].中學(xué)教學(xué)參考，2022（02）：1-4.

作者簡介潘慶森（1982—），男，福建永春人，中學(xué)二級教師;主要研究高三數(shù)學(xué)教學(xué).