讓錯(cuò)誤成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的另一種力量

孫平

[摘? 要] 錯(cuò)誤也是需要預(yù)設(shè)的，因?yàn)檫@樣能夠讓學(xué)生有一種“上當(dāng)受騙”的感覺(jué)，也會(huì)讓他們“吃一塹長(zhǎng)一智”，從而讓有意思考、理性分析等學(xué)習(xí)素養(yǎng)得到發(fā)展。基于此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師就得從預(yù)設(shè)一些學(xué)習(xí)不足等環(huán)節(jié)入手，誘導(dǎo)學(xué)生在不自覺(jué)中發(fā)生錯(cuò)誤，進(jìn)而在解析糾錯(cuò)中學(xué)習(xí)，最終達(dá)到反復(fù)錘煉思維、深化經(jīng)驗(yàn)積淀等目的，讓錯(cuò)誤具備防微杜漸之功效，助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的順利推進(jìn)。

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)誤;力量;小學(xué)生;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

客觀地講，世上沒(méi)有絕對(duì)的完美物品存在，一種沒(méi)有任何缺點(diǎn)的物品本身就是瑕疵。試看中國(guó)國(guó)畫(huà)，你會(huì)被那留白所震撼，并心生疑問(wèn)：為什么不把這些空白補(bǔ)全、補(bǔ)滿呢？留下它們是不是一種缺憾呢？事實(shí)表明，這就是文化，這就是藝術(shù)。同理，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生產(chǎn)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤就宛如此種現(xiàn)象，看似不足、不完美，但是它恰巧是構(gòu)建完美的必要元素。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種錯(cuò)誤能夠助力他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，豐富他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、預(yù)設(shè)不足，達(dá)到防微杜漸之目的

作為一名教師，如果不能利用好學(xué)生學(xué)習(xí)中的各種錯(cuò)誤，那么是不可原諒的。這是著名心理學(xué)家貝恩布里奇對(duì)教師的一個(gè)忠告。錯(cuò)誤是與學(xué)生的學(xué)習(xí)緊密聯(lián)系的，是難以回避的，甚至是不應(yīng)該回避的。因?yàn)殄e(cuò)誤宛如傷疤，它會(huì)結(jié)痂，會(huì)在學(xué)生的學(xué)習(xí)記憶中留下終身都難以磨滅的印記。以“圓的認(rèn)識(shí)”為例，教學(xué)中，教師要通過(guò)相應(yīng)的方式呈現(xiàn)出錯(cuò)誤的信息或習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生在解讀中進(jìn)行思考，在思考中留下深深的烙印，從而更好地建構(gòu)相關(guān)的認(rèn)知，并形成牢靠的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到防微杜漸的根本目的。

師：經(jīng)過(guò)這一階段的學(xué)習(xí)，說(shuō)說(shuō)你有哪些收獲。

生1：圓是一個(gè)曲線圖形，它不像長(zhǎng)方形、平行四邊形等圖形那樣是由線段圍成的。

生2：圓是世界上最完美的圖形。

生3：我知道圓中有一個(gè)點(diǎn)是圓心，它到圓上的線段叫作半徑，通過(guò)圓心且兩端都在圓上的線段是直徑。

生4：圓心是用字母O來(lái)表示的，r表示半徑，d表示直徑。

生5：其中直徑還是半徑的2倍，d=2r。

……

師：聽(tīng)了同學(xué)們的介紹和總結(jié)，你有什么新的思考，或者有什么想要補(bǔ)充的呢？

生6：這里說(shuō)圓中的一點(diǎn)就是圓心是不科學(xué)的，我們?cè)谡蹐D中找到的那個(gè)折痕的交點(diǎn)才是圓心，它是所有折痕的交點(diǎn)，也就是圓中所有半徑或直徑的交點(diǎn)，在圓中心的位置上。不能簡(jiǎn)單地說(shuō)成圓中的一點(diǎn)。

生7：還有半徑與直徑關(guān)系的理解也不科學(xué)，你們看一個(gè)圓的半徑可能是10米，而另一個(gè)圓的直徑只有10厘米，這個(gè)直徑是半徑的2倍嗎？

師：你們的質(zhì)疑很有水平，特別是這個(gè)半徑與直徑的關(guān)系，那它們到底該如何去表述呢？

生8：實(shí)驗(yàn)中我們就是在一個(gè)圓內(nèi)研究的，所以不能是兩個(gè)圓，這個(gè)需要注意。

生9：可以是兩個(gè)圓，也可以是多個(gè)圓，但是它們的半徑應(yīng)該都一樣長(zhǎng)。

……

教學(xué)的目的一般都是很明顯的，那就是讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、增強(qiáng)基本技能等，這是教師的基本使命。但筆者認(rèn)為，教學(xué)最根本的任務(wù)應(yīng)是深化理解，促進(jìn)建構(gòu)，錘煉思維，積淀素養(yǎng)。

案例中教師引導(dǎo)學(xué)生回望學(xué)習(xí)過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生把相關(guān)內(nèi)容表述出來(lái)，從中暴露出學(xué)習(xí)思考的不足，顯露出思維條理性、嚴(yán)密性、邏輯性等的缺陷，從而引發(fā)必要的學(xué)習(xí)爭(zhēng)議，以此助力學(xué)生對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟，促進(jìn)認(rèn)知的內(nèi)化，為后續(xù)的學(xué)習(xí)保駕護(hù)航，真正起到了防微杜漸的作用。

二、誘發(fā)錯(cuò)誤，達(dá)到反復(fù)錘煉思維之目的

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)故意出示一些錯(cuò)誤，并以此來(lái)設(shè)置“陷阱”，讓學(xué)生在不經(jīng)意間落入其中，從而在反思中對(duì)相關(guān)的信息進(jìn)行仔細(xì)梳理，對(duì)有關(guān)的不足進(jìn)行反復(fù)“咀嚼”，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)理解的深入和學(xué)習(xí)領(lǐng)悟的加深。與此同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考意識(shí)也會(huì)得到較好的鍛煉和發(fā)展，數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、靈敏性和邏輯性等會(huì)得到很好的培養(yǎng)。

試看“面積和面積單位”的教學(xué)片段。

師：經(jīng)歷了這一階段的學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們把自己的收獲與同伴分享一下。

學(xué)生紛紛與同伴交流自己對(duì)面積意義、面積單位的理解。

生1：面積與周長(zhǎng)是完全不一樣的，周長(zhǎng)指的是線的長(zhǎng)度，面積指的是物體的表面或平面圖形的大小。

生2：這個(gè)不簡(jiǎn)單嗎？用彩筆去畫(huà)一畫(huà)就明顯了，周長(zhǎng)是畫(huà)一圈的線，而面積需要把圖形涂滿，可見(jiàn)它們之間的區(qū)別還是挺大的。

……

師：不錯(cuò)！下面老師想請(qǐng)同學(xué)們做一個(gè)互動(dòng)的游戲，大家有信心做好嗎？

課件呈現(xiàn)游戲的信息：用這一階段所學(xué)習(xí)的本領(lǐng)進(jìn)行挑戰(zhàn)，數(shù)一數(shù)屏幕上的方格個(gè)數(shù)。要求是，女生數(shù)，男生需要閉上眼睛，認(rèn)真聽(tīng);反過(guò)來(lái)，也是如此操作。

生3：男生數(shù)出的是10個(gè)方格，女生數(shù)出的是8個(gè)方格，我認(rèn)為男生的圖形面積大。

生4：這個(gè)不一定吧！

生3：怎么會(huì)不一定呢？10本數(shù)學(xué)書(shū)的表面積不比8本數(shù)學(xué)書(shū)的大嗎？

生4：不是的，因?yàn)閿?shù)方格的時(shí)候，我們是閉著眼睛的，沒(méi)有看到女生的方格到底是什么樣子。

生5：這個(gè)有道理，方格是手指甲蓋大小，還是手掌大小，還是與地面瓷磚一樣大呢？

……

筆者認(rèn)為，真正的學(xué)習(xí)就是在錯(cuò)誤的反思中逐漸完善起來(lái)的。在學(xué)生初步學(xué)習(xí)面積意義之后，他們能夠用自己的理解去建構(gòu)周長(zhǎng)與面積的表象，形成自己的專屬理解，這就是個(gè)性化學(xué)習(xí)的體現(xiàn)。

隨著面積單位學(xué)習(xí)的開(kāi)始，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)精彩的游戲活動(dòng)，讓學(xué)生在“聽(tīng)”的體驗(yàn)中形成感知，并做出判斷。這樣的過(guò)程就是誘發(fā)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤發(fā)生的過(guò)程，它更是一個(gè)有利于學(xué)生產(chǎn)生探究面積單位學(xué)習(xí)欲望的體驗(yàn)活動(dòng)。學(xué)生一邊競(jìng)猜，一邊思考，也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的學(xué)習(xí)疑問(wèn)，這一點(diǎn)從案例中就能較為明顯地顯露出來(lái)。質(zhì)疑不足，讓錯(cuò)誤暴露無(wú)遺，就會(huì)誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的深入開(kāi)展，使學(xué)生對(duì)面積單位的理解更加深刻。

三、解析錯(cuò)誤，實(shí)現(xiàn)深化經(jīng)驗(yàn)積淀之目標(biāo)

如何讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變成他們最寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀克烙浻脖?，?dāng)然是行不通的，因?yàn)檫@種機(jī)械式記憶，學(xué)生從內(nèi)心是不愿意接受的，也是極為抵觸的。在“圓錐與圓柱的體積練習(xí)”教學(xué)中，教師要善于借助學(xué)生學(xué)習(xí)中的不足，來(lái)引發(fā)他們更為深入的思考，從而讓他們?cè)趩?wèn)題解析中更有效地感悟知識(shí)，形成經(jīng)驗(yàn)，為他們持續(xù)學(xué)習(xí)奠基。

師：這是一個(gè)同學(xué)的學(xué)習(xí)總結(jié)，你認(rèn)為有道理嗎？

生1：沒(méi)有道理！圓錐的體積怎么會(huì)是圓柱體積的3倍呢？關(guān)系搞顛倒了，應(yīng)該是圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

師：對(duì)于現(xiàn)在這個(gè)結(jié)論，你們又是怎么想的呢？

生2：圓錐體積是圓柱體積的三分之一，這個(gè)不是實(shí)驗(yàn)中得出的結(jié)論嗎？應(yīng)該是正確的吧！

生3：這好像不太科學(xué)。我們的實(shí)驗(yàn)不是也出現(xiàn)3倍多一些和3倍不足的情況嗎？

生4：是??！因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中圓柱、圓錐容器的高和底是不一樣的，所以得出的結(jié)論是有差別的。

生5：噢！我明白了，這個(gè)總結(jié)還是不正確的，因?yàn)檫@個(gè)同學(xué)沒(méi)有突出圓柱和圓錐是等底等高的，所以不能得出這一結(jié)論。

生6：還真是的！這個(gè)是推導(dǎo)圓錐體積計(jì)算公式中非常重要的內(nèi)容。如果沒(méi)有它，圓錐體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程就是不成立的。

生7：是的，要研究圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，一定要先看它們的底與高之間的關(guān)系。

……

幫助學(xué)生建構(gòu)好認(rèn)知，積累起較為厚實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等是小學(xué)數(shù)學(xué)教師的基本使命，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)全面發(fā)展的重要著力點(diǎn)。因此，在教學(xué)中教師就得借助學(xué)習(xí)錯(cuò)誤解析這一契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生去審視問(wèn)題、解讀錯(cuò)誤，讓學(xué)生去爭(zhēng)辯、去思考，從而實(shí)現(xiàn)理解的深入，促進(jìn)學(xué)習(xí)認(rèn)知的建構(gòu)。

案例中，教師設(shè)計(jì)一個(gè)較為明顯的錯(cuò)例，引導(dǎo)學(xué)生去思考、去辨析，進(jìn)而在不同的爭(zhēng)辯中較為理性地解讀圓錐體積計(jì)算公式的由來(lái)，也在不知不覺(jué)中回憶起相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，找到問(wèn)題的本質(zhì)。經(jīng)過(guò)互動(dòng)學(xué)習(xí)及學(xué)習(xí)質(zhì)疑，學(xué)生終于意識(shí)到要得出圓錐體積的計(jì)算公式，就要保證實(shí)驗(yàn)器具是等底等高的，進(jìn)而得出“要確定圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，就必須保證它們是等底等高的”的結(jié)論。自此，學(xué)生在反思、質(zhì)疑中更好地吸取教訓(xùn)，形成扎實(shí)的學(xué)習(xí)建構(gòu)。

綜上，錯(cuò)誤是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自然產(chǎn)物，更是他們?cè)俣葘W(xué)習(xí)、深入探究、建構(gòu)認(rèn)知和發(fā)展思維、積累經(jīng)驗(yàn)的寶貴財(cái)富。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要正視學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤，并善于解讀這些錯(cuò)誤，找到錯(cuò)誤的成因，并靈活地駕馭錯(cuò)誤，使之成為新的教學(xué)素材，成為學(xué)生深化學(xué)習(xí)理解的重要資源，成為理性分析、智慧思考的磨礪石。筆者相信，在如此的環(huán)境下，久而久之，學(xué)生的思辨能力會(huì)持續(xù)增長(zhǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力會(huì)不斷遞增，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積淀也會(huì)越發(fā)厚重。