對2021年新高考全國Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的思路探究

張茜 周其祥

[摘? 要] 導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，極值點偏移更是高考考查的熱點問題. 文章以2021年新高考全國Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題為例，運用構(gòu)造對稱差函數(shù)、比值代換、對稱構(gòu)造、切割線放縮、構(gòu)造函數(shù)等方法，對該題進行了思路探究，總結(jié)了該類試題的解決策略.

[關(guān)鍵詞] 高考數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)壓軸題;極值點偏移;思路探究

[?]問題呈現(xiàn)與評注

問題呈現(xiàn)：（2021年新高考全國Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<+

評注：該題以基本初等函數(shù)y=lnx為背景，第（1）問考查導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，第（2）問考查同構(gòu)和極值點偏移.極值點偏移問題，是高考命題的熱點，多次作為高考數(shù)學(xué)壓軸題，反映出此類問題的區(qū)分度較大，對學(xué)生的思維能力要求較高.本文重點對第（2）問進行解法探究.

[?]第（2）問的思路探究

顯然，由于f′（x）=-lnx，容易證明f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減.由blna-alnb=a-b，可得+=+，即1-ln

評注：思路6（構(gòu)造函數(shù)）看似意想不到，實際上是從所求問題反推出來的，雖然考生在考場上很難想到這種解法，但在日常教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生對題目進行深入分析，體會構(gòu)造函數(shù)法在解題中的妙用.

[?]教學(xué)啟示

2019年教育部公布的《中國高考評價體系》中將素質(zhì)教育目標(biāo)凝練為“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”的“四層”考查內(nèi)容. 其中“關(guān)鍵能力”是支撐和體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)要求的能力表征，包含知識獲取能力群、實踐操作能力群、思維認(rèn)知能力群. 根據(jù)高考的特征，高考評價體系將這三個方面關(guān)鍵能力的發(fā)展水平作為主要考查內(nèi)容，以區(qū)分學(xué)生綜合能力水平的高低，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育對學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)[3].

由此可見，新高考評價體系對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力提出了更高的要求. 2021年的這道高考題看似考查基礎(chǔ)的極值點偏移問題，但不等式右邊的證明又讓題目有了新的變化. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)時間緊、任務(wù)重，在解題教學(xué)中要將每道例題發(fā)揮出最大的效能，特別是彌足珍貴的高考真題. 教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)情合理采用“一題多解”的教學(xué)方法，不僅可以讓學(xué)生在由淺入深、循序漸進的思維過程中實現(xiàn)由低層次水平到高層次水平的提升，突破學(xué)生僵化的解題模式，使學(xué)生對不同解題方法有更加深刻的理解，而且能夠從思維認(rèn)知能力上培養(yǎng)學(xué)生從多個視角觀察、思考同一個問題，能夠靈活地、創(chuàng)造性地運用不同方法，發(fā)散地、逆向地解決問題的能力[3].

參考文獻：

[1]? 邢友寶. 極值點偏移問題的處理策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（07）：19-22.

[2]? 賴淑明. 從對數(shù)平均談極值點偏移問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2015（07）：31-32.

[3]? 教育部考試中心. 中國高考評價體系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.